與指數函數、對數函數有關的最值(值域)問題

■陳 敏 張啟兆

求與指數函數、對數函數有關的最值(值域)問題的關鍵是轉化與化歸思想的應用,下面歸類舉例說明此類問題的求解方法。

一、求函數的最值

例1設函數f(x)=logax(a>0 且a≠1)的圖像經過點(2,1),當時,求函數的最值。

解:由函數f(x)=logax(a>0且a≠1)的圖像經過點(2,1),可得loga2=1,解得a=2,所以函數f(x)=log2x,且定義域為{x|x>0}。

因為函數g(t)在上單調遞減,在t∈[1,2]上單調遞增,所以h(x)min=g(t)min=g(1)=-4。

故函數h(x)的最大值為-3,最小值為-4。

評注:解答本題的關鍵是通過換元變形,將原問題轉化為熟悉的一元二次函數在區間上的最值問題,再借助“配方”變形即可得到最值。

二、求函數的值域

例2已知函數f(x)=log3x+1,x∈[1,9],求函數h(x)=[f(x)]2+f(x2)的值域。

解:因為函數f(x)的定義域為[1,9],所以解得1≤x≤3,即x∈[1,3],所以函數h(x)=[f(x)]2+f(x2)的定義域為[1,3]。

h(x)=[f(x)]2+f(x2)=(log3x+1)2+log3x2+1=(log3x)2+4log3x+2。設t=log3x,因為x∈[1,3],所以t∈[0,1],所以函數h(x)等價于函數φ(t)=t2+4t+2=(t+2)2-2,且φ(t)在t∈[0,1]上單調遞增。當t=0,即x=1時,h(x)取得最小值,可得h(x)min=φ(0)=2;當t=1,即x=3 時,h(x)取得最大值,可得h(x)max=φ(1)=7。故函數h(x)的值域是[2,7]。

評注:求函數y=[f(x)]2+f(x2)的定義域時,容易忽視1≤x2≤9的情況。在復合函數中,外層函數的定義域是內層函數的值域,若已知f(x)的定義域為[a,b],其復合函數f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b解出;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求g(x)的定義域,相當于x∈[a,b],求g(x)的值域(即f(x)的定義域)。

三、由給定的最值,求參數的值

例3設函數f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)。已知,函數g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在區間[1,+∞)上的最小值為-2,求實數m的值。

解:依題意得。因為a>0且a≠1,所以a=3,所以函數f(x)=3x-3-x,所以函數g(x)=32x+3-2x-2m(3x-3-x)=(3x-3-x)2-2m(3x-3-x)+2,且x∈[1,+∞)。

令t=3x-3-x,由函數t=3x-3-x在[1,+∞)上單調遞增,可得,即t∈

評注:利用恒等式(ax-a-x)2=a2x+a-2x-2進行轉化是解題的關鍵。

四、由給定的值域,求參數的取值范圍

例 4 已 知 函 數f(x) =若f(x)存在最小值,則實數a的取值范圍是( )。

A.(-∞,4] B.[-2,+∞)

C.(-∞,-2) D.(-∞,-2]

解:已知函數當x<4時,f(x)=2x-a的值域是(-a,16-a);當x≥4 時,由f(x)=log2x,可 得f(x)min=2。

由題意知,f(x)存在最小值,所以-a≥2,解得a≤-2,即實數a∈(-∞,-2]。應選D。

評注:準確理解指數函數和對數函數的圖像與性質,有助于順利破解與指數函數和對數函數有關的最值(值域)問題。

(1)若對任意的x∈R,f(x)>0恒成立,求實數m的取值范圍。

(2)若函數f(x)的最大值為2,求實數m的值。

(3)若對任意的x1,x2,x3∈R,均存在以f(x1),f(x2),f(x3)為三邊長的三角形,求實數m的取值范圍。

提示:(1)因為對任意的x∈R,f(x)>0恒成立,所以,可得9x+m·3x+1>0,即恒成立。

因為3x>0,所以,當且僅當x=0時取等號,所以-m<2,可得m>-2,即實數m∈(-2,+∞)。