重載工況下行星齒輪傳動(dòng)嚙合偏載分析

譚建軍 李浩 楊書益 朱才朝 宋朝省 孫章棟

摘要：

為了深入研究重載行星齒輪傳動(dòng)多柔體變形下齒面載荷分布規(guī)律，提出一種計(jì)入結(jié)構(gòu)柔性與齒輪副動(dòng)態(tài)接觸的行星齒輪傳動(dòng)耦合動(dòng)力學(xué)建模方法。以某型兆瓦級風(fēng)電齒輪箱行星輪系為研究對象，根據(jù)內(nèi)齒圈、行星架結(jié)構(gòu)及其邊界特征，采用有限元縮聚理論建立內(nèi)齒圈輪齒、行星架耦合點(diǎn)與彈性支撐之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，利用齒輪副動(dòng)態(tài)承載接觸作為界面協(xié)調(diào)條件將各構(gòu)件進(jìn)行耦合，建立行星齒輪傳動(dòng)耦合動(dòng)力學(xué)模型，分析了嚙合偏載現(xiàn)象以及結(jié)構(gòu)參數(shù)對嚙合特性的影響。研究結(jié)果表明，作用在行星輪上的合彎矩以及行星架銷軸非對稱結(jié)構(gòu)變形是造成嚙合偏載的主要原因，系統(tǒng)共振會(huì)加劇嚙合偏載程度；在共振區(qū)附近，齒輪動(dòng)態(tài)嚙合剛度與靜態(tài)嚙合剛度存在較大差異；增加銷軸剛性、增大螺旋角可以改善嚙合偏載程度，減小共振區(qū)系統(tǒng)振動(dòng)，但在低轉(zhuǎn)速區(qū)不利于系統(tǒng)減振，而增大行星架連接板剛性可以保持低轉(zhuǎn)速區(qū)系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)，同時(shí)減小共振區(qū)系統(tǒng)振動(dòng)。

關(guān)鍵詞：風(fēng)電齒輪箱；行星輪系；結(jié)構(gòu)柔性；內(nèi)齒圈；動(dòng)力學(xué)

中圖分類號：TM614

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.13.001

Study on Unbalanced Meshing Loads of Planetary Gear Transmission under Heavy-load Conditions

TAN Jianjun1 LI Hao1 YANG Shuyi1 ZHU Caichao1 SONG Chaosheng1 SUN Zhangdong2

1.State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing，400044

2.School of Mechanical Engineering，Hubei University of Automotive Technology，Shiyan，Hubei，442002

Abstract： To study the gear tooth load distribution affected by the multi-flexible body deformations of planetary gear transmission under heavy-load conditions， a coupled dynamics modeling method of planetary gear transmission that taken into account the structural flexibility and dynamic contact of gear pair was proposed. Taking a certain type of megawatt-class wind turbine gearbox planetary gear train as the research object， according to the ring gear， carrier， and their boundary characteristics， the finite element reduction theory was used to establish the correlations between the ring gear teeth， carriers coupling points and the corresponding elastic supports， and the dynamic load-contact of the gear pair was used as the interface coordination condition to couple these components， to establish the planetary gear transmission coupling dynamics model. The phenomenon of unbalanced meshing loads and the effects of structural parameters on the meshing characteristics were analyzed. The results show that the comprehensive bending moment acting on the planet gear and the asymmetric structural deformations of the carrier pin are the main causes of the unbalanced meshing loads， and the resonance of the system will aggravate this phenomenon. In the resonance region， the dynamic meshing stiffness differs greatly from the static meshing stiffness. Increasing the carrier pin stiffness and the helix angle may improve the meshing condition and reduce the system vibration in the resonance region. But in low-speed region， that is not good for system vibration absorption. Increase of the rigidity of the carriers connecting plate may keep the systems vibration state in the low-speed region， and reduce the system vibration in the resonance region.

