功能梯度復合材料充液彎管/直管的振動特性分析

陳 劍，李 毅

(海軍裝備部裝備審價中心，北京 100161)

0 引 言

充液管道是艦船冷卻系統、均衡系統、供油系統中的重要組成部件，承擔著運輸的功能。同時設備引起的管壁振動和管內的噪聲也會沿著管路系統進行傳遞，從而影響艦船的水下聲輻射性能。隨著海水抗腐蝕性能和輕量化設計要求的提高，越來越多的先進復合材料結構被應用于管路系統的振動控制中。功能梯度材料(Functionally Graded Material, FGM)是在1984 年由日本科學家提出的一種材料參數特性可隨空間位置呈現連續梯度變化的新型材料，如線性或指數特性變化[1]。此外由于具有很強的可設計特性、較好的耐磨損性能和抗斷裂性能，功能梯度材料在工業領域有著極大應用前景[2-3]。功能梯度管路是指管殼結構中，沿著管道的軸向分布有著不同的材料組分或結構設計，以實現不同功能。設計功能梯度管路時，材料組分和結構設計都非常重要。目前，常用的材料組分主要包括金屬、陶瓷、聚合物以及它們的復合材料等。而結構設計包括管徑、壁厚、彎曲角度、彎曲半徑等因素。研究功能梯度管路的方向非常廣泛，包括力學性能、熱學性能，以及流體力學性能等。其中，流體力學性能是功能梯度管路的一個重要研究領域。研究表明，在功能梯度管路中，不同的材料組分和結構設計會對流體的傳輸性能產生顯著影響，例如可降低流體的阻力，改善流體的流動狀態等。在功能梯度管路的制備方面，常用的方法包括機械加工、熱加工、化學合成等。其中，熱加工是一種常見的方法，可通過熱軋、熱拉伸等方式實現功能梯度管路的制備。另外，化學合成也是一種常用方法，目前已有許多關于此方面的研究成果?？偟膩碚f，功能梯度管路已成為研究的熱點之一，其研究涉及多個領域，包括材料科學、力學工程、流體力學等。

目前在船舶海洋工程中，冷卻和輸流等充液管道主要采用銅、鐵等金屬管道，隨時間推移，海水極易對金屬材料管壁造成腐蝕，形成管道內部堵塞，縮短了管道使用年限和增加了維護保養費用[4]。當流體與管壁碰撞并擠壓時，會引起耦合振動并進一步增加噪聲。然而，傳統金屬材料的聲學阻尼性能相對較差，這對艦艇的減震和降噪造成了相當大的不利影響。目前具有優良的抗疲勞、阻尼特性新型復合材料越來越多的被應用于工業中[5]。本文考慮以功能梯度材料取代金屬材料應用于輸流管道，分析材料改變對于充液管道振動的影響。

一般來說，管道的軸向尺寸明顯大于徑向尺寸，充液管路理論模型中通常采用充液梁模型和充液圓柱殼2 種理論模型。在早期的研究中，管內流體的影響僅僅被作為附加質量作用于充液梁的振動方程中，從而不考慮流體與管道之間的耦合效應[6–8]。在隨后的研究中，充液管道耦合理論得到了進一步發展，包括管壁材料引起的泊松耦合、彎管分支管等不連續處的連接耦合和管壁內部的摩擦耦合效應等。在理論模型完善上，William[9]和Walker 等[10]首先考慮了管內流體在管道軸向的可壓縮性。Wiggertr 等[11]和Lesmezr 等[12]則考慮了管壁材料的泊松耦合效應，即管壁軸向的應力波與管內流體聲波之間的相互耦合作用。另外，Leer 等[13]還在理論中加入了重力作用和流體的粘性效應。此外，Gormanr 等[14]也考慮了管道的徑向變形和初始預應力作用?？紤]管路流固耦合(Fluid-Structure Interaction, FSI)將有助于提高管路計算精度，不考慮流固耦合將會導致管內流體壓力計算結果偏低，管路結構強度計算結果偏高。精確的管路流固耦合計算模型將有助于管路系統的優化與設計，而不夠精確的計算結果則會導致管路失效，引發安全事故與經濟損失。因此很多學者對管路流固耦合模型開展研究，管路流固耦合可看作是經典水錘理論的擴展，充液管路流固耦合從基本的2 方程水錘模型發展到求解三維管路流固耦合振動的14 方程模型，還經歷了軸向振動4 方程模型，橫向振動6 方程模型和面內振動8 方程模型等逐漸完善的階段。主要分為時域響應求解和頻域響應求解兩大類，時域分析方法以特征線法為代表，頻域分析方法主要有傳遞矩陣法、阻抗綜合法、動剛度法等。其中，傳遞矩陣法在求解長距離輸流管道時會存在數值溢出和響應計算不穩定。

