基于雙光子干涉的量子全息理論框架*

徐耀坤 孫仕海 曾瑤源 楊俊剛 盛衛東 劉偉濤

1) (國防科技大學電子科學學院,長沙 410073)

2) (中山大學電子與通信工程學院,深圳 518100)

3) (國防科技大學理學院,長沙 410073)

Hong-Ou-Mandel 干涉可以更好地抵抗相位噪聲的干擾.近年來基于雙光子干涉的量子全息提出,通過待測量子態和標準量子態的二階干涉,可以將待測光子的波函數信息解譯出來.為了更好地理解和發展該方法,本文建立了量子全息的理論框架.根據不同的待測態和參考態,分別研究了利用單光子態或相干態作參考,測量待測的單光子態和相干態.本文討論的所有情況下,待測態的波函數信息以相似的數學形式反映在歸一化的二階關聯函數中.通過簡潔算法便可提取待測態波函數的信息.該量子全息也保持了Hong-Ou-Mandel干涉的魯棒性,相位噪聲并不影響測量結果.

1 引言

自1987 年Hong-Ou-Mandel (HOM)干涉首次實現以來[1],這種雙光子干涉迅速成為量子領域研究的熱點.作為一種反直覺的量子現象,研究人員相繼地探究其非經典的物理本質,實現了不同玻色子和費米子在不同光子自由度的干涉實驗[2-5].作為一項具有量子特性的技術,HOM 干涉已經被應用于測量無關的量子密鑰分發[6-8]、量子中繼器[9,10]以及量子精密測量[11-13]等量子信息各個領域.

在一個典型的HOM 干涉裝置中,兩個全同光子分別進入分束器的兩個輸入端口.經過分束器后,存在4 種可能性: 兩個光子同時透射,兩個光子同時被反射,以及一個光子被反射另一個光子透射.由于前兩種情況不可區分,且分束器本身性質決定了這兩種情況之間有π 相位,產生相消干涉,導致兩個光子同時從一個輸出口出射,產生光子的聚束效應.如果在輸出口進行符合測量將沒有符合計數結果.在HOM 干涉實驗中,為了獲得完美的干涉結果,要求兩個光子在各個維度上具有不可區分性.如果兩個光子在任意維度上存在差異,將會破壞相消干涉,并產生一定的符合計數.從另一個角度分析,HOM 干涉中的符合測量可以作為測量光子之間差異性的一種有效手段[14-19].具體地,通過測量待測光子和標準光子干涉后的二階關聯函數(干涉圖樣),可以獲得待測光子的信息.注意,在最初的HOM 干涉實驗中,將光子當作一個整體進行測量.而在量子全息中,為了獲得待測光子在特定自由度(如空間、時間、頻率等)的波函數信息,需要做自由度內的可分辨的測量,例如空間分辨單光子探測[14]、時間分辨單光子探測[15]、頻率分辨單光子探測[16].量子全息已經實現了單光子空間波函數、單光子頻率波函數、相干態時域波函數的測量[14-19].相比于經典全息方法,量子全息可以更好地抵抗相位噪聲的干擾,展現出更強的魯棒性[15].

為了更好地豐富和完善量子全息理論,本文建立了該理論的統一框架,按照從一般HOM 干涉(光子自由度內非分辨探測)到基于HOM 干涉的量子全息(光子自由度內分辨探測)的思路,結構安排如下: 首先從基礎的HOM 干涉理論開始,分析在不同輸入量子態下的干涉特性,并分析其魯棒性;然后,根據不同待測量子態和參考量子態,建立基于HOM 干涉的量子全息統一理論,包括待測態和參考態分別為單光子態和相干態的所有組合情況.通過理論分析發現量子態之間的差異性將以相似的形式反映在歸一化的二階關聯函數中,通過簡潔的算法便可以解算出待測量子態的信息.

