數學建模在企業發展戰略規劃與管理中的應用＊

常高，韓如成

（1.山西科技學院 通識教育學院 數學教研室，山西 晉城 048011；2.太原科技大學 電子信息工程學院，山西 太原 030024）

0 引言

隨著經濟全球化的深入發展，以及市場競爭的日益激烈，企業制定科學、合理的發展戰略規劃對保持市場競爭優勢尤為關鍵。其中，為做出戰略性的決策選擇，全面評估企業所處的市場環境和自身發展條件尤為重要。數學建模是人類應用定量思維的方式，探討自然現象、社會規律、經濟發展及日常生活中實際問題的有效方法［1］。企業戰略規劃主要包括戰略分析、戰略選擇和戰略實施三大環節［2］，而數學建模在各個環節中都有著廣泛且重要的應用。具體而言，市場預測模型能夠深入分析市場需求變化趨勢，為企業發展戰略分析提供有力支持；定位模型和決策模型能夠全面評估不同的戰略方案，輔助企業做出戰略選擇；資源優化模型和風險評估模型則可以保障戰略計劃的順利執行與風險控制。在數學模型建立方面，市場預測模型可以采用回歸分析等統計模型進行預測分析；定位模型可運用群體識別、聚類分析等分析手段找到目標客戶群，精準進行企業定位；決策模型通過建立決策樹、付費矩陣等模型評估戰略方案從而獲得最佳方案；資源優化模型采用線性規劃、網絡規劃等方法優化資源配置，降低成本；風險評估模型可應用蒙特卡洛算法、敏感性分析等技術評估戰略實施的風險，以更好地控制風險。本文擬通過詳細案例，闡明數學建模在支持企業戰略中的應用過程與效果，分析存在的問題并提出改進建議，為企業戰略規劃提供參考［3］。

1 數學模型在企業發展中的應用

數學建模與戰略規劃相結合，可充分發揮定量分析的優勢，使企業在復雜多變的市場中做出更加科學、系統的戰略決策。

1.1 市場預測模型的應用

如某服裝企業計劃開發新品牌，目標客戶群體確定為年輕人，需要預測未來3 年內18～30 歲年齡段客戶的購買力變化趨勢，此時便需要構建相應的預測模型。建模思路如下：首先，收集過去3年該年齡段客戶的平均可支配收入數據；其次，建立一元線性回歸模型，以年份為自變量，收入為因變量，擬合趨勢線，并進行模型檢驗；最后，根據模型結果預測未來3年該客戶群體的購買力，為新品牌定位和產品設計提供依據。在這個預測模型中，本文采用的線性回歸模型可以根據現實情況進行改進。建立市場預測模型的步驟如下：①收集歷史3年目標客戶群體的平均可支配收入數據，整理為一個數據集。②設置自變量x年份，因變量y可支配收入。擬合一元線性回歸方程y=a+bx+e。③采用最小二乘法估計回歸方程的參數a和b。④進行模型檢驗，包括用t檢驗判斷回歸系數顯著性、F檢驗判斷整體回歸關系顯著性、R2判斷自變量解釋變異程度等。⑤若通過檢驗，則帶入回歸方程，以未來3 年的x值預測目標客戶收入y點估計區間。⑥預測結果反映未來收入增長趨勢，可為新品牌定位提供依據。

1.2 定位模型的應用

某汽車企業計劃推出新車型，因此需要確定目標客戶群體，其具體建模思路為收集樣本客戶數據，包括社會人口統計特征和購車偏好等；使用非層次聚類分析方法，基于購車主要考慮因素將樣本客戶分割為不同類別，識別出潛在目標群體，如對性價比敏感的實用主義者等。具體步驟如下：①設計購車行為調查問卷，內容包括人口統計變量（如年齡、職業、收入等）和購車偏好（如重視舒適性或性價比、喜好運動型、家用型等）。②抽取樣本客戶進行問卷調查，收集數據。③對數據進行預處理，如檢查樣本代表性、處理缺失值等。④選取購車偏好相關變量，使用層次聚類分析方法。通過進行層次聚類得到類屬矩陣。⑤根據聚類間的距離和方差大小，確定和選擇3類聚類方式。⑥進行非層次K-means 聚類分析，迭代獲得最終聚類中心。⑦根據聚類變量的均值，解釋不同類別的特征。⑧進行聚類驗證，采用ANOVA 分析聚類的區分度。⑨重復進行聚類，進一步得到更細分的子類別，輔助企業定位。運用聚類分析方法可以有效識別企業潛在目標客戶群體。