此外，穩定性分析也是充液管路重要的研究方向之一，Pa?doussis 等[24]進行了大量的管路顫振和發散失穩方面的研究，Li 等[25]基于哈密爾頓原理研究了兩端彈性約束充液管非線性振動特性，Djondjorov 等[26]研究了彈性基礎上管路中流速對充液管道失穩特性的研究。但失穩管路中的流速都比較高，船舶充液管路流速通常為3～10 m/s。張濤等[27]通過計算與實驗研究發現，管內流速從0 m/s 增加到8.9 m/s 時，管路系統固有頻率幾乎不變。

表1 文獻[27]中充液管路系統固有頻率隨流速變化Tab.1 The natural frequency of the liquid filled pipeline system varies with flow velocity in reference [27]

目前，針對功能梯度管道流固耦合振動研究的文獻較為有限。劉辰[19]分別采用Euler梁和Timoshenko 梁模型研究了功能梯度輸流管的振動及失穩，此外近年來在微尺度方向對于單壁、多壁輸流碳納米管[20–22]的研究也很熱門，但大多將流體視為附加質量，并未考慮流體與結構的耦合。

本文假設管道材料特性沿管壁厚度方向呈現梯度變化。為了模擬管壁的連續梯度變化，將其均分為多層，并把每一層近似為均勻材料。基于管道流固耦合理論，將流速和壓力設為變量，計入流體在管道軸向的可壓縮性。通過管道的運動方程及流體運動、連續方程得出輸流彎管的耦合振動方程，還可進一步退化為直管方程。采用動剛度法進行數值求解，并基于單位內控制方程的精確解進行計算。相較于有限元法，該方法具有更高的計算效率。

1 功能梯度充液管道控制方程

1.1 功能梯度管理論模型

假設管道截面為標準圓形，管道的徑向坐標記為r，其內徑為r1，外徑為r2。又假設楊氏模量、密度以及泊松比都沿著半徑厚度方向呈指數變化。如圖1 所示，將截面均勻地分為K層，并假設每一層的材料屬性保持不變，同時沿厚度方向，層與層之間的材料參數呈現梯度變化例如第m層的材料參數表達式為：

圖1 管道截面分層模型Fig.1 Discrete model for the pipe section

式中，下標1 和下標2 分別表示內界面和外界面的材料參數，rm1和rm2分別為第m層的內外半徑，n為可變化的梯度指數。

1.2 充液彎管方程

彎管是管路系統中的重要組成部件之一，具有改變管內流體流動方向功能。研究一段圓弧形充液彎管的振動，彎曲半徑為R，彎曲角度為α，管道內半徑為a，壁厚為e。圖2 為彎管的微元段，圖中建立的局部坐標系沿管道的軸向弧線方向為s，面內與s方向相切的方向為z軸，垂直方向為y軸。彎管可視為一個曲梁結構，u和w分別表示梁的中性軸沿z軸和y軸的位移，φ表示面內的轉角。在彎管兩端截面上，N和Q分別表示軸向力和剪力，M表示彎矩，P和cf表示流體截面的平均流體壓力和流速。

圖2 彎管微元段受力示意圖Fig.2 Force diagram for infinitesimal curved pipe element

對于曲梁結構，截面上的應變為：

式中：κ為曲率變化，ε0為中性面上的應變，γ為剪應變，則梁上任意一點軸向應變為 εz=ε0+yκ。

在y-z平面內，由圖2 可得該彎管橫向及軸向的平衡方程為：

流體在軸向的運動方程和連續方程為：

式中：r為截面徑向坐標；Kf為流體的體積模量；ur為徑向位移。在流體截面內進行積分并取平均值：

將式(10)沿管壁截面積分，取平均值得：

方程(3)～方程(5)、方程(13)～方程(16)構成了功能梯度充液彎管的面內振動方程。

2 管系振動求解

采用管道子結構的剛度矩陣為最小的拼接單元，為了在同一矩陣下組裝管道，采用管道兩端的流體位移變量，需從管道振動控制方程中的變量速度進行偏導變化求得。根據分離變量原則，假設管道兩端的位移和力變量形式為： ψ(s,t)=Ψ(s)eiωt。其中，i為虛數單位(i2=-1)，ω為圓頻率。聯立方程，消去振動控制方程中的內力變量，則得到關于位移變量的矩陣方程為：

式中，Huj、Hwj、Hvj均為常系數。聯立式(13)～式(16)中的內力與位移之間的關系，可以用位移變量來表示內力變量。每個管道單元都有首尾兩端，將每一端的位移、轉角和流速作為單元節點位移，將界面上的內力和流體壓力作為單元節點外力。值得注意的是，位移和外力的函數都與C1～C8相關，因此節點外力和節點位移可用矩陣形式表示為：

