一種基于五彈簧模型的準(zhǔn)零剛度隔振裝置特性分析

楊兆豪，帥長(zhǎng)庚，李步云

(1.海軍工程大學(xué) 振動(dòng)與噪聲研究所，湖北 武漢 430033；2.船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430033)

0 引 言

目前，大量采用線性隔振元件解決工程隔振問(wèn)題[1]。然而，對(duì)于某些工程問(wèn)題而言，需要實(shí)現(xiàn)低頻隔振，甚至極低頻隔振。若仍采用線性隔振方式，要實(shí)現(xiàn)低頻隔振勢(shì)必要降低隔振系統(tǒng)的剛度，這不僅會(huì)降低隔振系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定性，在一些復(fù)雜工況下，如搖擺、沖擊，還會(huì)導(dǎo)致隔振器變形過(guò)大，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。使用非線性隔振器可以解決上述問(wèn)題，在一系列參數(shù)設(shè)定下，實(shí)現(xiàn)高靜態(tài)剛度低動(dòng)態(tài)剛度特性，此類隔振器被稱為準(zhǔn)零剛度(Quasi-zero stiffness，QZS)隔振器[2]。準(zhǔn)零剛度隔振裝置的動(dòng)力學(xué)特性方程可以由具有三次非線性項(xiàng)Duffing 振子模型描述[3]。

Kovacic[4]設(shè)計(jì)了一種由2 個(gè)有預(yù)壓、非線性斜向彈簧與線性垂向彈簧并聯(lián)的準(zhǔn)零剛度隔振器，研究了該隔振器實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度的條件及在非對(duì)稱激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，結(jié)果表明該模型在平衡位置的準(zhǔn)零剛度特性與初始彈簧的幾何關(guān)系，斜向彈簧的預(yù)壓程度、剛度有關(guān)，然而動(dòng)力學(xué)分析表明該模型在非對(duì)稱激勵(lì)下，在一定激勵(lì)頻率范圍內(nèi)，會(huì)產(chǎn)生周期倍增的分叉，最終會(huì)產(chǎn)生混沌行為。Carrella[5]在Kovacic的研究基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步推廣，將2 個(gè)斜彈簧分為有預(yù)壓的線性彈簧、有預(yù)壓的非線性彈簧以及無(wú)預(yù)壓的線性彈簧這3 種情況進(jìn)行靜力學(xué)分析，研究了3 種模型在對(duì)稱激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)特性，結(jié)果表明3 種情況的準(zhǔn)零剛度隔振裝置的隔振效果都比原線性系統(tǒng)的隔振效果好，其中斜彈簧為有預(yù)壓的非線性彈簧隔振效果最佳。Brennan[6]總結(jié)了前人對(duì)Duffing 振子的研究，給出了對(duì)于小阻尼Duffing 振子在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的跳躍頻率和該頻率下響應(yīng)幅值的表達(dá)式，比較了諧波平衡法與微擾法求解方程的誤差，結(jié)果表明向上跳躍頻率與系統(tǒng)的非線性度和激勵(lì)力的幅值有關(guān)，向下跳躍頻率不僅與上述因素有關(guān)還與系統(tǒng)阻尼有關(guān)。彭獻(xiàn)[7]研究了三彈簧連桿機(jī)構(gòu)準(zhǔn)零剛度隔振器，側(cè)向彈簧只在水平方向移動(dòng)，其隔振性能優(yōu)于非線性隔振器，當(dāng)隔離隨機(jī)振動(dòng)時(shí)，宜隔運(yùn)動(dòng)而不宜隔離力。任旭東[8]基于空氣彈簧隔振器，設(shè)計(jì)了一種三氣囊連桿結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)零剛度隔振裝置，結(jié)果表明當(dāng)在相同激勵(lì)幅值的條件下，空氣彈簧準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)相對(duì)于單個(gè)空氣彈簧隔振系統(tǒng)能夠隔離更低頻的振動(dòng)，且當(dāng)激勵(lì)頻率大于空氣彈簧準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的向下跳躍頻率時(shí)，空氣彈簧準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)具有更好的隔振性能。

