融合其它內(nèi)容的概率統(tǒng)計命題思考

南京市燕子磯中學(210038)盧榮亮

江蘇省南京市教學研究室(210001) 龍艷文

筆者認為內(nèi)容單一的試題已經(jīng)承載不了高考數(shù)學對學科素養(yǎng)的考察使命.高考數(shù)學未來的命題趨勢定是把多個模塊的內(nèi)容綜合在一道試題里,因為這樣更有助于選拔具有數(shù)學思維的創(chuàng)新型人才.筆者最近在學習與概率統(tǒng)計有關的內(nèi)容時,發(fā)現(xiàn)近些年高考數(shù)學關于概率統(tǒng)計方面的試題常與函數(shù)或數(shù)列進行結合,這恰恰佐證了上述觀點.

那么接下來的問題自然而然就是關于概率統(tǒng)計方面的命題如何與其它內(nèi)容進行融合呢? 筆者做了一點嘗試,現(xiàn)在與大家分享.

1.融合數(shù)列的概率統(tǒng)計命題思考

高中概率統(tǒng)計的命題工作于筆者而言,一開始最大的難點是它的背景到哪里找? 為了命出一點新意,筆者并沒有打算參照以往的模考試題,而是直接從書本里尋找.這么多概率統(tǒng)計方面的書,到底選哪幾本呢? 由于筆者打算通過自己命制的試題提升學生學習概率統(tǒng)計的興趣, 于是選擇了與“趣味”有關的概率統(tǒng)計方面的書籍進行學習.筆者在學習文[1]時,發(fā)現(xiàn)能夠檢驗數(shù)據(jù)真假的本福特定律,并覺察到這一塊內(nèi)容可以下放到高中試題里,從而命制了下面一道題.

題目1(原創(chuàng))美國物理學家本福特于1938 年對現(xiàn)實生活中來自各個領域的20229 個數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律:設X 為數(shù)據(jù)中的首位數(shù)字,它的分布列為

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

其中{an}的前n項和Sn滿足:Sn= lg(n+ 1),n=1,2,··· ,9.

(1)求{an}的通項公式;

(2)求P(1 ≤X≤4);

(3) 求X的數(shù)學期望E(X).(結果精確到0.01,lg(2·3·4···9)≈5.56)

解析(1)由Sn= lg(n+1)得a1= lg 2; 又當n≥2時,Sn-1= lgn,所以;經(jīng)檢驗,n=1 時符合上式;綜上,.

在命制這道題的過程中,剛開始實際上只有一個隨機變量X的分布列,然后求E(X).這里面就有兩個問題,其一是這個數(shù)學期望好求嗎? 其二是這個問題過于單薄,不足以支撐一道試題.為了豐富題目的內(nèi)涵,于是筆者嘗試將條件變得含蓄一點,通過Sn= lg(n+1)間接得出,這就考察了與數(shù)列相關的知識.由于在求期望的過程中,關于對數(shù)的運算性質的要求比較高,于是就出了較為簡單一點的第(2)問,這樣一來,題目有了梯度,各個層次的學生都有相應難度的題與之對應.

本道試題還可以有下面的變式:

題目1A(變式)美國物理學家本福特于1938 年對現(xiàn)實生活中來自各個領域的20229 個數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律: 設X為數(shù)據(jù)中的首位數(shù)字,它的分布列為

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

(1)求P(1 ≤X≤4);

(3) 求X的數(shù)學期望E(X).(結果精確到0.01,lg(2·3·4···9)≈5.56)

注本福特定律是指從實際生活中得出的大量數(shù)據(jù), 符合如下規(guī)律: 首位數(shù)字n出現(xiàn)的概率可以用函數(shù)擬合,其中數(shù)據(jù)的量越大、范圍越廣,擬合的效果越好.這一結論雖尚未被嚴格證實,但在諸多生活實踐中,均是正確的.為此我們常用本福特定律檢驗一些數(shù)據(jù)是否造假,如股票市場分析、檢驗選舉投票欺詐行為等.

2.融合函數(shù)的概率統(tǒng)計命題思考

筆者在學習文[2]和文[3]中的拿錯信封問題: 有n個人,每人寫一封信,均勻混合在一起,再隨機取一封,求拿到別人寫的信的情況,并結合研究2021 年高考全國Ⅱ卷第21題的心得,命制出下面一道試題:

題目2(原創(chuàng))4 人參加考試,在考試前要求把手機放入考場外的手機袋中.手機袋編號為1,2,3,4,而4 位考生的編號也為1,2,3,4.4 個人隨機地把手機放入4 個袋子中,一個袋子里只能放一部手機,若第i號考生將手機放入i號袋子中,稱為一個配對.記an為有且僅有n個配對成功的概率(n=0,1,2,3,4),P為方程a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4=x的一個實數(shù)根.

(1)求4 個人中至少配對成功一個的概率;

(2)記隨機變量X為配對成功的個數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望;

(3)求證方程a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4=x有唯一的實數(shù)根,并求P.

解析(1)設4 個人中至少配對成功一個為事件A, 則.

(2)X= 0,1,2,4,,則

X 0 1 2 3 4 P 3 8 1 3 1 4 0 1 24

(3) 構造g(x) =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4-x,注意到a3= 0,則g(x) =a0+a1x+a2x2+a4x4-x,即g′(x)=a1+2a2x+4a4x3-1.

注意到g(1) = 0,g(0) =a0> 0,g′(1) = 0.則當x≤0時,g′(x)=a1+2a2x+4a4x3-1<0,所以g(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,因此g(x)≥g(0)>0.

當x>0 時,g′(x)=a1+2a2x+4a4x3-1 在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當x∈(0,1)時,g′(x)<0,即g(x)在(0,1)上g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,當x∈(1,+∞)時,g′(x) > 0,即g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)的最小值為g(1)=0.