Key words： wind turbine gearbox；planetary gear train；structural flexibility；ring gear；dynamics

收稿日期：2023-03-10

基金項(xiàng)目：

國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃（2020YFB1506600）；國家自然科學(xué)基金（52105050）；廣東省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃（2021B0101230002）；山西省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃（202102060301017）

0 引言

行星輪系具有結(jié)構(gòu)緊湊、功率密度高以及傳遞扭矩大等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于風(fēng)電齒輪箱中傳遞兆瓦級功率。風(fēng)電齒輪箱是典型的重載（額定輸入扭矩105～107 N·m）傳動(dòng)裝置，近年來為了降低度電成本，風(fēng)電機(jī)組逐漸朝10 MW+超大功率發(fā)展，這對風(fēng)電齒輪箱承載能力、功率密度要求越來越高。為了滿足更大功率傳遞需求，風(fēng)電齒輪箱行星輪系各構(gòu)件尺寸被設(shè)計(jì)得更大，在重載工況下容易產(chǎn)生過大的系統(tǒng)變形，造成齒輪嚙合偏載，導(dǎo)致過大的系統(tǒng)振動(dòng)、噪聲以及動(dòng)載荷，增大疲勞失效風(fēng)險(xiǎn)。因此，開展重載行星齒輪傳動(dòng)嚙合偏載分析對指導(dǎo)風(fēng)電齒輪箱優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義。

行星輪系齒輪嚙合過程本質(zhì)上是一個(gè)復(fù)雜的多點(diǎn)嚙合、多柔疊加的三維動(dòng)態(tài)接觸問題。其中，多點(diǎn)嚙合主要體現(xiàn)在多個(gè)行星輪分別與太陽輪、內(nèi)齒圈同時(shí)嚙合，形成多對齒輪副同時(shí)嚙合，并且在同一對齒輪副中，輪齒會(huì)周期性地嚙入和嚙出，形成多輪齒交替嚙合狀態(tài)。多柔疊加主要體現(xiàn)在太陽輪軸、行星架、內(nèi)齒圈彈性變形、軸承支撐變形等多源變形量的非線性疊加，會(huì)改變齒輪接觸狀態(tài)。動(dòng)態(tài)接觸主要體現(xiàn)在各構(gòu)件變形會(huì)改變嚙合剛度、傳遞誤差等內(nèi)部激勵(lì)，進(jìn)一步反饋影響各構(gòu)件變形，造成齒輪接觸與系統(tǒng)振動(dòng)之間存在顯著的耦合作用。

國內(nèi)外學(xué)者圍繞行星輪系動(dòng)力學(xué)開展了大量研究。ABOUSLEIMAN等［1］、ZHANG等［2］、許華超等［3］、張俊等［4］、劉向陽等［5］采用離散梁單元對內(nèi)齒圈進(jìn)行建模，分析了內(nèi)齒圈模態(tài)和行星輪系動(dòng)態(tài)響應(yīng)。但此類建模方法無法考慮構(gòu)件復(fù)雜結(jié)構(gòu)特征，并且通常先計(jì)算得到齒輪嚙合剛度，然后將其預(yù)置到行星輪系動(dòng)力學(xué)模型中，并未考慮嚙合剛度與構(gòu)件動(dòng)態(tài)位移的作用關(guān)系，齒面載荷計(jì)算精度有限，仍需進(jìn)一步研究。

大量學(xué)者圍繞齒輪副三維接觸問題開展了深入研究。SAADA等［6］基于齒輪切片理論和集中參數(shù)法，建立了計(jì)入齒輪副準(zhǔn)靜態(tài)接觸的行星輪系動(dòng)力學(xué)模型，分析了系統(tǒng)剛度參數(shù)對齒輪共振頻率的影響；隨后，VELEX等［7-8］建立了計(jì)入齒輪副準(zhǔn)靜態(tài)接觸的定軸輪系動(dòng)力學(xué)模型，分析了齒輪錯(cuò)位量對齒面載荷分布的影響。