本文提出一種五彈簧準(zhǔn)零剛度隔振裝置模型（簡(jiǎn)稱為五彈簧裝置），推導(dǎo)了模型的靜力學(xué)關(guān)系，利用近似回復(fù)力并借助帶有三次非線性項(xiàng)的Duffing 振子動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行模型的動(dòng)力學(xué)分析，分析該隔振裝置的穩(wěn)定性，并研究不同參數(shù)對(duì)該隔振裝置力傳遞率的影響。

1 準(zhǔn)零剛度隔振裝置力學(xué)模型建立

1.1 準(zhǔn)零剛度隔振裝置模型靜力學(xué)關(guān)系推導(dǎo)

本文的準(zhǔn)零剛度隔振裝置布置如圖1 所示。斜置彈簧原長(zhǎng)為y，初始?jí)嚎s量為 δ ，長(zhǎng)度為L(zhǎng)0=y-x10，重物距離基座的水平距離為a，斜向彈簧安裝位置到平衡位置的垂直距離為h0，斜向彈簧與水平夾角為 θ0，剛度為kd；垂向支撐彈簧初始?jí)嚎s量為x0，剛度為ku，質(zhì)量M=kux0。

圖1 五彈簧準(zhǔn)零剛度隔振裝置模型Fig.1 Five-springs quasi-zero-stiffness vibration isolator model

取向下為正方向，假設(shè)不存在垂向彈簧時(shí)，僅分析4 個(gè)斜置彈簧力學(xué)特性，當(dāng)外力F作用，M下移x時(shí)（見(jiàn)圖2），在小位移條件下，認(rèn)為1 彈簧和2 彈簧始終處于壓縮狀態(tài)，由力學(xué)平衡可得：

圖2 五彈簧準(zhǔn)零剛度隔振裝置受力作用后任意時(shí)刻Fig.2 A time when five-springs QZS vibration isolator model forced

1.2 準(zhǔn)零剛度隔振裝置模型靜力學(xué)特性分析

對(duì)于不同的δ? 、k? 、 γ值，無(wú)量綱回復(fù)力、無(wú)量綱剛度與無(wú)量綱位移關(guān)系分別如圖3～圖5 所示。可以看出，在一定的參數(shù)條件設(shè)定下，該隔振裝置能夠在平衡位置附近 (x?=0)，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性。

圖3 k ?=1，γ=√3/2時(shí) ，不同 δ?值下，無(wú)量綱回復(fù)力和無(wú)量綱剛度與無(wú)量綱位移關(guān)系特性曲線((a)中實(shí)線部分為|x?|

圖4 k ?=1，δ?=2/3時(shí) ，不同 γ值下，無(wú)量綱回復(fù)力和無(wú)量綱剛度與無(wú)量綱位移關(guān)系特性曲線((a)中實(shí)線部分為|x?|

圖5 γ =√3/2，δ?=2/3時(shí) ，不同 k? 值下，無(wú)量綱回復(fù)力和無(wú)量綱剛度與無(wú)量綱位移關(guān)系特性曲線(a)中實(shí)線部分為|x?|

將參數(shù)條件(7)代入式(5-b)可以得到下式：

將符合式(8)要求的不同 γ 、 δ?值代入式(7)中，計(jì)算出相應(yīng)的k? 值，當(dāng)k?大于0 時(shí)，該組數(shù)據(jù)即為可取值，代入式(5)中，研究不同的 γ 和 δ?值對(duì)五彈簧系統(tǒng)力學(xué)特性的影響。

由圖6 可以看出，當(dāng) δ? 值不變時(shí)，隨著 γ值的增大，系統(tǒng)由不穩(wěn)定狀態(tài)（系統(tǒng)存在負(fù)剛度）變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài)，存 在 一 個(gè) 最 佳 的 γ 值（ γ =0.887 758，即 安 裝 角 度θ=27.407 1?）使得平衡位置附近具有最大范圍的準(zhǔn)零剛度特性。當(dāng) γ值繼續(xù)增大時(shí)，平衡位置附近的準(zhǔn)零剛度特性變差，且系統(tǒng)在平衡位置附近的剛度也隨之增大。

圖6 δ ?=0.664 時(shí)不同 γ值下準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)力學(xué)特性曲線Fig.6 The mechanical charateristic curve of QZS system under different γ when δ?=0.664