綜上,方程a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4=x有唯一實根1.據(jù)題設得知P=1.

這道試題是經(jīng)典的裝錯信封問題,但考察數(shù)學期望以往并沒有出現(xiàn)過,原本試題到這里就可以結束了,可考慮到要和函數(shù)結合,于是就出了第(3)問,這一問的靈感來自2021年高考全國Ⅱ卷第21 題,由于E(X)恰好等于1,利用導數(shù)的相關知識,發(fā)現(xiàn)其只能有唯一一個實數(shù)根.美中不足的是這個方程a0+a1x+a2x2+···+anxn=x的實際意義尚未發(fā)現(xiàn),不過如果要把4 個人推廣到n個人,該方程的根就有一定的實際意義,考慮如下變式:

題目2A(變式)有n人參加某場考試,在考試前要求把手機放入考場外的手機袋中.手機袋編號為1,2,3,··· ,n,而n個考生的編號也為1,2,3,··· ,n.n個人隨機地把手機放入n個袋子中,一個袋子里只能放一部手機,若第i號考生將手機放入i號袋子中,稱為一個配對,記f(n)為一個都沒有配對成功的情況數(shù),an為有且僅有n個配對成功的概率.當n足夠大時,至少有一個沒有配對成功的概率為P,且P為方程a0+a1x+a2x2+···+akxn=x的一個正實數(shù)根.

(1)求an-1,an;

(2)記隨機變量X為配對成功的個數(shù),求X的數(shù)學期望.

(3)求證方程a0+a1x+a2x2+···+anxn=x的正實數(shù)根是唯一的,并求P.

解析(1)an-1=0,.

(2)X=0,1,2,··· ,n

X 0 1 2 3···n-2 n-1 n P a0 a1 a2 a3···an-2 an-1 an

我們知道n-1 個考生,對應n-1 個袋子的所有排列情況是(n-1)!,下面把其分成n類: 有0 個配對,有1 個配對,有2 個配對,···,有n-3 個配對,有n-2 個配對(該種情況不可能),有n-1 個配對,即

(3)構造g(x) =a0+a1x+a2x2+···+anxn-x,則g′(x)=a1+2a2x+···+nanxn-1-1.

注意到g(1)=0,g′(1)=a1+2a2+···+nan-1=0,又g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當x∈(0,1),g′(x) < 0,即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.

當x∈(1,+∞) 時,g′(x) > 0, 即g(x) 在(1,+∞) 上單調(diào)遞增, 所以g(x) 的最小值為g(1) = 0, 從而方程a0+a1x+a2x2+ ··· +anxn=x有唯一正實根1.依題設得知P=1.

把4 個人推廣到n個人,求數(shù)學期望的過程中用到了組合數(shù)的性質,這道題既與函數(shù)結合,又與組合數(shù)性質結合,這對學生來說有一定難度.筆者給出的證法有一定新意,比文[3]中的方法更簡單.實際上這道題還可以求隨機變量的方差,難度更大,證明方法源自于文[3],筆者做了適當?shù)暮喕?

題目2B(變式)在題目2A(2)的基礎上,求隨機變量X的方差.

解析由文[3]得知:

所以Tn-1=n-2,因此E(X2)=n-(n-2) = 2,從而D(X)=E(X2)-E2(X)=1.

3.融合向量的概率統(tǒng)計命題思考

關于概率統(tǒng)計的命題除了和數(shù)列或函數(shù)結合外,能否與向量進行結合呢? 為什么會有這樣的想法? 因為概率的范圍是在0,1 之間,而解三角形中的“雞爪模型”恰恰用到了這樣的數(shù),再結合文[2]第61 頁中有關“烽火戲諸侯”的內(nèi)容,命制下面一道試題:

題目3(原創(chuàng)) 周幽王“烽火戲諸侯”, 失去一個國; 放羊娃“狼來了”,丟掉一條命.現(xiàn)在讓我們用數(shù)學的眼光觀察這兩句話.設周幽王可信的概率為P(A), 不可信的概率為P(), 可信的周幽王說謊的概率為0.1,不可信的周幽王說謊的概率為0.7;其中;

(1)求P(A)和P(ˉA);

(2)周幽王說謊的概率為多少?

(3)說慌后的周幽王可信度為多少?

解析(1) 因為,所以P(A)=0.9,P()=0.1.

(2)設周幽王可信為事件A,說謊為事件B,則P(B) =P(B|A)P(A)+P(B|)P()=0.09+0.07=0.16.

這道題里P(A) = 0.9,P() = 0.1,本來可以直接給出,但是筆者并沒有這樣做,而是通過“雞爪模型”間接給出,這樣一方面增加了題目的一點新意,一方面也增加題目的難度.

從以上的命題過程中,我們不難發(fā)現(xiàn)融合其它內(nèi)容的概率統(tǒng)計試題,要么在題目條件中直接融合,要么在問題中間接融合.在條件中融合,我們可以把信息變換一種方式給出,如“P(A) = 0.9,P() = 0.1”,這一結論是由雞爪模型得出.在問題中融合,我們可以在問題中涉及與題目條件高度相關的“函數(shù)梯度”、“數(shù)列梯度”,如本文中的前兩模塊的內(nèi)容.

概率統(tǒng)計命題還可以與哪些內(nèi)容進行融合呢? 與基本不等式、與立體幾何、與空間向量、與復數(shù)等等.這些融合只是局限在學科內(nèi)部,概率統(tǒng)計命題還可以與其它學科試題進行融合嗎? 每一個點都值得探究,篇幅所限,本文就探究到這里,有興趣的讀者朋友,有機會一起繼續(xù)探究.