進(jìn)一步細(xì)化模擬齒輪接觸和考慮更全面的系統(tǒng)構(gòu)件彈性變形與誤差激勵(lì)等，是提高仿真模型預(yù)測精度的關(guān)鍵。LIU等［9］基于齒輪切片理論與單位長度接觸線嚙合剛度均值，考慮齒面摩擦與齒廓誤差激勵(lì)，建立了人字齒定軸輪系動(dòng)力學(xué)模型，分析了摩擦因數(shù)與齒廓誤差對系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響。YOUNES等［10］考慮軸系柔性、齒廓誤差，建立了計(jì)入齒輪準(zhǔn)靜態(tài)接觸的定軸輪系動(dòng)力學(xué)模型，開展了以降低傳遞誤差與功率損失為目標(biāo)的修形參數(shù)優(yōu)化研究。ABOUSLEIMAN等［1］將內(nèi)齒圈等效離散為若干梁單元，并結(jié)合切片理論和集中參數(shù)法，建立了計(jì)入齒輪準(zhǔn)靜態(tài)接觸的行星輪系動(dòng)力學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)構(gòu)件變形容易造成齒面偏載，而采用齒面修形可以有效降低系統(tǒng)振動(dòng)［11］。AJMI等［12］通過引入Pasternak彈性基礎(chǔ)假設(shè)，建立了切片齒輪彈性變形之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，提高了定軸輪系斜齒輪準(zhǔn)靜態(tài)接觸仿真精度，并發(fā)現(xiàn)了斜齒輪偏載現(xiàn)象。GUILBERT等［13］根據(jù)薄腹板齒輪結(jié)構(gòu)特征，采用有限元子結(jié)構(gòu)法與齒輪切片理論，建立了切片齒輪彈性變形之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，構(gòu)建了齒輪準(zhǔn)靜態(tài)接觸模型，分析了薄腹板齒輪節(jié)徑模態(tài)與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)。白恩軍等［14］采用有限元法研究了軸系變形下齒面三維接觸特性。袁冰等［15］建立了耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)多點(diǎn)嚙合準(zhǔn)靜態(tài)接觸分析模型，分析了軸系支撐布局形式對齒面載荷分布和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。

上述研究雖然為齒輪嚙合三維接觸分析提供了重要指導(dǎo)，但本質(zhì)上屬于準(zhǔn)靜態(tài)嚙合過程，無法反映齒輪嚙合過程中的動(dòng)態(tài)接觸現(xiàn)象。王濤等［16］、CAI等［17］、MATSUMURA等［18］以及CAO等［19］圍繞定軸輪系建立了計(jì)入動(dòng)態(tài)位移影響的動(dòng)態(tài)嚙合剛度、齒面動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力等計(jì)算模型，通過對比發(fā)現(xiàn)構(gòu)件動(dòng)態(tài)位移會(huì)影響齒面動(dòng)態(tài)接觸狀態(tài)。為了建立構(gòu)件動(dòng)態(tài)位移與齒輪接觸狀態(tài)的耦合關(guān)系，PARKER等［20］采用有限元方法模擬了齒輪嚙合動(dòng)態(tài)接觸過程。為了提高計(jì)算效率，ZHANG等［21］、趙百順等［22］以及常樂浩等［23］將承載接觸分析（loaded tooth contact analysis，LTCA）方法與有限元法或齒輪切片理論結(jié)合起來，通過預(yù)先提取影響齒面宏觀變形的彎矩-剪切柔度系數(shù)矩陣，并結(jié)合赫茲接觸方程動(dòng)態(tài)計(jì)算齒面局部接觸變形，建立了一種實(shí)用高效的LTCA數(shù)值計(jì)算方法。

目前，齒輪副準(zhǔn)靜態(tài)接觸分析已被廣泛應(yīng)用于行星輪系動(dòng)力學(xué)建模，而計(jì)入齒輪副三維動(dòng)態(tài)接觸和系統(tǒng)綜合變形（如內(nèi)齒圈、行星架等變形）的行星輪系動(dòng)力學(xué)建模相關(guān)文獻(xiàn)仍較少。實(shí)際上，由于風(fēng)速的隨機(jī)性，風(fēng)電齒輪箱輸入載荷波動(dòng)頻繁且數(shù)量級跨度大，容易造成復(fù)雜的構(gòu)件變形，影響齒輪副嚙合，改變內(nèi)部激勵(lì)，進(jìn)一步反饋影響系統(tǒng)振動(dòng)，因此對齒輪副嚙合性能的要求較高。本文全面計(jì)入行星輪系各構(gòu)件柔性，同時(shí)考慮行星輪系多對齒輪副在動(dòng)態(tài)嚙合過程中嚙合激勵(lì)與響應(yīng)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，提出了行星輪系齒輪副動(dòng)態(tài)承載接觸分析（dynamic loaded tooth contact analysis，DLTCA）模型，并將齒輪副動(dòng)態(tài)接觸分析與行星輪系動(dòng)力學(xué)求解相結(jié)合，建立了閉環(huán)的“嚙合激勵(lì)-系統(tǒng)振動(dòng)-反饋影響”行星輪系動(dòng)力學(xué)分析方法，分析了嚙合偏載現(xiàn)象以及結(jié)構(gòu)參數(shù)對嚙合特性的影響。