2 HOM 干涉的一般理論

為了更好地理解量子全息理論,首先分析在不同量子態輸入情況下的HOM 干涉特性及魯棒性.典型的HOM 干涉裝置如圖1(a)所示.量子態|ψ〉1和|ψ〉2分別從分束器的 a1和a2口輸入,經過干涉后在分束器輸出口 b1和b2進行符合測量.根據量子光學,在輸出口的歸一化二階關聯函數為

圖1 Hong-Ou-Mandel 干涉裝置圖 (a)一般Hong-Ou-Mandel 裝置圖.量子態分別入射分束器的兩個輸入口 a1和a2,發生干涉后,通過兩個單光子探測器在輸出口 b1和b2 進行測量.根據單光子探測結果后選擇出符合測量結果.(b)基于Hong-Ou-Mandel干涉的量子全息.兩個輸入的量子態發生干涉后,在輸出口 b1和b2 做自由度內可分辨的單光子測量,并通過后選擇篩選出符合測量結果Fig.1.Setup of Hong-Ou-Mandel interference: (a) General Hong-Ou-Mandel setup.The two input states enter input ports of beam splitter (BS) a1 and a2,respectively.After passing through the BS,the photon is recorded by single photon detectors at output ports b1 and b2,respectively.According to the single photon detection results,the coincidence counts are postselected.(b) Quantum holography based on Hong-Ou-Mandel interference.After interference at the BS,degree of freedom (DOF) resolved detections are applied at the output ports b1 and b2,respectively.According to the single photon detection results,the DOF resolved coincidence counts are postselected.

其中,E(+)(qi)和E(-)(qi) (i=1,2)代表輸出口電場算符的正頻部分和負頻部分;q為廣義坐標,可以代表空間、時間、頻率等不同維度,不同的q值代表在同一維度下的不同取值;〈·〉 表示對量子態取平均;為分束器兩個輸出口之間的二階關聯函數,為分束器不同輸出口(i=1,2)的一階關聯函數.HOM 干涉一般理論中,將光子當作一個整體,即沒有考慮光子在坐標等維度上的分布.在不考慮特定維度(如空間、頻率等)分辨測量時,可忽略q.并且在模式相同情況下,用輸出口的湮滅算子(i=1,2)代替電場的正頻部分,產生算子(i=1,2)代替電場的負頻部分.(1)式簡化為

2.1 單光子Fock 態之間的HOM 干涉

最初的HOM 干涉實驗是采用自發參量下轉換產生的單光子完成的,要求兩個光子在頻率、偏振、空間模式、時間模式等各個維度上不可區分.該情況下輸入態表示為 |ψin〉=|1,1〉.二階關聯函數為

還可以通過量子態的演化過程分析符合計數的結果.當分束器的輸入為兩個全同的單光子時,演化過程為

可以看出,兩個光子要么同時從出口1 出射,要么同時從出口2 出射.這種現象稱作光子聚束效應,顯然不會產生符合計數結果.

當兩個輸入光路之間存在相位噪聲干擾時,輸入態表示為 |ψin〉=|1,1eiφn〉,其中φn表示隨機的相位噪聲.通過簡單的計算可以發現,在這種情況下和的數值保持不變,意味著干涉結果不受相位噪聲影響.此外,通過量子態的演化可以清晰地展示這種魯棒性.當有相位噪聲時,輸出態為 (|2b1〉-|2b2〉)eiφn/√.可以看出,相位噪聲作為雙光子波函數中的全局相位,不會對干涉結果產生影響.

2.2 相位隨機相干態之間的HOM 干涉

利用相位隨機的相干態也可以完成HOM 干涉實驗,此類干涉已經廣泛地應用于測量設備無關的量子密鑰分發協議中.相位隨機是指沒有確定的相位關系,實驗實現方式就是在兩者之間有在0—2π 之間均勻分布的隨機相位φr.此外,在量子密鑰分發協議中用“獨立”一詞表示兩個相干態之間沒有確定的相位關系,即存在隨機相位,兩種表述物理含義相同.相干態記作 |α〉,輸入的量子態表示為 |ψin〉=|α,〉.因此二階關聯函數為

如果兩個輸入光路之間存在相位干擾,輸入態表示為 |ψin〉=

此時g(2)仍然是0.5,說明輸入為相干態時,干涉結果不受相位噪聲影響.