1.3 決策模型的應用

某食品企業計劃進行區域擴張，需要決定進入A或B 其中一個新市場，在此問題情境中，本文建模思路如下。建立決策樹模型，根據市場調研結果，評估進入不同市場的成本收益，分別計算期望收益，再根據收益概率分布，采用敏感性分析方法，評估方案的穩健性。決策樹結果顯示，進入A 市場期望收益更高，風險更小。

通過構建相應的數學公式和模型，分析A 市場或B 市場的調研所蘊含的統計學規律和相應的決策樹模型，具體思路如下：①評估進入每個市場的投入成本、成功獲得市場份額的概率及預期收益。②假設進入A 市場的投入成本為a，獲得成功的概率為pa，預期收益為Ra；進入B 市場的投入成本為b，獲得成功的概率為pb，預期收益為Rb。③建立決策樹模型，包含2 個決策分支（進入A 或進入B）。根據上述參數，2 個方案的期望收益值計算公式為E(Ra)=pa×Ra-(1-pa)×a，E(Rb)=pb×Rb-(1-pb)×b。④比較2 個方案的期望收益大小，選擇較大者。⑤進行敏感性分析，改變參數值，觀察期望收益變化情況。評估在不同情況下，方案選擇的穩健性。⑥重復分析，找到參數取值的臨界點，即2 個方案期望收益相等的點。⑦綜合結論作出進入A市場或B市場的決策。決策樹模型能比較全面地考慮風險因素。

1.4 資源優化模型的應用

某工廠需要優化3個工序的設備投入，以達到最小生產成本。本文建立線性規劃模型，以設備投入為決策變量，生產成本函數為目標函數。引入設備容量約束等限制條件，采用單純形法求解，獲得最優生產方案。具體的建模思路如下：①收集工廠各工序的設備使用量和產出數據，建立生產成本函數。②確定決策變量為各工序的設備投入量，目標函數為最小化生產總成本。③根據設備數量限制等，設定線性約束條件。④建立線性規劃模型，采用圖解法確定最優解的可行域。⑤使用單純形法進行迭代計算，獲得投入的最優設備方案。⑥對最優解進行敏感性分析，評估參數變化對方案的影響。⑦重復優化計算，動態調整投入方案，實現成本最小化。

1.5 風險評估模型的應用

某企業戰略實施的成功取決于宏觀經濟、政策等不確定因素。風險評估模型的建模思想為建立蒙特卡洛模擬風險評估模型，根據各因素的歷史數據，確定概率分布，通過重復隨機采樣，模擬項目多種可能發生的結果，評估戰略實施風險，并提出應對方案。相應的建模步驟如下：①識別影響項目的主要風險因素，如市場需求、政策環境等。②收集每種風險因素的歷史數據，確定其概率分布函數。③建立蒙特卡羅模擬模型，隨機抽樣生成各風險因素的數據。④根據不同的參數組合，模擬項目多種可能結果。⑤重復多次模擬，評估項目整體風險水平。⑥識別出高風險情景，提出應對策略。⑦風險評估模型可以預判項目風險，支持決策制定。

通過以上數學模型的構建和企業發展戰略規劃中的各個環節，本文可以總結出一些能夠反映模型思想和商業價值可改進的數學模型。接下來討論一個可以綜合反映企業發展戰略規劃的商業實例，以便更加全面、深刻地了解數學建模在其中的應用和價值。

2 復合數學模型在企業發展中的綜合應用

2.1 復合數學模型的建立

某中國的汽車制造企業主要生產SUV 和轎車，在國內市場的占有率較高。現在該企業計劃在東南亞和南亞等新興市場推出一款全新的中型SUV 車型，其戰略規劃目標為這款新車定位于價格接受程度較高而配置豐富的緊湊型SUV，目標客戶群是有較強性價比意識的年輕家庭。在新興市場的銷量目標為第一年達到5 萬輛，第三年達到15 萬輛，而其中的戰略規劃流程如下：①企業收集了近5年新興市場中型SUV 的歷史銷量數據，然后建立回歸預測模型，預計未來3年的市場需求趨勢，驗證該車型的市場潛力。②企業進行大規模市場調查，采集了5 000 名潛在客戶的人口和購車偏好數據，運用聚類分析明確了最大的目標客戶群。③企業考慮在印度和印尼2個國家先行推出產品，但資源有限，需要進行選擇。根據成本收益分析，采用決策樹模型，確定印度市場更具潛力。④通過建立線性規劃模型，優化了車間設備投入配置方案，以達到生產效率最大化。同時，企業使用蒙特卡洛模擬評估實施風險并制定了應急預案。

