間隙對圓柱凸輪傳動平穩性影響的研究

董明望 李倪明 黃 海

武漢理工大學物流工程學院 武漢 430063

0 引言

隨著科學技術的飛速發展，機械工業也發生著日新月異的變化，機器性能的提升和制造標準的提高，高負荷、高強度、長時間的工作下，又往往在精度的限制下，必須保證整體部件的運動軌跡和受載強度[1]。圓柱凸輪連續傳動機構在運行的過程中，凸輪槽和從動轉盤上滾子的變形對總體的承載能力和受力分布以及可靠性影響較大[2]，同時也引發了有害振動隱患甚至卡死，從而造成巨大的損失；環境因素決定了內部零件應力和應變的特征，在考慮精確性下，通過仿真模擬必須考慮局部柔性零部件對于系統受力和運動的影響，在實際的設計過程中這些又是提升產品性能突破瓶頸的關鍵問題[3]。

傳統的靜態化設計手段已經不能逐漸適應現代工業和生活產品的性能要求，在日常生活使用和工程施工中，由于環境因素的差異，對圓柱凸輪機構的影響也存在著懸殊的差異。隨著機械向高速化方向發展，慣性力增加，而且機構的彈性變形也給機械運動的輸出帶來了一些誤差，對于向圓柱凸輪連續傳動機構這類高精度機械，這種彈性變形不僅對于精度的影響是巨大的，甚至破壞機構的運行狀態，動態化的設計顯得十分必要。對此，參考一些研究案例如：王蕾等[4]利用ADAMS 軟件對圓柱分度凸輪機構的運動學、動力學進行了全面的仿真分析研究，同時考慮機構實際裝配制造誤差分析了傳動副間隙對動態響應特性的影響情況；劉海生等[5]研究凸輪與滾子之間的間隙以及輸入輸出軸的柔性對圓柱分度凸輪機構的動態性能影響，結論顯示柔性軸會引起分度轉盤的轉速波動，間隙的存在和輸入軸轉速的提高會使分度轉盤的瞬時角加速度和滾子與凸輪間的接觸力成倍增加。國內外學者在研究空間凸輪的動力學特性時，將研究的重點放在了分度凸輪和空間弧度凸輪上，在做了大量的假設和簡化下，鑒于動力學理論來分析機構的動力特性，依托于仿真軟件ADAMS 建立三維空間模型的虛擬樣機進行仿真研究驗證并得出結論，得出了一組機構受間隙、結構參數、施工條件等因素的相關性案例。

此外，任何機器在運動時，運動零部件之間勢必會發生摩擦和磨損，而潤滑是一種有效的解決手法，張翠鳳[6]指出圓柱凸輪該機構運轉的可靠性取決于其圓柱凸輪與從動滾子間的摩擦學特性，2 表面間的磨損與2 表面間的接觸應力、滑動速度、表面材料及潤滑油有關，在工況條件和材料已給定的情況下，潤滑的作用性變得尤為重要。現代潤滑理論已要求在分析中把發熱和傳熱、零部件的變形、潤滑劑的流變性、工件表面的粗糙度等很多因索都考慮進去，對潤滑的求解也必須仰仗計算機仿真技術和算力[7]。

本文為了提升圓柱凸輪傳動機構的傳動平穩性，考慮了滾子的彈性變形和潤滑油膜的緩沖作用，提出了一種耦合微變形和潤滑油膜的關于圓柱凸輪廓面的最優間隙值的計算方法。

1 數值模型的建立

1.1 圓柱凸輪傳動機構的空間模型

本文所建立的圓柱凸輪三維模型具體數值如下：機構的傳動比i= 20、基距A=100 mm、中心距C=175 mm、滾子半徑r=16 mm、滾子長度H=20 mm，從動盤節圓半徑rp=175 mm。該機構廓面可使用空間曲面嚙合原理與空間坐標變換法可得，其中滾子的圓柱面廓面處在動坐標系內的接觸點坐標為