選 取 γ=0.887 758 ，分 析 δ?對(duì) 系 統(tǒng) 的 影響，得到圖7。可知，當(dāng) γ不變時(shí)，隨著 δ?增大，系統(tǒng)的無(wú)量綱剛度與無(wú)量綱位移關(guān)系曲線的形狀基本不變，能體現(xiàn)良好的準(zhǔn)零剛度特性，但遠(yuǎn)離平衡位置處的剛度變小。比較K?D-QZS=1位置處對(duì)應(yīng)的偏移平衡位置的位移量，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng) δ?增大時(shí)，能夠表現(xiàn)出準(zhǔn)零剛度特性的允許偏移量范圍也在不斷增大，這對(duì)整個(gè)裝置而言有益，當(dāng)重物造成較大位移偏移量時(shí)，五彈簧裝置的剛度仍可以小于原線性系統(tǒng)。

圖7 γ =0.887 758 時(shí)不同 δ?值下準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)力學(xué)特性曲線Fig.7 The mechanical charateristic curve of QZS system under different δ? when γ=0.887 758

2 簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下動(dòng)力學(xué)方程的求解

2.1 準(zhǔn)零剛度隔振裝置運(yùn)動(dòng)方程建立

在動(dòng)力學(xué)分析中，使用近似無(wú)量綱回復(fù)力進(jìn)行代替原無(wú)量綱回復(fù)力表達(dá)式。

假設(shè)質(zhì)量M在平衡位置附近的位移很小，即x? 為小量，對(duì)無(wú)量綱回復(fù)力在零點(diǎn)處進(jìn)行三階泰勒展開。

式(11)可變?yōu)?/p>

比較式(13-a)與式(5-a)，在泰勒三階展開下得到的近似回復(fù)力F?rapp與回復(fù)力F?r的比較，如圖8 所示。

圖8 五彈簧準(zhǔn)零剛度隔振裝置回復(fù)力曲線比較圖Fig.8 Comparisonof restoringforcecurves of the five-spring QZS vibration isolatorwhenk=1，γ=3/2

可以看出，近似回復(fù)力F?rapp能夠較好地代替回復(fù)力F?r進(jìn)行表達(dá)。因而在后續(xù)的動(dòng)力學(xué)分析中，使用近似回復(fù)力F?rapp進(jìn)行推導(dǎo)求解并完成相關(guān)分析。

假設(shè)隔振裝置的阻尼為線性粘性阻尼，其阻尼系數(shù)為c，圖1 隔振模型可以等效為圖9 所示的單自由度隔振模型。

圖9 五彈簧隔振裝置等效單自由度模型Fig.9 Equivalent SDOF system of the five-spring QZS vibration isolator

當(dāng)施加諧波激勵(lì)力fe=Fcos(ωt)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律可得到該系統(tǒng)的非線性運(yùn)動(dòng)微分方程為：

將式(13-b)代入式(14)可以得到裝置的無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)微分方程：

2.2 跳躍頻率的計(jì)算

設(shè)裝置在諧波激勵(lì)條件下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解為：

對(duì)于該隔振裝置，將式(16)代入式(15)，得到

利用三角變換并令各諧波項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)等于0，同時(shí)忽略高階諧波項(xiàng)，可以得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解表達(dá)式為：

為了得到向下跳躍頻率，將共振頻率 ?的2 個(gè)正值解解出得到

為比較五彈簧裝置隔振效果，構(gòu)建單個(gè)彈簧隔振裝置等效自由度模型，如圖10 所示。

圖10 單個(gè)隔振裝置等效單自由度模型Fig.10 Equivalent SDOF system of the one-spring vibration isolator

當(dāng)同樣給系統(tǒng)施加諧波激勵(lì)力fe=Fcos(ωt)時(shí)，可得到該系統(tǒng)的無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)微分方程為：

同樣可以得到其共振頻率 ?single的2 個(gè)正值解為

2.3 力傳遞率的計(jì)算

對(duì)于簡(jiǎn)諧波激勵(lì)條件下的系統(tǒng)，采用絕對(duì)力傳遞率作為評(píng)價(jià)其隔振性能的指標(biāo)，并定義為

式中：F?t為施加于隔振系統(tǒng)的力F?經(jīng)過(guò)隔振效果后所殘余的力。五彈簧裝置的無(wú)量綱恢復(fù)力可由式(13)得到：

3 動(dòng)力學(xué)特性分析

3.1 穩(wěn)定性分析

準(zhǔn)零剛度隔振裝置由于存在多個(gè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解，從而會(huì)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，其中包括與系統(tǒng)阻尼比相關(guān)的向上跳躍，以及出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值最大值對(duì)應(yīng)的向下跳躍。