式中：K1和K2為與ω相關的系數矩陣，Rα表示曲管的弧長。若管道為直管，則用管道長度L來代替Rα。

因此由式(18)可得節點力與節點位移的關系為：

其中，Ke為單元動剛度矩陣，Ke=K2K1-1。

3 算例分析與討論

3.1 退化至各向同性材料的驗證

運用動剛度法計算圖3 中一段L 型的空心管道，其一端固支，另一端自由。在自由端施加橫向單位載荷時，該位置的1～1 000 Hz 橫向位移響應曲線如圖4所示。離散模型是由若干條直管單元組裝而成，同時在轉角處會被離散成2 段直管。而連續模型則由首末端的直管單元和一個彎曲單元組裝而成，其中彎曲單元會被建模為梁模型，并且在有限元軟件中進行計算。計算模型的尺寸及參數為：L=1 m；R=0.2 m；a=35 mm；e=5 mm；E=157 GPa；μ=0.34；ρ=9 000 kg/m3。從圖4 曲線可以看出，連續模型和離散模型計算結果非常接近。在低頻范圍內，有限元計算結果和動剛度法計算結果完全一致，而當頻率升高，有限元網格劃分細化度越高，越逼近動剛度法的計算曲線。由此可見本文采用的動剛度法計算效率相對較高。

圖3 L 型管系結構Fig.3 The L-shaped pipe system

圖4 管道自由端頻域位移響應曲線Fig.4 Displacement responses at the free end in frequency domain

驗證充液管道的振動特性。如圖5 所示，管道由一段帶法蘭的直管和一段彎曲管道構成。其中，管道左側與管道支撐構件固定，管道上端無約束且與大氣相通。管道材料密度為7 900 kg/m3，材料損耗為0.001，楊氏模量為210 GPa，泊松比為0.3。法蘭內徑為90 mm，外徑為185 mm，厚度為20 mm，法蘭與法蘭之間通過螺栓連接。管道截面直徑為80 mm，壁厚為4.5 mm，。管道內充液體為水，密度為1 000 kg/m3，體積模量為1.95 GPa，損耗為0.002。實驗中，在管道的自由端放置了激振器，以產生單元力載荷，并進一步產生面內橫向載荷。圖6 對比了10～1 000 Hz 頻率范圍內的彎管面內振動加速度響應，實驗結果表明理論預測與實驗曲線吻合度較高。此外，對于內徑較小的充液管路彎管而言，使用連續模型和離散模型的差異仍然較小。

圖5 充液管道示意圖Fig.5 Experimental photo of fluid-filled pipes

圖6 頻域內加速度響應曲線對比Fig.6 Comparions of acceleration responses in frequency domain

3.2 功能梯度充液管道的振動

以一段長度為6 m、兩端簡支的功能梯度充液直管為例，其截面內徑為0.2 m，內壁由SiC 陶瓷材料制成，外壁由鋁-SiC 陶瓷材料復合而成。其中，SiC 陶瓷的楊氏模量為427 GPa，泊松比為0.17，密度為3 100 kg/m3，鋁-SiC 陶瓷的楊氏模量為70 GPa，泊松比為0.33，密度為2 700 kg/m3，管內流體為水。管壁用20 層均勻離散單元進行模擬，根據計算結果生成固有頻率表。

表2 列舉的分別為前3 階彎曲模態，第一階軸向模態及前3 階流體模態，由表中數據對比可見，管壁材料的變化對于結構模態的影響要大于對于流體模態的影響；管道截面壁厚與內徑比越小，即管壁越薄，材料對于流體模態的影響越大；隨n值增大，固有頻率增大，但變化幅度逐漸變小。不過這是由沿壁厚方向的變化函數決定的。

表2 不同壁厚情況下充液直管固有頻率(Hz)Tab.2 Natural frequencies(Hz) of fluid-filled straight pipes with different thickness

針對圖3 的管系算例，將金屬材料變為功能梯度材料，在第一段直管末端施加橫向單位載荷，得到頻域內管道自由端的橫向位移響應后，進行傅里葉逆變換得到時域內響應。圖7 展示了在0～1 s 內，當采用不同n值的管道材料時，橫向位移響應曲線的變化。值得注意的是，盡管在前面算例中發現n值升高能提高固有頻率，但管道的振動幅值并非隨n值的增大單調降低。選取幾個具有代表性n值的計算結果。由圖可知，在n值小幅提升時，振動幅值明顯降低，但n值繼續增大至3 時，振動幅值反而增大，而當n進一步增大，即材料無限近似于內壁材料時，振動幅值又顯著降低。由此可見，在工程中在應用功能梯度材料時，對于梯度變化函數的定義應綜合考慮其動態特性和對結構的影響等因素。

4 結 語

本文研究了充液功能梯度管道的振動特性，將動剛度法應用于管道單元組裝和拼接。通過與有限元和實驗結果的對比驗證，本文所采用的計算方法經證實準確可靠。由功能梯度管道的振動模態和時域響應分析可見：管道材料的變化對于結構的影響遠大于對于流體的影響，管壁越薄，流體所受的影響越大；管壁應用功能梯度材料在保證強度和耐腐蝕的前提下，適當改變梯度指數能有效提高管道結構振動的穩定性，但梯度指數的選取與功能梯度材料本身的材料屬性變化函數相關。本文提出的分層模型還可適用于多層復合管道，運用的動剛度法可適用于多種管道組裝方式，且具有較高的計算效率。