1 NGW行星輪系構(gòu)型

圖1所示為被廣泛應(yīng)用于兆瓦級風(fēng)電齒輪箱中的NGW行星輪系，主要包括行星架（c）、內(nèi)齒圈（r）、太陽輪（s）和行星輪（p）。其中，行星架為雙壁整體式結(jié)構(gòu)，主要由連接板、側(cè)板以及銷軸等結(jié)構(gòu)組成。輸入扭矩（Tin）驅(qū)動(dòng)行星架旋轉(zhuǎn)，然后通過銷軸帶動(dòng)行星輪轉(zhuǎn)動(dòng)（內(nèi)齒圈固定），進(jìn)而驅(qū)動(dòng)太陽輪（負(fù)載Tout），最后通過太陽輪軸花鍵帶動(dòng)下一級構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)。表1、表2分別為國內(nèi)某型5 MW級海上風(fēng)電齒輪箱行星輪系齒輪參數(shù)、軸承支撐剛度參數(shù)。其中，軸承支撐剛度參數(shù)通過Romax軟件在額定工況下進(jìn)行提取。內(nèi)、外嚙合副準(zhǔn)靜態(tài)嚙合剛度見文獻(xiàn)［24］。

2 行星輪系動(dòng)力學(xué)建模

2.1 有限元縮聚模型

為了考慮具有非規(guī)則結(jié)構(gòu)的行星架與內(nèi)齒圈

幾何特征，本文采用有限元子結(jié)構(gòu)縮聚單元建立行星架與內(nèi)齒圈模型。首先建立行星架與內(nèi)齒圈有限元模型，然后根據(jù)行星架和內(nèi)齒圈自身的邊界約束條件設(shè)置主節(jié)點(diǎn)，并通過柔性多點(diǎn)約束［25］將主節(jié)點(diǎn)與對應(yīng)的界面節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接，最后采用固定界面模態(tài)綜合法對行星架和內(nèi)齒圈進(jìn)行子結(jié)構(gòu)縮聚，可得縮聚后行星架和內(nèi)齒圈自由振動(dòng)方程為

Mcq¨c+Ccq·c+Kcqc=0

Mrq¨r+Crq·r+Krqr=0（1）

式中，Mc、Mr分別為行星架與內(nèi)齒圈質(zhì)量矩陣；Kc、Kr分別為行星架與內(nèi)齒圈剛度矩陣；Cc、Cr分別為行星架與內(nèi)齒圈阻尼矩陣，采用Rayleigh阻尼計(jì)算［26］；qc、qr分別為行星架與內(nèi)齒圈位移向量，包括主節(jié)點(diǎn)廣義位移向量和內(nèi)部保留階數(shù)節(jié)點(diǎn)自由度。

圖2和圖3所示分別為內(nèi)齒圈和行星架有限元縮聚模型。根據(jù)行星架與內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)特征，在其連接位置、軸承支撐和內(nèi)齒圈輪齒處設(shè)置縮聚點(diǎn)，包括內(nèi)齒圈輪齒和螺栓孔（圖2）、行星架輸入扭矩作用點(diǎn)、行星架軸承支撐點(diǎn)和銷軸上-下風(fēng)向行星輪軸承支撐點(diǎn)（圖3）。

