2022年高中數學聯賽A2卷平面幾何題的另解
2023-11-27 09:46:58華中師范大學第一附屬中學430223陳開懋
中學數學研究(江西) 2023年12期
華中師范大學第一附屬中學 (430223) 陳開懋
受疫情影響,2022年全國中學生數學奧林匹克競賽(預賽)暨2022年全國高中數學聯合競賽,湖北和山東延期了兩次,于11月27日順利組織了考試.此次考試用的是A2卷,加試的平面幾何題放在了第二題的位置,增加了難度,除了答案提供的兩種解法外,本文再給出兩種解法.
圖1
圖2
∠AEC,又A′與A關于BC對稱,所以∠A′BC+∠SBC=∠ABC+∠AEC=180°,故A′,B,S三點共線.
評析：證法一主要是分為三個步驟,第一步,證明A′,B,S三點共線,第二步,證明A′,P,Q三點共線,第一步,證明∠BA′P=∠BTP,從而A′,B,P,T四點共圓.該證法主要是優化了第二步.
圖3
評析：證法二主要分了兩個步驟,第一步,同證法一,證明A′,B,S三點共線,第二步,證明ΔTA′S∽ΔTPE,主要采取了三角計算的方法,要求三角恒等變換比較扎實.
這兩種解法是比較初等的方法,證法二主要采取了三角計算,比證法一繁瑣復雜,當然本題還可以用更高級的幾何定理(帕斯卡定理)來證明,有興趣的同學和老師可以自己去嘗試.