使用馬蒂厄方程判別法，引入擾動(dòng)變量 ε ?(τ)，分析該五彈簧裝置穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解可以設(shè)為：

將式(30)代入五彈簧裝置的無(wú)量綱微分方程式(15)，能夠得到該微小擾動(dòng)的微分方程：

式(31)為含有阻尼的Mathieu 方程，可變?yōu)椋?/p>

將式(33)代入式(32)，同時(shí)利用三角函數(shù)變換并忽略高階諧波項(xiàng)得到多項(xiàng)式方程組，使其方程組判別式等于0，能夠得到穩(wěn)定性判定邊界條件。

3.2 傳遞率分析

3.2.1 激勵(lì)幅值的影響

圖11 為阻尼比 ξ、結(jié)構(gòu)參數(shù) γ 與k?一定時(shí)，不同激勵(lì)幅值F?條件下隔振系統(tǒng)的傳遞率曲線。參數(shù)的具體取值如表1 所示，傳遞率用分貝（dB）表示。

表1 研究激勵(lì)幅值對(duì)裝置隔振性能影響時(shí)的系統(tǒng)參數(shù)取值Tab.1 The parameter values studied when different excitation amplitude effects on the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

圖11 不同激勵(lì)幅值對(duì)裝置隔振性能的影響比較圖Fig.11 Comparison of effects of different excitation amplitude the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

隨著激勵(lì)幅值的增大，五彈簧裝置的絕對(duì)力傳遞率會(huì)產(chǎn)生明顯的變化。激勵(lì)幅值越大，絕對(duì)力傳遞率的最大值越大。在較小的激勵(lì)幅值影響下，五彈簧裝置的隔振性能表現(xiàn)較好。

比較相同激勵(lì)幅值的條件，在激勵(lì)頻率增大的過(guò)程中，五彈簧裝置率先開始隔振，意味著其能夠隔離更低頻的振動(dòng)；當(dāng)激勵(lì)頻率大于五彈簧裝置的向下跳躍頻率時(shí)，五彈簧裝置的絕對(duì)力傳遞率小于單個(gè)彈簧隔振系統(tǒng)，意味著其具有更好的隔振性能；在較高的激勵(lì)頻率區(qū)間，五彈簧裝置的隔振性能優(yōu)勢(shì)逐漸減小。此外，對(duì)于五彈簧裝置，隨著激勵(lì)幅值的增大，其隔振起始頻率減小，因而為了獲得更好的低頻隔振性能，需要控制適當(dāng)?shù)募?lì)幅值。

3.2.2 阻尼比的影響

圖12 為 激勵(lì)幅值F? 、結(jié)構(gòu)參 數(shù) γ 與k?一定時(shí)，不 同阻尼比 ξ條件下隔振裝置的傳遞率曲線。參數(shù)的具體取值如表2 所示，傳遞率用分貝（dB）表示。

表2 研究阻尼比對(duì)裝置隔振性能影響時(shí)的參數(shù)取值Tab.2 The parameter values studied when different damping ratio effects on the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

圖12 不同阻尼比對(duì)裝置隔振性能的影響比較圖Fig.12 Comparison of effects of different damping ratio the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

隨著阻尼比的增大，2 個(gè)裝置在不同激勵(lì)頻率區(qū)間內(nèi)隔振性能的相互關(guān)系與激勵(lì)幅值增大時(shí)正好相反。較大的阻尼比會(huì)使2 個(gè)系統(tǒng)絕對(duì)力傳遞率的最大值均減小。當(dāng)阻尼比增大到一定程度時(shí)，五彈簧裝置的絕對(duì)力傳遞率的最大值消失。因而在調(diào)整五彈簧裝置的隔振性能時(shí)，需選擇適當(dāng)?shù)淖枘岜取?/p>

3.2.3 結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響

圖13 與圖14 分別為激勵(lì)幅值F? 、阻尼比 ξ一定時(shí)，不同結(jié)構(gòu)參數(shù) γ 與k?條件下隔振裝置的傳遞率曲線。具體取值如表3 和表4 所示，傳遞率用分貝（dB）表示。

