與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的最值(值域)問題

2023-11-29 10:02:02張啟兆

中學生數(shù)理化·高一版 2023年11期

■陳敏張啟兆

求與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的最值(值域)問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用,下面歸類舉例說明此類問題的求解方法。

一、求函數(shù)的最值

例1設(shè)函數(shù)f(x)=logax(a>0 且a≠1)的圖像經(jīng)過點(2,1),當時,求函數(shù)的最值。

解:由函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1)的圖像經(jīng)過點(2,1),可得loga2=1,解得a=2,所以函數(shù)f(x)=log2x,且定義域為{x|x>0}。

因為函數(shù)g(t)在上單調(diào)遞減,在t∈[1,2]上單調(diào)遞增,所以h(x)min=g(t)min=g(1)=-4。

故函數(shù)h(x)的最大值為-3,最小值為-4。

評注:解答本題的關(guān)鍵是通過換元變形,將原問題轉(zhuǎn)化為熟悉的一元二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題,再借助“配方”變形即可得到最值。

二、求函數(shù)的值域

例2已知函數(shù)f(x)=log3x+1,x∈[1,9],求函數(shù)h(x)=[f(x)]2+f(x2)的值域。

解:因為函數(shù)f(x)的定義域為[1,9],所以解得1≤x≤3,即x∈[1,3],所以函數(shù)h(x)=[f(x)]2+f(x2)的定義域為[1,3]。

h(x)=[f(x)]2+f(x2)=(log3x+1)2+log3x2+1=(log3x)2+4log3x+2。設(shè)t=log3x,因為x∈[1,3],所以t∈[0,1],所以函數(shù)h(x)等價于函數(shù)φ(t)=t2+4t+2=(t+2)2-2,且φ(t)在t∈[0,1]上單調(diào)遞增。當t=0,即x=1時,h(x)取得最小值,可得h(x)min=φ(0)=2;當t=1,即x=3 時,h(x)取得最大值,可得h(x)max=φ(1)=7。故函數(shù)h(x)的值域是[2,7]。

評注:求函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的定義域時,容易忽視1≤x2≤9的情況。在復合函數(shù)中,外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域,若已知f(x)的定義域為[a,b],其復合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b解出;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求g(x)的定義域,相當于x∈[a,b],求g(x)的值域(即f(x)的定義域)。