2.2 行星輪-銷軸受力分析

為了保證行星輪軸承強(qiáng)度，常在行星架銷軸的上、下風(fēng)向位置處各安裝一個(gè)同類型軸承，共同支撐行星輪，因此根據(jù)圖4（圖中Ocmu和Ocmd分別為銷軸上、下風(fēng)向軸承支撐節(jié)點(diǎn)位置）所示的行星輪受力情況，可建立行星輪受力平衡方程：

mpx¨p=-（Fxcpiu+Fxcpid）+Fxspi+Fxrjpi

mpy¨p=-（Fycpiu+Fycpid）+Fyspi+Fyrjpi

mpz¨p=-（Fzcpiu+Fzcpid）+Fzspi+FzrjpiIxpθ¨xpi=（Mxcpiu+Mxcpid）-luFycpiu+

ldFycpid+Mxspi+Mxrjpi

Iypθ¨ypi=（Mycpiu+Mycpid）+luFxcpiu-

ldFxcpid+Myspi+Myrjpi

Izpθ¨zpi=Mzspi+Mzrjpi（2）

式中，mp為行星輪質(zhì)量；xp（θxpi）、yp（θypi）、zp（θzpi）為行星輪在自身參考坐標(biāo)系中分別沿x、y、z軸的振動(dòng)位移（扭角位移）；Ixp、Iyp、Izp分別為行星輪繞自身參考坐標(biāo)系x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Fxcpi、Fycpi、Fzcpi分別為銷軸支撐對行星輪質(zhì)心（Opi）產(chǎn)生的沿x、y、z軸的載荷；Mxcpi、Mycpi分別為銷軸支撐對行星輪質(zhì)心（Opi）產(chǎn)生的繞x、y軸的彎矩；Fxspi（Fxrjpi）、Fyspi（Fyrjpi）、Fzspi（Fzrjpi）為太陽輪（內(nèi)齒圈輪齒j）-行星輪i動(dòng)態(tài)嚙合力分別投影到x、y、z軸的載荷，Mxspi（Mxrjpi）、Myspi（Myrjpi）、Mzspi（Mzrjpi）為太陽輪（內(nèi)齒圈輪齒j）-行星輪i動(dòng)態(tài)嚙合力分別投影到x、y、z軸的彎矩；l為行星輪質(zhì)心到銷軸軸承之間的距離沿zpi軸投影；下標(biāo)u、d分別表示上風(fēng)向、下風(fēng)向。

2.3 斜齒輪副嚙合

如圖5所示，Osxsyszs為太陽輪參考坐標(biāo)系，Opixpiypizpi為行星輪i參考坐標(biāo)系，Ortjxrtjyrtjzrtj為固定在內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點(diǎn)j的參考坐標(biāo)系，Orxryrzr為內(nèi)齒圈參考坐標(biāo)系。其中，Osxsyszs和Opixpiypizpi跟隨行星架轉(zhuǎn)動(dòng)；Ortjxrtjyrtjzrtj和Orxryrzr為固定坐標(biāo)系。將太陽輪、行星輪以及每個(gè)內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點(diǎn)的6個(gè)自由度振動(dòng)位移分別在太陽輪-行星輪接觸線上各接觸點(diǎn)、內(nèi)齒圈-行星輪接

觸線上各接觸點(diǎn)進(jìn)行投影并疊加，可得太陽輪與行星輪i在嚙合平面上第k條接觸線上的第l個(gè)接觸點(diǎn)的相對位移δspi、內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點(diǎn)與行星輪i在嚙合平面上第k條接觸線上的第l個(gè)接觸點(diǎn)的相對位移δrpi：

δspi=［（us+θs×rspi_sl）-（upi+θpi×rspi_pil）］Ispi_η⊥（3）

δrpi={（upi+θpi×rrpi_pil）-［urtj+θrtj×

（rrpi_rtjl-Xrj）］}Irpi_η⊥（4）

式中，us（θs）、upi（θpi）、urtj（θrtj）分別為太陽輪、行星輪i以及內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點(diǎn)j的平移（扭轉(zhuǎn)）振動(dòng)位移向量；rspi_sl、rspi_pil為太陽輪自身參考坐標(biāo)系原點(diǎn)、行星輪i自身參考坐標(biāo)系原點(diǎn)分別到第l個(gè)接觸點(diǎn)的位移矢量；rrpi_pil、rrpi_rtjl為行星輪i自身參考坐標(biāo)系原點(diǎn)、內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點(diǎn)j自身參考坐標(biāo)系原點(diǎn)分別到第l個(gè)接觸點(diǎn)的位移矢量；Ispi_η⊥、Irpi_η⊥分別為位于太陽輪-行星輪i嚙合平面上且垂直于接觸線方向的方向矢量、