2.3 單光子Fock 態與相干態的HOM 干涉

當一路為單光子態,另一路為相干態時,輸入態表示為 |ψin〉=|1,α〉,此時二階關聯函數為

在輸出口1 的一階關聯函數值為

注意,在這種情況下,二階關聯函數隨著相干態的平均光子數 |α|2變化.當 |α|2?1 時,相干態可以看作是單光子態,=0.當 |α|2=1 時,相干態的平均光子數為1,g(2)=0.25.當 |α|2?1 時,相干態可以看作是經典的強光,=1.

如果存在相位噪聲的干擾,輸入態可以表示為|ψin〉=.φn不會影響相干態的平均光子數的數值,即 |α|2=,因此這種情況下的HOM干涉同樣不受干擾.

3 基于HOM 干涉的量子全息

當輸入兩路的光子在某個自由度上存在差異性時,就會破壞以上理論的歸一化二階關聯函數值,光子之間的差異性也會反映在干涉結果中.從另一個角度,可以從干涉的結果中解譯光子之間的差異性,這便是HOM 量子全息的基本思想.注意,在第2 節分析的一般理論中,將光子看作一個整體,并不做自由度(空域、時域、頻域等)內的區分探測.但若要獲取光子之間在某個自由度內的差異性,則需要對同一廣義坐標不同q值之間進行測量,才可以獲得更豐富的信息.因此,在HOM 量子全息中,(1)式中保留qi,且在模式相同情況下簡化為

3.1 測量單光子態波函數

考慮結構信息,單光子可以表示為

其中,ψtest(q) 為單光子的波函數,|1q〉 表示單光子位于坐標q處.可以通過已知的單光子態或相干態作為參考,去提取待測單光子態的信息.

輸出口1 的一階關聯函數值為

輸出口2 的一階關聯函數值為

歸一化的二階關聯函數為

可以看出,通過歸一化的方法將ψref(q) 消掉,量子態之間的差異信息T(q)和φ(q) 反映在干涉圖樣中,同時相位噪聲φn并不會破壞干涉結果.如果量子態之間僅存在相位之間的差異,即T(q)=1,則g(2)(q1,q2)=cos[φ(q1)-φ(q2)].若量子態之間不存在任何差異,即T(q)=1 且φ(q)=0,則g(2)(q1,q2)=0,和(5)式的結論一致.

輸出口1 的一階關聯函數值為

輸出口2 的一階關聯函數值為

歸一化的二階關聯函數為

通過歸一化處理,αref(q) 被消掉.量子態之間的差異性信息全部反映在干涉圖樣中.同樣,相位噪聲φn并不會對干涉結果產生影響.

如果量子態的波函數之間僅存在相位差異,即T(q)=1,則g(2)(q1,q2)=cos[φ(q1)-φ(q2)].若波函數之間無差異,即T(q)=1,φ(q)=0,此時相干態的平均光子數為1,則g(2)(q1,q2)=0.25.若ψtest(q)=1 且αref(q)=α,則有T(q)=1/α,g(2)(q1,q2)=|α|4/(1+|α|2)2,和(12)式一致.

3.2 測量相干態波函數

考慮光子的結構信息,待測的相干態表示為

下面分析如何通過已知的單光子態或相干態作為參考,提取待測相干態的波函數信息.