式中：φ1為從動盤所在位置角；h為嚙合點于凸輪動坐標系的嚙合高度，從動盤轉角的取值范圍為[-18°，18°]，滾子的嚙合高度的取值范圍為[47，67]。

之后，經過3 次空間坐標變換以求得凸輪廓面的方程

先構建關于凸輪廓面方程的點集，為了盡可能貼合曲面，故選擇更密集的點，一條曲線取2 000 個特征點，一個面間隔1 mm，共計選擇21 條線使用放樣命令來擬合該面，得到雙側的凸輪廓面；之后補齊圓柱凸輪機構的其他特征，完成三維模型的構建；滾子與從動盤的三維建模比較簡單，省略詳細說明，在Solidworks 完成裝配體的組裝后，保存為Parasolid 格式文件，三維模型如圖1 所示。

圖1 圓柱凸輪的三維模型

1.2 彈流潤滑模型的建立

流體動力潤滑方程所依據的理論主要是Reynolds潤滑理論和Hertz 彈性接觸理論，求解潤滑中壓力的分布規律，求得即在相互作用的圓柱和凸輪廓面擠壓變形下油膜的厚度，潤滑油粘度以及機構不同轉速下，得出接觸區比較重要的物理量參考潤滑性能。忽略油膜的慣性力和速度在厚度方向的變化，只考慮油膜接觸壓力在速度方向的變化，結合一般形式的Reynolds 方程變換和赫茲接觸公式可得到彈流潤滑模型，即

式中：ρ為潤滑油在壓力p時的密度，h為油膜厚度，η為潤滑油在壓力p時的粘度，u為x方向速度，W為施加于接觸線的載荷。

常使用Reynolds 的邊界條件為

油膜厚度由2 個部分組成，一個是接觸區的幾何間隙，另一個是由于接觸產生的壓力下，滾子和凸輪廓面發生彈性形變，一般大小在微米級別。油膜厚度為

1.3 求解微間隙的理論基礎

圓柱凸輪機構在嚙合過程中，局部出于受載而產生了彈性變形，尤其是在滾子嚙合發生交替的情況下更甚，且在交替的過程中，一個滾子的嚙入和另外一個滾子的嚙出，此時接觸面的應力狀況復雜，同時伴隨著振動和變形，本文分析中忽視了彈性插銷和動力軸等部分的變形，僅僅考慮柔性體滾子的變形對圓柱凸輪機構傳動的影響。擬嚙入的滾子由于前運行滾子的變形使得原本預定的軌道發生了偏移，在滾子駛入原來預定的軌道，此時2 曲面早已失去了原本的空間曲面嚙合的條件，使嚙合點延后，在廓面的入口處發生了切割，使滾子的表面出現劃痕，從而引入非常大的干擾和不穩定項，傳動機構在運行的過程中，將產生強烈的振動和噪聲，也影響了其傳動的準確度和穩定性。

橫越沖擊常出現在幾何封閉環境內，例如圓柱凸輪機構，通常是接觸路徑中存在間隙，在機構的高速作用下（見圖2），在接觸時與非工作面沖擊，產生嚴重的磨損。產生的橫越沖擊，根據動量定理可知

圖2 滾子與帶間隙的凸輪槽的嚙合情況

式中：φ(t0)為路程函數泰勒展示的第4 項系數。

從式（6）可以得出，沖擊載荷隨滾子與2 側廓面的間隙量、加速度的變化率、包括從動盤在內的后端負載的變化而發生改變，如果工況復雜且負載量大，增加滾子與2 側廓面的間隙會增大橫向沖擊。盡管考慮了油膜的潤滑作用，但長期的碰撞和摩擦下局部升溫，使工作環境惡化，在負載的作用下又會減速直至重新與廓面接觸從而輸出驅動力，在反復的過程中滾子與左右廓面多次碰撞發生沖擊影響著傳動的穩定。

基于以上分析，為了解決上述問題提出一種引入耦合彈性變形與油膜厚度圓柱凸輪廓面2 側間隙的方式：

1）每個滾子與左右2 廓面之間的法向間隙之和相同，即δ0=δ1+δ2相等。

2）滾子與左廓面（順時針旋轉）法向間隙的值取決于滾子所處的嚙合位置，且為線性關系，最大值為嚙入時刻，最小值為嚙出的時刻。當機構反向旋轉時，與另一側間隙同上描述。

3）為了保證凸輪廓面的可加工性，廓面誤差最小，在每個滾子的所有嚙入高度上都引入滾子中心沿接觸角θ=θ（h/2）的間隙。

引入間隙需同時考慮上述2 種出現不穩定因素的情況，假設滾子1 在剛嚙入的轉角位置，滾子2 與左廓面的間隙為δ1為總間隙的一半，選取滾子2 變形最大的時刻，故對于間隙最大數值設計限制為

