拉格朗日中值定理在含參數不等式問題中的應用思考

華南師范大學數學科學學院(510630)洪森鴻

1 問題的提出與背景

拉格朗日中值定理是數學分析中的一個重要定理,其特殊的等式關系連接了切線斜率與割線斜率之間的關系.定理描述如下:

定理如果函數f(x)滿足: (1)在閉區間[a,b]上連續;(2)在開區間(a,b)內可導,那么至少存在一點ξ∈(a,b),使得成立.

在中學數學問題解決中,拉格朗日中值定理有著重要的應用價值.文獻[1-3]討論了型不等式題目中,拉格朗日中值定理的應用以及相關注意條件.然而拉格朗日定理也普遍運用在求解型不等式中,典例如下:

例1(2007 年高考Ⅰ卷理科第20 題) 設函數f(x) =ex-e-x.(1)證明: 函數f(x)的導數f′(x) ≥2;(2)證明:若對?x≥0,都有f(x)≥ax,則a的取值范圍為(-∞,2].

證明(1) 略.(2) 當x= 0, 顯然成立.因此當x> 0 時,f(x) ≥ax可轉化為.由拉格朗日中值定理知, 至少存在一點ξ∈(0,x), 使得.由基本不等式知eξ+e-ξ≥2,因此a≤2.

上述的證明在文獻[4-7]均有提到,然而此處的證明方法并不嚴謹,切線斜率最值與函數導數最值顯然并不一定相等.誠然在此題中的最小值也恰好為2,但并非所有函數的結構滿足這種最值相等的關系,例如在2020 年高考全國Ⅰ卷理科卷中出現類似問題:

當x≥0 時,,求a的取值范圍.

此題若使用拉格朗日中值定理,則當x> 0 時,原不等式轉化為

圖1

從圖中可以看出g′(t)與的最大值顯然不相等,此處使用前面例1 方法求a取值范圍會導致題目的求解出錯.那么拉格朗日中值定理在此類不等式問題中的使用前提條件是什么? 這在文獻[4-7]以及許多學者研究中均未提及討論.而針對這一問題,筆者經探究得出了下面實用性的性質與推論,以補充完善前人研究.

2 性質探究與應用

性質1定義域為[0,+∞)的連續可微函數f(x)滿足f(0) = 0,存在唯一的x0> 0,使得,若函數f′(x)-f′(x0)只有唯一零點,則在x=x0取得最值f′(x0).

證明令h(x) =f(x)-f′(x0)x, 則h′(x) =f′(x)-f′(x0),由條件知x=x0為h′(x)的唯一零點.因此進一步分為以下四種情況:

(1)若x∈[0,x0),h′(x) > 0;x∈(x0,+∞],h′(x) < 0;則h(x)max=h(x0) =f(x0) -f′(x0)x0= 0, 故?x∈[0,+∞),h(x)≤0,即.

(2)若x∈[0,x0),h′(x) < 0;x∈(x0,+∞],h′(x) > 0;則h(x)min=h(x0) =f(x0) -f′(x0)x0= 0, 故同理,?x∈[0,+∞),.

(3)若?x∈[0,+∞),h′(x) ≥0, 即f′(x) ≥f′(x0).則由拉格朗日中值定理知, 存在ξ∈(0,x),,當x=x0,等號成立.

(4)若?x∈[0,+∞),f′(x) ≤f′(x0).則同理由拉格朗日中值定理可得,存在ξ∈(0,x),,當x=x0,等號成立.

推論1定義域為[0,+∞)的連續可微函數f(x)滿足f(0) = 0,存在x0> 0 使得,若f′′(x) > 0,則最小值為f′(x0);相反,f′′(x) < 0,則最大值為f′(x0).

證明因為h′′(x) =f′′(x), 則當h′′(x) ≥0 時, 滿足x∈(0,x0),h′(x) < 0;x∈(x0,+∞),h′(x) > 0, 由性質1情況(2) 證明,.同理可證當f′′(x) < 0 時,.

推論2定義域為[0,+∞)的連續可微函數f(x)滿足f(0) = 0,且存在x0> 0 使得,若f′′(x)的唯一零點為x=x0,則最值為f′(x0).

證明因為h′′(x0) =f′′(x0) = 0,且x=x0為h′′(x)唯一零點,h′(x0) =h(x0) = 0.若x∈(0,x0),h′′(x) > 0;x∈(x0,+∞),h′′(x) < 0, 則此時h′(x) ≤ 0, 對應性質1 證明的(4) 情況.同理若x∈(0,x0),h′′(x) < 0;x∈(x0,+∞),h′′(x) > 0, 則對應性質1 證明的(3) 情況.而f′′(x) ≤f′′(x0) = 0 和f′′(x) ≥f′′(x0) = 0 分別對應性質1 證明的(1)和(2).證畢.

推論3定義域為[0,+∞) 的連續可微函數f(x) 滿足f(0) = 0, 若f′(x) 在f′(x0) 處取得最大值, 若滿足, 則, 若,但, 則依然有, 等號在x→0 時可取得.

證明由拉格朗日中值定理知,而f′(ξ) ≤f′(x0),所以,若,則等號可以成立;若,但存在,則,根據極限思想可知當x→0 時,不等式等號可成立.

同理,推論3 可推廣至f′(x)存在最小值的情況,此處簡略.

例2(2008 年高考全國ⅠⅠ卷理科第22 題) 設函數, 對?x≥0, 都有f(x) ≤ax, 求a的取值范圍.

解析x= 0 不等式顯然成立.當x> 0,, 由于,.當x∈(2kπ,2kπ+π) (k為非負整數),f′′(x) < 0, 而當x∈(2kπ+π,2kπ+ 2π)(k為非負整數),f′′(x) > 0, 且f′′(2kπ+π) = 0.因此?x> 0,, 由于而, 故由推論3 知,,從而.

