高觀點視角下的必要性探路問題及高考應用

陜西省榆林市吳堡中學(718200)郭蒙

《普通高中數學課程標準》(2017 年版2020 年修訂)第88 頁在考試命題原則中強調: 考查內容應圍繞數學內容為主線,聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用,強調基礎性、綜合性;注重數學本質、通性通法,淡化解題技巧.把握數學核心概念的本質,明晰什么是數學的通性通法,在第97 頁中強調: 我們教師應關注理解與高中數學關系密切的高等數學的內容,能夠從更高的觀點理解高中數學知識的本質[1].必要性探路是指對某些與函數有關的恒成立問題,通過選取函數定義域內的某些特殊值,先得到一個必要條件,初步獲得參數的范圍,再在該范圍內進行討論,或去驗證其充分性,進而得到參數的準確范圍的方法,本文主要研究其在高考中的應用.

1 必要性探路

若f(x) ≥0 恒成立,求參數a的取值范圍集合A,可以選一個特殊的x0代入f(x) ≥0 中,解出參數a的一個取值范圍B,則必有A?B,即B為f(x) ≥0 成立的必要條件,因此稱為必要性探路.在集合B的范圍內討論參數a便可減少討論次數,降低思維的成本.在解題時希望B=A,即B為f(x)≥0 成立的充分條件,對于部分試題,這并非巧合,將f(x) ≥0 轉化為g(x) ≥l≥h(x),其中l為g(x)與h(x)的公切線,g(x)與h(x)分別位于切線l的兩側,而代入的特殊值x0恰好為切點的橫坐標,因此出現B=A的情況.

評注必要性探路的方法求出的結果并不一定就是所求的實際范圍,但可以縮小參數的討論范圍,減少分類討論的類別,降低思維的成本,此法求得的參數范圍為f(x) ≥0 的必要條件,必須證明充分性.

例1(2022 年高考甲卷理科第21 題) 已知函數.若f(x)≥0,求a的取值范圍.

解析因為f(x)≥0,所以f(1)≥0,即a≤e+1.下證充分性.

當a≤e+1 時,,由切線不等式ex≥ex,lnx≤x-1 得,,當且僅當x= 1 時取等號,充分性成立,因此a的取值范圍(-∞,e+1].

評注不等式可變為, 設,g(x) = lnx-x+a,切點坐標為P(x0,y0),則f(x0) =g(x0),f′(x0) =g′(x0).進而得到,x0=1.

將x= 1 代入f(x) ≥0,解出a的范圍即為所求答案, 在充分性證明, 完美解答了此題, 圖1 為示意圖.

2 端點效應

命題1若f(x,m) ≥0 (m為參數)在[a,b] (a,b為常數) 上恒成立, 且f(a) = 0 (或f(b) = 0), 則f′(a) ≥0 (或f′(b)≤0).

命題2若f(x,m)≥0 (m為參數)在[a,b] (a,b為常數)上恒成立,且f(a) = 0,f′(a) = 0(或f(b) = 0,f′(b) = 0),則f′′(a)≥0(或f′′(b)≤0).

推論1若f(x,m) ≥0 (m為參數)在[a,b] (a,b為常數)上恒成立,且f(a)=0,f′(a)=0,··· ,f(n-1)(a)=0,則f(n)(a)≥0,n≥1,n∈N.

推論2若f(x,m) ≥0 (m為參數)在[a,b] (a,b為常數)上恒成立,且f(b) = 0,f′(b) = 0,··· ,f(n-1)(b) = 0,則f(n)(b)≤0,n≥1,n∈N.

評注上述結論的細節請參看文獻[2].多次應用命題1、2 即可得到推論1、2,此法求得的參數范圍為答案的必要條件,必須證明其充分性,端點效應為必要性探路的一種特殊情況,在利用端點效應求得的參數范圍下,當f(n)(x)不變號時, 可得到f(x)為單調函數, 此參數范圍必滿足充分性,即為所求答案,當f(n)(x)變號時,此時端點效應可能失效.2023 年全國各地高考數學導數壓軸題,大部分恒成立試題都可以利用端點效應解答,高考命題人更傾向于考查學生利用分類討論法解答此類題的能力,可以利用端點效應得到參數的分界點,進而利用分類討論法完美解答.