式中：δt為滾子2 的變形值，δ3為滾子2 在從動盤處于圖2 所示位置角的接觸區域油膜的平均厚度，δ4為滾子1 接觸區域油膜的平均厚度，δ0為所設間隙量最大值。

結合所建立的Reynolds 方程、油膜方程、載荷平衡方程求解，在上述求解過程中存在多個互相聯系的未知量，且在上述方程中包含多個非線性解析式，無法得到解析解。對于滾子彈性變形量在復雜的接觸環境下無法得出一組解析解，故求取微間隙的最優數值需通過仿真求解未知量的數值。

2 最優間隙量的求解

2.1 模型的有限元分析

本文關注的重點在于滾子與圓柱凸輪廓面接觸區域的載荷和應力情況，故在建立分析模型時做了一些簡化。比如滾子數量減少為2，僅在3 滾子同時嚙入的情況使用3 滾子求解18°即可獲得完成的分配情況，在載荷變化明顯的位置還可以細分；設置即將嚙入的滾子為滾子1，正在接觸的滾子為滾子2，即將嚙出的滾子為滾子3，后續都采用一樣的指代。以滾子2位于角度0°為例，求解該位置接觸區域的應力和載荷情況。在這里定義圓柱凸輪材料結構鋼的數據為：彈性模量E=2.1×108Pa，泊松比μ=0.28，材料密度ρ=7 850 kg/m3。滾子與從動盤使用滾動副連接，滾子與凸輪之間施加接觸條件，同時施加機構的運行負載M=1×106N·m。最終滾子與凸輪廓面接觸情況展示如圖3 所示。

圖3 Ansys 的求解結果

滾子1 此時綜合受載為1 133 N，滾子2 綜合受載為4 741 N，最大應力位于滾子2 上，為424.3 MPa，根據該組結果調整從動盤的運行角度，其他不變，計算2滾子之間的受載情況與滾子2 的分配系數K，如圖4 所示，具體數據如表1 所示。

圖4 雙滾子之間的載荷分配

表1 清晰地展現了圓柱凸輪連續傳動機構在運行中2 滾子的載荷分布情況，-18*表示3 滾子嚙合的情況，可知在嚙入的時刻滾子2 受到最大的載荷變化幅值也是最大的一段，其他時刻盡管滾子2 的載荷由2 215 N 到3 646 N，但過渡平緩，此處的3 滾子嚙合情況還是在理想條件下求解的屬于靜力學分析的范疇。

2.2 數值求解

在上述數值模型中，存在著多個二階非線性的成分，在數值求解的過程中，必須全部化為一階線性的形式才能在計算機得到高效準確的計算結果，故須將方程組無量綱化和離散化處理。從上述方程中可看出，求解主要在于油膜壓力的迭代、載荷收斂的準則和油膜厚度的修正。因此，本文決定使用黃平的彈性流體動壓潤滑（彈流潤滑）的數值計算方法，即逐點壓力迭代的方法進行計算，并應用多層網格法計算數值積分可有效解決計算量過大的問題[8]，最終結果以滾子2 嚙合處及其附近的壓力和油膜厚度為例，結果如圖5 所示。

圖5 滾子2 接觸區域的油膜厚度與壓力

2 個滾子最小油膜厚度都出現在出口區附近，在Hertz 接觸區，油膜厚度基本上變化不大近似于一條直線，壓力的驟降，在滾子出口區附近油膜收縮，此處是接觸區域內膜厚最薄的地方。對于間隙的求解式所求結果為：δ2=5.29×10-7m，δ3=6.74×10-7m。

對于滾子2 的變形量求解，使用有限元仿真來模擬圓柱凸輪傳動機構位于雙滾子過渡到3 滾子的時刻，此時假定由于滾子2 的變形，滾子1 沒有嚙入，滾子2 與3 和圓柱凸輪接觸，使用靜力學結構分析求解滾子2 的變形可近似為實際工作中滾子2 的變形，結果如圖6 和圖7 所示。