位于內(nèi)齒圈-行星輪i嚙合平面且垂直于接觸線方向的方向矢量；Xrj為內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點(diǎn)j在全局坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)。

將式（3）和式（4）反向投影至自身參考坐標(biāo)系中，可得δspi、δrpi對應(yīng)的嚙合向量［1］：

V（l）spi=Vs|6×1

Vpi|6×1（5）

V（j）rpi=Vpi|6×1

V（j）r|6×1（6）

式中，Vs、Vpi、V（j）r分別為太陽輪、行星輪i、內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點(diǎn)j在自身參考坐標(biāo)系的廣義位移向量。

2.4 行星輪系動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)太陽輪軸、內(nèi)齒圈、行星架和行星輪節(jié)點(diǎn)自由度及其耦合關(guān)系，定義系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)在自身參考坐標(biāo)下的廣義位移向量為

Xsys=（XTc，XTr，XTp1，…，XTpNp，XTs，qcq，qrq）T（7）

式中，Xc、Xr、Xs、Xp分別為行星架、內(nèi)齒圈、太陽輪軸以及行星輪的廣義位移向量；Np為行星輪數(shù)量；qcq、qrq分別為行星架和內(nèi)齒圈保留的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)模態(tài)坐標(biāo)。

其中，太陽輪軸采用Euler-Bernoulli梁單元建

模［27］。內(nèi)齒圈螺栓孔等效支撐剛度本文取值1×

109 N/m（N·m/rad），太陽輪軸等效支撐剛度本文取值1×108 N/m（N·m/rad）。

如圖6所示，根據(jù)式（7）中各節(jié)點(diǎn)編號，將各構(gòu)件質(zhì)量矩陣、剛度矩陣以及阻尼矩陣進(jìn)行組裝，可建立行星輪系動(dòng)力學(xué)模型：

MsysX¨sys+CsysX·sys+KsysXsys=Fsys（8）

式中，Msys、Ksys和Csys分別為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、剛度矩陣與阻尼矩陣；Fsys為系統(tǒng)激振力矩陣，包括輸入扭矩與負(fù)載。

3 斜齒輪副動(dòng)態(tài)承載接觸模型

基于傳統(tǒng)靜態(tài)承載接觸模型建立斜齒輪副動(dòng)態(tài)承載接觸模型，如圖7所示。當(dāng)已知齒輪副動(dòng)態(tài)傳遞誤差與靜態(tài)傳遞誤差且忽略齒面摩擦?xí)r，可得第k對嚙合齒面上各接觸點(diǎn)變形協(xié)調(diào)條件為

C（k）bfFk+uck-Yk=δk-εk（9）

式中，C（k）bf為各接觸點(diǎn)的柔度系數(shù)矩陣，主要由齒輪彎曲-剪切變形和輪體變形組成；Fk為作用在各接觸點(diǎn)上的載荷；uck為各接觸點(diǎn)的接觸變形列向量；Yk為各接觸點(diǎn)接觸后的剩余間隙列向量；δk為各接觸點(diǎn)對應(yīng)的動(dòng)態(tài)傳遞誤差；εk為各接觸點(diǎn)的初始間隙列向量，包含齒輪制造誤差、修形以及齒側(cè)間隙等。

本文選用切片法理論計(jì)算C（k）bf［28］和uck［29］，其表達(dá)式分別為

C（k）bf=λkp11+λkg11…λkp1l+λkg1l…λkp1n+λkg1nλkpl1+λkgl1…λkpll+λkgll…λkpln+λkglnλkpn1+λkgn1…λkpnl+λkgnl…λkpnn+λkgnn（10）

uck=［u（k）c1，…，u（k）cl，…，u（k）cn］T

u（k）cl=FlπbE*（ln（πb3E*（ρp+ρg）2Flρpρg）+1）（11）

式中，λkpln、λkgln分別為主、從動(dòng)輪對應(yīng)的接觸點(diǎn)l對接觸點(diǎn)n的彎曲-剪切柔度；u（k）cl為接觸點(diǎn)l對應(yīng)的接觸變形；Fl為作用在接觸點(diǎn)l的載荷；E*為等效彈性模量；ρ為接觸點(diǎn)l對應(yīng)的等效曲率半徑；b為接觸點(diǎn)i對應(yīng)的齒寬。