參考態為單光子態.參考態可以表示為|ψref〉=∫ψref(q)|1q〉dq.同樣,待測態的波函數可以表示為

二階關聯函數為

輸出口1 的一階關聯函數值為

輸出口2 的一階關聯函數值為

因此歸一化的二階關聯函數為

通過歸一化的方法,消掉參考態波函數ψref(q) 的影響,差異性信息全部反映在干涉圖案中.注意,相位噪聲φn對干涉圖樣沒有影響.

如果量子態波函數之間僅存在相位差異,即T(q)=1,則g(2)(q1,q2)=cos[φ(q1)-φ(q2)].如果兩個態的波函數相同,即T(q)=1 且φ(q)=0,此時相干態的平均光子數為1,則g(2)(q1,q2)=0.25.如果ψref(q)=1,βtest(q)=β,且僅存在相位差 異,則T(q)=β,g(2)(q1,q2)=|β|4/(1+|β|2)2,與(12)式結論一致.

參考態為相位隨機相干態.參考態表示為|ψref〉=∏q|αref(q)〉.此時,待測態的波函數表示為βtest(q)=αref(q)=αref(q)T(q)ei[φ(q)+φr+φn].φr為服從 0—2π 之間均勻分布的隨機相位.根據φr的分布計算二階關聯函數

輸出口1 的一階關聯函數值為

輸出口2 的一階關聯函數值為

因此歸一化的二階關聯函數為

通過歸一化的方法,將參考態波函數αref(q) 的影響消除.差異性信息全部反映在干涉圖案中.注意,相位噪聲φn對干涉圖樣沒有影響.

如果量子態之間僅存在相位差異,即T(q)=1,則g(2)(q1,q2)=1-cos[φ(q1)-φ(q2)].如果量子態之間不可區分,即T(q)=1 且φ(q)=0,則g(2)(q1,q2)=0.5,與(9)式結論一致.

綜上,已經分析了基于HOM 量子全息的4 種情況,如表1 所列.通過測量不同廣義坐標之間的歸一化二階關聯函數,可以獲得量子態之間的差異性信息T(q)和φ(q),同時消除了參考態波函數的影響.需要強調的是,HOM 全息中兩個光子僅在某一維度q上波函數具有差異性,而在其他維度上光子波函數相同.利用HOM 干涉測量的是待測光子在某一維度下波前的相對變化,即兩個點q1和q2的相位差 [φ(q1)-φ(q2)],并不是絕對相位.因此在這種測量中可以消除整體隨機相位φn的影響.在文獻 [14]中,通過計算HOM 干涉后的雙光子波函數來解讀波前測量的物理含義,經過干涉后的雙光子波函數具有交換反對稱性,因此波函數的模方保留了不同坐標之間的相位差異性.

表1 Hong-Ou-Mandel 量子全息的4 種情況Table 1.Four combinations in Hong-Ou-Mandel Holography.

在抵抗相位噪聲方面,量子全息(二階干涉)相比于經典全息(一階干涉)在單光子探測條件下具有更明顯的優勢.經典全息以Mach-Zehnder 干涉儀為例,單次測量結果正比于 cos[φ(q1)+φn].在單光子水平下,需要通過多次測量獲取φ(q1) 的分布.然而在多次測量過程中,由于平臺振動等因素產生的整體隨機相位噪聲φn是隨著時間變化的,因此最終的測量結果正比于 cos[φ(q1)+φn(q1)],包含一項隨坐標q1變化的相位噪聲φn(q1).相比之下,量子全息中的符合測量結果只與相位差[φ(q1)-φ(q2)] 有關,隨機的整體相位噪聲φn不會對符合計數結果產生影響.因此量子全息方式可以更好地抵抗此類相位噪聲的干擾.