點評此題先求解f′(x)的最值,進而利用推論3 可知與f′(x)在最值上是一致的,從而實現切線斜率與割線斜率最值的合理轉化.

性質2定義域為[0,+∞) 的連續可微函數f(x) 滿足f(0) = 0, 且在(0,+∞) 上無零點, 若存在, 且函數f′(x) -f′(0) 有唯一零點0,則最值為f′(0).

證明令g(x) =f(x)-xf′(0),g′(x) =f′(x)-f′(0)存在唯一零點0.若g′(x) > 0, 則g(x) >g(0) = 0, 即.相反,若g′(x)<0,則.

推論4定義域為[0,+∞) 的連續可微函數f(x)滿足f(0) = 0, 且在(0,+∞) 上無零點,存在.若f′′(x) > 0, 則,相反若f′′(x)<0,則.

證明因為g′′(x) =f′′(x), 若g′′(x) > 0, 則g′(x) ≥g′(0) = 0, 所以g(x) ≥0, 即.同理可證g′(x)<0 時,則.

例3(2017 年高考新課標ⅠⅠ卷文科第21 題) 設函數f(x)=(1-x2)ex,當x≥0 時,f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

解析當x>0,令g(x)=(1-x2)ex-1,則.假設方程有解,則進一步化簡為h(x) = (x3+x2-x+1)ex-1 = 0有解, 然而h′(x) = (x3+ 4x2+x)ex> 0,h(0) = 0, 因此?x> 0,h(x) > 0, 矛盾, 方程無解.又因為g′′(x) =-(x2+4x+1)ex< 0,由推論4 可得,從而a≥1.

點評例3 先檢驗是無實數根的,進而利用推論4 條件進行推理,得到參數取值范圍.

例4(2006 年高考新課標Ⅰ卷理科第21 題) 設, 對?x∈(0,1), 恒有f(x) > 1, 求a的取值范圍.

解析f(x) > 1 可轉化為,令,則.令,.因此h(x) >h(0)= 0,從而在(0,1)上無零點,而由推論5 知,從而a≤2.

點評例4 在處理不等式上與例3 略微不同,首先需要通過對數轉換將題目函數不等式轉化為的結構.進而結合推論4 的方法,通過與例3 相同的計算過程得到最終結果.

性質3定義域為[a,b](a< 0,b> 0) 的連續可微函數f(x) 滿足f(0) = 0, 若?x∈[a,b],xf′′(x) ≥0, 則.相反,若xf′′(x) ≤0,則.(假設存在)

證明令, 則, 而(f′(x)x-f(x))′=xf′′(x),若xf′′(x) ≥0,則當x∈(a,0),f′(x)x-f(x) 0.因此.同理可證,xf′′(x)≤0 時,.

性質4定義域為[c,+∞)的連續可微函數f(x)滿足f(c)=0.若存在唯一的x0>c,使得,若函數f′(x)-f′(x0)只有唯一零點,則在x=x0取得最值f′(x0).

證明令h(x) =f(x) - (x-c)f′(x0), 則h′(x) =f′(x)-f′(x0), 由條件知x=x0為h′(x) 的唯一零點.與性質1 的證明相似, 可以分為四種情況.以第一種情況為例: 若x∈(c,x0),h′(x) > 0;x∈(x0,+∞),h′(x) < 0;則h(x)max=h(x0) =f(x0) -f′(x0)(x-c) = 0, 故?x∈[c,+∞),h(x) ≤0, 即.同理其他三種情況可參考性質1 的證明, 此處從略.綜上,在x=x0取得最值f′(x0).

性質5定義域為[c,+∞) 的連續可微函數f(x) 滿足f(c) = 0, 且在(c,+∞) 上無零點, 若存在, 且函數f′(x) -f′(c) 有唯一零點c,則最值為f′(c).

證明令g(x) =f(x) - (x-c)f′(c), 則g′(x) =f′(x) -f′(c), 因為g′(c) = 0, 由條件知,?x∈(c,+∞),g′(x) > 0 或g′(x) < 0, 結合g(c) = 0 得g(x) ≥0 或g(x)≤0.從而,或.

推論5定義域為[c,+∞) 的連續可微函數f(x)滿足f(c) = 0, 且在(c,+∞) 上無零點,存在.若f′′(x) > 0, 則,相反若f′′(x)<0,則.

證明因為g′′(x) =f′′(x), 若g′′(x) > 0, 則g′(x) ≥g′(0) = 0, 所以g(x) ≥0, 即.同理可證g′(x)<0 時,則.

上述性質與推論等號均只在x=c時取到.

例5(2016 年高考新課標ⅠⅠ卷文科第21 題) 已知函數f(x) = (x+ 1)lnx-a(x- 1), 若當x∈(1,+∞) 時,f(x)>0.求a的取值范圍.

解析題目條件可轉化為, 當x∈(1,+∞) 時,, 令h(x) = (x+ 1)lnx, 則h(1) = 0,, 若, 化簡得,顯然當x∈[1,+∞),方程只有唯一解x=1.又因為,因此由推論5知當x∈(1,+∞),,故a≤2.

點評例5 先檢驗不存在實數根,進一步利用推論5 的結論進行轉化,實現不等式參數范圍的求解.

3 總結

在參數不等式問題解決中所應用的拉格朗日中值定理法屬于高觀點視野下的解決方法,上述5 個性質及其推論的討論,進一步揭示了該定理的部分使用條件.使用高觀點數學方法解決中學問題,能夠實現問題的“妙解”.而我們發現,高考命題中經常用到高觀點的思想方法,這值得數學教育者予以關注與研究.