圖6 滾子2 在Z 方向變形量

圖7 凸輪廓面與滾子2 接觸區域在Z 方向變形量

根據仿真情況，滾子與廓面之間都存在Z反方向上的位移量，原因是凸輪鎖定，施加沿著Z反方向的載荷使滾子與凸輪廓面同時變形，并同時向該方向擠壓，依據Hertz 接觸的特點，在接觸半寬區會有一段變形量，以接觸點處的法向上的位移為變形量，根據圖6 和圖7有著明顯的赫茲接觸區，但是Y方向比較雜亂且數值在0.01 μm，可忽略。由于接觸邊界不明顯，圖7 還需要拉取刻度條，將滾子變形圖和廓面的變形圖等值線拉到近似于接觸線區域，最終求得滾子的變形量為2.8 μm，該變形量的求解更多依靠對Ansys 軟件的熟練度和操作，對接觸線位置會有部分預估。根據式（7）可得最大間隙量為4.6 ～5.8 μm。

2.3 圓柱凸輪傳動機構的動力學分析

圓柱凸輪傳動機構在運行過程中，滾子的變形使得機構在雙滾子接觸過渡到3 滾子接觸過程中，在嚙合處將產生突變的極大應力狀況，內部存在極大的非線性接觸屬性，而非線性接觸的預應力靜力學將其轉化為線性接觸，靜態力學的分析更多的是在頻域內進行分析而非時域。因此，在對于非線性接觸的分析中，線性的分析不允許解中包含非線性，但它在動態問題的解決上仍具備一些參考作用，它基于小變形理論，假設位移足夠小，因而產生的剛度變化是微不足道的，接觸面積也保持固定，脫離接觸引起的振動是不存在的，且材料也遵循線性方式響應，但如果這些假設都極大不成立，則非線性的瞬態分析（Transient Structual）就是必要的，進而增加了大量的計算成本。

本文將使用Ansys 的瞬態動力學模塊驗證完全法使用完整的剛度質量與阻尼求解方程，它允許解中包含非線性的部分，故將選取完全法作為瞬態動力學分析的方法。僅考慮一個滾子從嚙入到嚙出的全部過程，根據設置的主動輪即圓柱凸輪的速度為600 r/min，計算一圈半所花時間為0.15 s，最終仿真得到了關于圓柱凸輪連續傳動機構含間隙與不含間隙的最終接觸應力數據如圖8和圖9 所示。

圖8 無間隙圓柱凸輪機構工作廓面的接觸應力具體數據

圖9 含間隙圓柱凸輪機構工作廓面的接觸應力具體數據

在含間隙的圓柱凸輪機構的接觸應力與圖相比，此時位于0.1 s 位置的峰值消失，但嚙合位置發生偏差，整體應力情況波動浮動明顯比無間隙的圓柱凸輪機構要強，應力值的分布更為平均，無間隙的機構的最大應力廣泛分布于凸輪外圓邊沿處，說明按本文引入的間隙方式和間隙量的圓柱凸傳動機構雖然增加了一些應力的波動起伏，但對嚙入的沖擊卻改善極大。此外，該種仿真忽略了關于油膜這類流體在機構運轉過程中的作用，還需要耦合潤滑油進行綜合分析，故后續將進行基于港口設備實驗平臺現場于門座起重機運行時振動的影響測試。

3 實驗測試平臺設計與結果分析

3.1 實物研制

過去受制于加工機床的加工精度無法達到要求，在各類箱體的加工過程中需確保其空間坐標體系（線、孔、面）相互垂直、平行的精度≤0.01 mm，即箱體上各端面上的軸承支撐孔的同心度≤0.01 mm，是整個機加工領域難以突破的技術瓶頸，近年來由于技術突破，通過改造的國產立式加工機床可實現高精度盤類零件加工。