4 歸一化二階關聯函數值分布與重構算法

根據理論公式(18),(22),(27) 和(31)式,計算在特定T(q)和φ(q) 情況下的歸一化二階關聯函數(干涉結果),結果如圖2 所示.其中圖2(a)和圖2(b)為設定的相位和振幅.圖2(c)—(f)依次為不同量子態輸入的情況下,g(2)(q1,q2) 的數值分布.以一維的振幅和相位為例,在HOM 全息中通過不同坐標點q1和q2之間的符合測量,形成了二維的測量結果(圖2(c)—(f)).具體地,圖2(c)—(f)的函數值表示在不同量子態情況下,探測器1 位于q1并且探測器2 位于q2時的歸一化符合計數率.在具體的實驗中,通過測量不同坐標之間的符合計數率獲得圖2(c)—(f)的分布.

圖2 不同待測態和參考態下的歸一化二階關聯函數值分布 (a)相位;(b)振幅;(c)利用單光子態測量單光子態波函數的全息圖;(d)利用相干態測量單光子態波函數的全息圖;(e)利用單光子態測量相干態波函數的全息圖;(f)利用相位隨機相干態測量相干態波函數的全息圖Fig.2.Ideal normalized second-order correlation function of different quantum states: (a) Phase;(b) amplitude;(c) hologram of single photon state wave function measurement using single photon state;(d) hologram of single photon state wave function measurement using coherent state;(e) hologram of coherent state wave function measurement using single photon state;(f) hologram of coherent state wave function measurement using random phase coherent state.

根據歸一化的二階關聯函數值,可以直接反解量子態之間的差異性.根據不同的待測態和參考態分別介紹重構算法.1)利用單光子態全息單光子態.步驟1,計算振幅.從單路的計數率和參考態信息獲取振幅分布.步驟2,利用振幅分布和(18)式計算相位分布.2)利用相干態全息單光子態.步驟1,計算振 幅.令q1=q2=q,此時g(2)(q1=q2)=1/(T(q)4+2T(q)2+1).振幅分布可以直接從圖2(d)的對角線獲得.步驟2,利用振幅分布和(22)式計算相位分布.3)利用單光子態全息相干態.步驟1,計算振 幅.令q1=q2=q,此時g(2)(q1=q2)=T(q)4/(T(q)4+2T(q)2+1).振幅分布可以直接從圖2(e)的對角線獲得.步驟2,利用振幅分布和(27)式計算相位分布.4)利用相位隨機相干態全息相干態.步驟1,計算振幅.令q1=q2=q,此時g(2)(q1=q2)=(T(q)4+1)/(T(q)4+2T(q)2+1).振幅分布可以直接從圖2(f)的對角線獲得.步驟2,利用振幅分布和(31)式計算相位分布.此外,根據ψtest(q)=ψref(q)T(q)ei[φ(q)+φn],T(q) 全部為正值,負值部分歸結為相位中存在 ei(2k+1)π相位差(其中k取整數).盡管T(q) 全部以偶次方項出現在單路計數率和符合計數率中,但并不影響重構的準確性.本文提出的波函數重構方法,充分利用二階關聯函數值分布的特點,僅通過簡單的運算就可以獲取振幅和相位信息.相比單光子全息工作中采用的最優化方法[14],十分簡潔.在具體的重構計算中,僅涉及二次方程求根和三角函數運算,且振幅均為正值,因此重構結果具有唯一性.在振幅和相位信息提取算法中,首先通過單路計數或者歸一化二階關聯函數的對角線獲取振幅分布,再結合干涉圖樣計算相位分布.注意在單光子態和單光子態干涉的情況中,由于光子聚束效應,當q1=q2,符合計數為0,因此無法從干涉圖樣的對角線提取振幅信息.

5 結論

本文建立了基于HOM 干涉的量子全息理論框架,如表1 所列.通過測量歸一化的二階關聯函數,可以獲取待測態的波函數信息,同時消除了參考態波函數的影響.該全息方式的魯棒性得益于HOM 干涉方式以及符合測量方法.如果已知參考態波函數信息,利用量子全息方法,可以直接進行量子態層析以及量子過程層析[20-22].該量子全息方法也可應用于其他成像或者光學過程中,尤其是在單光子水平下可以更好地抵抗相位干擾.