例2(2023 年高考甲卷理科第21 題) 已知函數;(1) 略.(2)若f(x) < sin 2x恒成立,求a的取值范圍.

方法一 (端點效應)設g(x)=f(x)-sin 2x,,則g(x) < 0 在上恒成立, 因為g(0) = 0, 所以g(x) ≤0 在上恒成立, 由端點效應可得g′(0) ≤0,,因此a-3 ≤0 即a≤3.

下證充分性.當a≤3 時,令t=cos2x,則t∈(0,1),,0

評注本題可轉化為端點效應題型,并且充分性成立,充要性得證利用端點效應可縮小參數的范圍,使得分類討論的問題得到了簡化,端點效應為我們用分類討論解題提供了參數的分界點.

方法二(分類討論)設g(x)=f(x)-sin 2x,,則g(x)<0 在上恒成立,g(0)=0,

因此g′(x) < 0, 函數g(x) 在上單調遞減,g(x) 0 即a> 3 時, 設m(x)=x-sinx,x∈(0,+∞),因為m′(x)=1-cosx≥0,所以m(x)在(0,+∞)上單調遞增,m(x) >m(0) = 0,因此sinx0,故

評注本解法要求學生具有較強的數學運算能力,對于矛盾區間(矛盾點)可以直接對原函數進行放縮.

例3(2023 年高考甲卷文科第21 題)已知函數.(1) 略.(2)若f(x)+sinx<0,求a的取值范圍.

方法一(端點效應)設,則g(x) < 0 在上恒成立,因為g(0) = 0,所以g(x) ≤0 在上恒成立,由端點效應得g′(0) ≤0,因為,所以a≤0.

下證充分性.當a≤ 0 時, 因為, 所以0

故g(x)在上單調遞減,g(x)

評注本題可轉化為端點效應題型,檢驗充分性成立,充要性得證,得到的答案為我們利用分類討論法提供參數的分界點,進而完美解答此題.

方法二 (分類討論+ 連續函數保號性)設,則g(x)<0 在上恒成立,,g(0) = 0,g′(0) =a.當a≤0 時由方法一可知,滿足題意.當a>0 時,g′(0)=a>0由于函數g′(x)在上連續,因此存在δ> 0 且,使得當0 0,函數g(x)在(0,δ)上單調遞增,g(x) >g(0) = 0,不滿足題意,舍去.綜上,a的取值范圍為a≤0.

評注利用必要性探路可得到參數的分界點,以此分界點進行分類討論,在利用連續函數保號性推出矛盾,巧妙地解答了此題.

方法三(分類討論+放縮法)設

則g(x) < 0 在上恒成立,,g(0)=0,g′(0)=a.當a≤0 時,滿足題意.當a>0 時,因為sinx 0, 所以, 取, 滿足,因此與已知矛盾,舍去.綜上,a的取值范圍為a≤0.

評注以必要性探路得到的參數分界點進行分類討論,利用sinx

例4(2023 年高考乙卷文科第20 題) 已知函數.(1) 略.(2)若函數f(x)在(0,+∞)單調遞增,求a的取值范圍.

方法一(端點效應)由題意得f′(x) ≥0 在(0,+∞)上恒成立,, 令, 則g(x) ≥0 在(0,+∞)上恒成立, 因為g(0) = 0, 所以g(x) ≥0 在[0,+∞) 上恒立,,g′(0) = 0,g′′(0) = 2a-1,因此g′′(0) = 2a-1 ≥0,解得.

因此g(x)在(0,+∞)上單調遞增,g(x) >g(0) = 0,滿足題意.綜上,a的取值范圍為.

評注本題可化為端點效應題型,檢驗充分性成立,充要性得證,以此為參數的分界點可以利用分類討論法得到滿分.

方法二(分類討論)由題意得

圖2

圖3

評注利用必要性探路可得到參數的分界點,以此分界點展開分類討論,進而完美的解答了此題.

方法三(極限保不等式性質+必要性探路)由題意得f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,因此

評注利用極限保不等式性質,縮小了參數a的范圍,再檢驗其充分性,完美解答了該問題.在解題過程中,利用對數“單身狗”,減少了運算量.

例5(2023 年高考新課標Ⅱ卷第22 題)

(1)證明當0

(2) 已知函數f(x) = cosax-ln(1-x2), 若x= 0 是f(x)的極大值點,求a的取值范圍.