表3 研究 γ對(duì)裝置隔振性能影響時(shí)的參數(shù)取值Tab.3 The parameter values studied when different γ effects on the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

圖13 不同 γ對(duì)裝置隔振性能的影響比較圖Fig.13 Comparison of effects of different damping γ on the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

圖14 不同 k?對(duì)裝置隔振性能的影響比較圖Fig.14 Comparison of effects of different k? on the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù) γ的取值減小時(shí)，五彈簧裝置絕對(duì)力傳遞率的最大值和隔振起始頻率均較小，并在平衡位置附近具有更大的較小剛度位移范圍，但 γ低于一定數(shù)值后該裝置的絕對(duì)力傳遞率的最大值將會(huì)消失，失去準(zhǔn)零剛度特性。

當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)k? 的取值減小時(shí)，五彈簧裝置絕對(duì)力傳遞率的最大值和隔振起始頻率均較小，并在平衡位置附近具有更大的較小剛度位移范圍，因而在選取水平和垂向彈簧剛度時(shí)，應(yīng)選擇水平彈簧相對(duì)于垂向彈簧剛度比更大的彈簧組合。

4 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)建立的五彈簧準(zhǔn)零剛度隔振裝置模型進(jìn)行靜力學(xué)推導(dǎo)，并在靜力學(xué)分析的基礎(chǔ)上對(duì)五彈簧裝置的回復(fù)力進(jìn)行泰勒展開并近似求解，利用諧波平衡法得到了五彈簧裝置的動(dòng)力學(xué)方程，研究不同參數(shù)對(duì)力傳遞率與跳躍頻率的影響，得出如下結(jié)論：

1）五 彈 簧裝置可以通過(guò)對(duì)參數(shù) γ 、k? 和 δ?的 合 理 設(shè)置以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性，其中 γ影響平衡位置處的穩(wěn)定性，k? 和δ ?影響裝置引入的負(fù)剛度大小。

2）五彈簧裝置的絕對(duì)力傳遞率會(huì)隨著激勵(lì)幅值的增大產(chǎn)生明顯的變化。激勵(lì)幅值越大，絕對(duì)力傳遞率的最大值越大；在較小的激勵(lì)幅值影響下，五彈簧裝置的隔振性能表現(xiàn)較好；相同激勵(lì)幅值條件下，五彈簧裝置率先開始隔振，能夠隔離更低頻的振動(dòng)；當(dāng)激勵(lì)頻率大于五彈簧裝置的向下跳躍頻率時(shí)，五彈簧裝置的絕對(duì)力傳遞率小于單個(gè)彈簧隔振裝置，具有更好的隔振性能；在較高的激勵(lì)頻率區(qū)間，五彈簧裝置的隔振性能優(yōu)勢(shì)逐漸減小；控制適當(dāng)?shù)募?lì)幅值能夠使五彈簧裝置獲得更好的低頻隔振性能。

3）較大的阻尼比會(huì)使2 個(gè)隔振裝置絕對(duì)力傳遞率的最大值均減小。當(dāng)阻尼比增大到一定程度時(shí)，五彈簧裝置絕對(duì)力傳遞率的最大值消失。因而在調(diào)整五彈簧裝置的隔振性能時(shí)，需選擇適當(dāng)?shù)淖枘岜取?/p>

4）結(jié)構(gòu)參數(shù) γ減小時(shí)，五彈簧裝置絕對(duì)力傳遞率的最大值和隔振起始頻率均較小，并在平衡位置附近具有更大的較小剛度位移范圍；當(dāng) γ低于一定數(shù)值后，五彈簧裝置絕對(duì)力傳遞率的最大值將會(huì)消失，裝置將會(huì)失去準(zhǔn)零剛度特性，需要對(duì) γ進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜≈怠?/p>

5）當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)k?的取值減小時(shí)，五彈簧裝置絕對(duì)力傳遞率的最大值和隔振起始頻率均較小，并在平衡位置附近具有更大的較小剛度位移范圍，因而在選取水平和垂向彈簧剛度時(shí)，應(yīng)選擇水平彈簧相對(duì)于垂向彈簧剛度比更大的彈簧組合。

總體來(lái)說(shuō)，五彈簧裝置平衡位置附近的低剛度范圍更大，系統(tǒng)穩(wěn)定性更好，有利于工程應(yīng)用。