整個工件加工完畢后，不能立即使用，還需要先進行安裝與調試，整個加工過程中不免會產生原始幾何誤差，且還存在裝配過程中的誤差，對于裝配精度要求非常高。不同于齒輪之間中心距可以微調，圓柱凸輪傳動機構的基距與中心距影響滾子之間的接觸角，即不同位置的接觸角不同導致機構失去嚙合條件，從而使滾子2面受力，發生擠壓變形卡死槽道。最終的裝配經驗是在安裝中先保證中心距處的精度，最后調整基距，安裝的位置選擇設定的初始位置，如圖10 所示。

圖10 圓柱滾子與凸輪的裝配

潤滑油型號選擇根據減速器作業環境、載荷大小的不同、運動特點以及摩擦形式的不同決定。按說明書要求選用粘度級在ISOVG100，實驗平臺選擇長城潤滑油4408（100 號）合成重負荷工業齒輪油，在項目運行階段，通過電動機反復運行、試驗，確定運行無礙后，將其安裝到測試大車機構上，并觀察測試大車運行過程中，電動機電流、噪聲、振動等進行測試，并對各項參數進行比對。在實驗過程中反復調試，待整機運行過程傳動平穩。一組在制造中含間隙量為5 μm，另外一組加工方式為傳統的機床加工，對于廓面加工誤差比較高，所測間隙量為10 μm，鑒于成本考慮，只設置了1 組作為對照來對比最終的效果。

3.2 圓柱凸輪減速器的振動實驗

如圖11 所示，在港口綜合實驗平臺現場進行2組減速器對應2 臺門座起重機運行過程中振動的影響測試。

圖11 港口綜合實驗平臺現場

在測點的選取上選擇靠近司機室一側的出口處，使用的測試工具分別為：ECON 數據采集與分析儀器1 套，加速度傳感器的參數為：數據采樣率1 280 Hz、分析頻寬500 Hz、采樣點數2 048，測試傳感器為185TNC 型加速度傳感器，軸向靈敏度50 mV/g，量程100 g、頻率范圍0.5 ～5 kHz。圓柱凸輪減速器參數分別為：滾子數20、基距100 mm、中心距175 mm、滾子半徑16 mm、滾子長度20 mm、從動盤節圓半徑175 mm。實驗平臺工作參數如表2 所示。

表2 港口綜合實驗平臺的主要技術參數

最終使用加速度傳感器經過測得2 組減速器在測點處的振動，通過數據采集和分析處理，最終得到了每組減速器的振動波形圖如圖12 所示，其中，門座起重機1 對應的是含10 μm 間隙的圓柱凸輪減速器的波形圖，門座起重機2 對應的是間隙量為5 μm 間隙的圓柱凸輪減速器波形圖，取5 組波峰值，測試數據對比表如表3所示。

表3 測試振動數據對比表

圖12 天津某門座起重機振動測試圖

根據上述數據，使用圓柱凸輪減速器（間隙值為10 μm）的門座起重機振動平均峰值為0.447，而使用本文計算求得的間隙量的圓柱凸輪減速器的門座起重機振動平均峰值為0.406，在原來的基礎上更進一步將峰值平均值降低9.2%，提高加工精度，降低加工間隙，采用更合適的間隙量，會增強工作性能，降低振動，使晃動幅度進一步減小。

4 總結

1）將圓柱凸輪傳動機構平穩性分析綜合考量潤滑油膜的作用和動態運動的過程中滾子的變形兩者綜合作用，建立了圓柱滾子接觸區域的彈流潤滑方程組，并結合有限元分析軟件的仿真數據得到了彈性滾子的變形量，并建立了方程的邊界條件采用多重網格法與壓力迭代法求解了潤滑油膜的厚度以及滾子的平均變形量，進而求得圓柱凸輪傳動機構間隙量的理論最優解。

2）使用這種耦合微變形與潤滑油膜的圓柱凸輪廓面兩側間隙量的計算方法，并建立含有該間隙量的圓柱凸輪傳動機構的三維模型，在Ansys 的動態仿真中能發現相較于無間隙的一組，雖然增加了一些起伏，但是消除了滾子嚙入時極大的應力，減緩了沖擊，提高了運行的穩定性。

3）將該方法運用于港口機械上，最終得出了耦合最優微間隙的圓柱凸輪減速器在實際運用場景下能有效提升傳動平穩性和減小振動。