(1)證明設g(x)=sinx-(x-x2)=sinx-x+x2,x∈

(0,1),g′(x) = cosx-1+2x,g′′(x) = 2-sinx> 0,因此g′(x) 在(0,1) 上單調遞增,g′(x) >g′(0) = 0, 故g(x) 在(0,1) 上單調增,g(x) >g(0) = 0, 即x-x2< sinx, 設m(x) =x-sinx,x∈(0,1), 因為m′(x) = 1-cosx≥0,所以m(x) 在(0,1) 上單調遞增,m(x) >m(0) = 0, 因此sinx

(2)解析函數f(x) 的定義域為(-1,1),f(-x) =cos(-ax) - ln[1 - (-x)2] =f(x), 因此函數f(x) 為偶函數,,f′(0) = 0.因為x= 0是f(x) 的極大值點, 因此存在δ> 0 且, 當0

即f′(x) > 0, 不滿足題意, 舍去.當時, 因為h′(0) = 2 -a2< 0 且函數h′(x) 在(0,1) 上連續, 因此存在充分小的δ> 0, 當0

評注此解法充分利用極值點概念,極值點為函數的局部性質,利用端點效應,得到答案的必要條件,使得參數范圍縮小,在進一步驗證充分性,完美解答此題,此題其它解法可參見文獻[3].2022 年全國乙卷理科第21 題,2022 年新高考全國Ⅱ卷第22 題,2020 年新高考Ⅰ卷第21 題,2010 年湖北高考理科第21 題,2016、2017 年全國ⅠⅠ卷文科數學第21 題,2019 年高考全國Ⅰ卷文科第20 題都可利用端點效應完美解答,在運用端點效應解題時,有時也出現了端點效應失效,如2020 年新高考卷第21 題.

例6(2020 年高考Ⅰ卷理科第21 題) 已知函數f(x)=ex+ax2-x,當x≥0 時,,求a的取值范圍.

方法一(必要性探路)令,則g(x)≥0在[0,+∞) 上恒成立, 因此g(2) ≥ 0, 解得.

方法二(分類討論)令,則g(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立,當時,解法同方法一.當時,g(2)=e2-7+4a

評注令,則h(x) ≥0在[0,+∞)上恒成立,,h′′(x)=ex-3x+2a,h(0)=0,h′(0)=0,因此h′′(0)≥0,得,但是,并不是答案,原因在哪?

圖4

從上面分析中可以看出, 端點效應失效一個原因是, 原函數取等于0 時除了端點x= 0還可以有一個零點.當時,h(x)的圖象如圖5 所示.此題還可利用分離參數法或者直接利用指數找朋友分類討論法解答,也可以在范圍內進行討論,進而得到參數的準確范圍,此處略去.本題難度較大,利用必要性探路, 充分性證明, 完美解答, 大大降低了試題的難度,要求學生具有較強的邏輯推理,直觀想象能力.

圖5

3 結語

必要性探路,是解決含參數不等式恒成立的一個有力武器,取特殊點不是靠運氣,而是有一定原因的,作為教師應該幫助學生講好背后的精彩故事,導數恒成立壓軸題如果不易分類討論、也不容易進行分離參數時,不妨嘗試此法,雖然得到的參數范圍是必要的,不一定滿足充分性,但可以使得參數范圍縮小,分類討論的問題會簡化,從2023 年高考導數壓軸題也可以看出,必要性探路是一種克敵制勝的法寶,用高觀點來指導高中數學的教學是很有必要的,可以將問題化難為易,變得簡單明了,很多問題只有在高觀點下才能得到更深刻的理解,只有厘清高等數學與初等數學的結合點,深入剖析高考熱點問題,才能準確把握高考命題的新方向,在高三一輪復習時,老師們應重視基礎知識,強化基礎知識的落實,為二輪復習做好鋪墊,重視通性通法,重視知識的形成過程,淡化技巧,做完題要反思,體會出題人的意圖,明確考察的知識與能力,落實數學學科核心素養,重視導數與三角函數、數列等的多元融合,適當滲透高觀點去探究問題的本質,開闊解題思路,提高學生分析問題、解決問題的能力,進一步提升學生的數學學科素養,希望本文對讀者的學習有一定的啟發作用.