通過科學規劃，該戰略規劃的結果如下：這款新車備受目標客戶群喜愛，在印度市場獲得了較高占有率，第一年銷量達到預期目標，驗證了數學建模的效果。

將數學建模與企業戰略規劃相結合，運用回歸預測模型、聚類分析模型、決策樹模型、線性規劃模型。其中，各類模型的建模細節如下。

（1）回歸預測模型的建模細節。①建模過程。收集歷史銷量數據，選取年份作為自變量、銷量為因變量，假設二者線性相關；建立一元線性回歸方程，估計參數。②建模方法。采用Ordinary Least Square（OLS）最小二乘法估計回歸方程的參數。③求解過程。構建回歸方程，帶入各年份，預測未來3年的銷量，得到定量Market需求預測。

（2）聚類分析模型的建模細節。①建模過程。選取客戶特征變量，使用K-means 聚類算法進行分類。②建模方法。歐幾里得距離判定樣本間相似度，迭代獲得類別中心。③求解過程。獲得客戶分類，識別重視性價比的目標群體。

（3）決策樹模型的建模細節。①建模過程。根據不同市場的成本收益分析，建立決策樹結構。②建模方法。預估每種決策的期望收益，比較選擇最優方案。③求解過程。確定進入印度市場的決策。

（4）線性規劃模型的建立細節。①建模過程。建立目標函數和設備、成本約束，構建線性規劃模型。②建模方法。采用圖解法和單純形法求最優解。③求解過程。獲得設備優化配置方案。

以上內容通過闡釋AHP 決策模型、回歸分析模型、數據包絡分析模型和風險模擬評估模型在企業戰略規劃中的具體應用［4］。通過多個典型案例，充分展示數學建模在支持企業戰略決策中的重要作用。其中，馬爾科夫預測模型能夠基于歷史數據推算各狀態的過渡概率，科學預判市場需求變化趨勢。AHP模型則提供了一種多指標決策框架，幫助企業進行戰略方案優化選擇。回歸分析模型利用歷史數據擬合趨勢，實現對市場趨勢的量化預測。數據包絡分析通過比較同行業的相對效率，定位企業的最優發展方向。風險模擬評估則可以模擬戰略實施過程的各種情況，對企業可能造成的影響進行評估，提供風險防范對策。

2.2 模型的評價與改進

上述模型各有研究重點，但都體現了運用定量方法剖析復雜問題的思想，它們在支持企業戰略規劃的不同階段發揮著獨特作用，最終構成一個輔助企業科學決策的建模系統。通過對以上數學模型的評價分析可以發現其中的優勢：①提供量化分析工具，提高企業決策的科學性。②能模擬復雜的業務過程，全面評估各種方案的優點和缺點。③優化資源配置，協調發展戰略與經營實務。④定量預測市場趨勢，減少環境不確定性帶來的風險。⑤比較行業內企業經營效率，定位最佳實踐。⑥評估戰略實施風險，提出應對措施。⑦提供動態調整方案的決策框架。

通過定量模型的應用，企業可以實現對內部資源和外部環境的深入分析，制定發展策略，在復雜多變的市場中獲得競爭優勢［5］，但建模本身也存在局限性，企業仍需要結合定性判斷進行綜合決策。除此之外，雖然數學建模為企業戰略規劃提供了重要支持，但是其應用中也存在一些問題，需要改進與完善。①模型假設雖然簡化了復雜的業務過程，但是可能導致重要因素被忽略，應加強模型修正，保證其對實際情況的擬合度。②部分參數確定依賴于主觀判斷，影響結果客觀性。應增加實證分析，減少人為因素導致的偏差。③建模需要數據支撐，部分企業數據收集不足，因此應完善信息系統，改進數據采集與處理方式。④模型算法復雜，部分決策者難以理解結果。應加強模型解釋，提高管理層信任度。⑤建模需配合軟件工具，部分企業技術儲備不足，因此應加大IT 基礎設施投入力度，提升公司建模與應用的能力。

3 結語

綜上所述，將數學建模與戰略規劃進行有效結合，是企業實現戰略目標的重要途徑之一。數學建模為企業提供制定科學發展戰略的重要手段，能夠深入分析環境與資源，支持戰略決策優化。但是，建模結果要想被視為重要的參考依據之一，還需要結合企業實際情況進行綜合判斷。未來，企業應加強模型的修正與完善，并提高自身的建模與應用能力。只有將數學建模與企業戰略規劃實踐有效結合，才能發揮其應有的優勢，幫助企業在復雜的競爭環境中立于不敗之地。