第k對嚙合齒面上各接觸點(diǎn)需要滿足如下載荷判斷條件：

Yl=0，δl>εl，if Fl>0Yl>0，δl≤εl，if Fl=0（12）

式中，Yl為接觸點(diǎn)l在接觸后的剩余間隙；δl為接觸點(diǎn)l的動(dòng)態(tài)傳遞誤差；εl為接觸點(diǎn)l的初始間隙。

當(dāng)求解接觸方程得到Fk后，根據(jù)式（9）定義，可以根據(jù)嚙合線各接觸點(diǎn)彈性變形計(jì)算得到單對輪齒動(dòng)態(tài)嚙合剛度km：

km=∑nl=1kl=∑nl=1Flδl-εl（13）

式中，kl為接觸點(diǎn)l的動(dòng)態(tài)剛度，kl=k（l）bf+kcl，k（l）bf、kcl分別為接觸點(diǎn)l的彎曲-剪切剛度、赫茲接觸剛度，可以分別通過式（10）、式（11）得到的柔度系數(shù)矩陣和接觸變形進(jìn)行計(jì)算。本文暫不考慮齒輪修形與齒形誤差，令εl=0。

4 齒輪副動(dòng)態(tài)接觸與系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)耦合方法

齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合過程是一個(gè)“嚙合激勵(lì)-系統(tǒng)振動(dòng)-反饋影響”的閉環(huán)耦合過程。通過求解預(yù)先給定位移與速度初值的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，根據(jù)齒輪副動(dòng)態(tài)承載接觸方程（式（9）～式（12））可得影響系統(tǒng)振動(dòng)的嚙合激勵(lì)（接觸點(diǎn)動(dòng)態(tài)載荷）；將嚙合激勵(lì)重新代入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程（式（8））并求解，可得系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)；再通過式（3）～式（6）得到齒輪副動(dòng)態(tài)承載接觸方程（式（9）～式（12））的反饋影響，最終建立上述閉環(huán)耦合分析流程。

本文提出了基于精細(xì)積分法（PIM）［30］的齒輪副動(dòng)態(tài)接觸與系統(tǒng)耦合振動(dòng)求解方法，具體流程如圖8所示。V、X分別為不同時(shí)間步下嚙合向量（式（5）和式（6））和對應(yīng)的構(gòu)件振動(dòng)位移向量（式（7））。其基本思路是當(dāng)給定載荷參數(shù)、幾何參數(shù)與仿真參數(shù)后，首先基于預(yù)先給定的位移和速度向量初值，可得各構(gòu)件振動(dòng)位移作用在各接觸點(diǎn)上形成的相對位移δdt+Δt（k），同時(shí)根據(jù)行星輪轉(zhuǎn)角θzpi，dt+Δt（k）可得齒輪副彎曲-剪切柔度系數(shù)矩陣（C（k）bf）dt+Δt（k）；然后求解式（8），可迭代得到作用在各接觸點(diǎn)上的載荷F（f）dt+Δt（k），生成受振動(dòng)位移影響的齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合激勵(lì)（“系統(tǒng)振動(dòng)-嚙合激勵(lì)”）；最后根據(jù)更新后的各接觸點(diǎn)載荷與當(dāng)前時(shí)刻各構(gòu)件振動(dòng)位移和速度，利用PIM求解下一時(shí)刻系統(tǒng)響應(yīng)，實(shí)現(xiàn)將齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合激勵(lì)再反饋?zhàn)饔糜诟鳂?gòu)件振動(dòng)位移（“反饋影響”），并不斷地重復(fù)上述迭代過程。在計(jì)算時(shí)，PIM仿真步長取5×10-5 s，各接觸點(diǎn)載荷收斂容差ζ=1×10-3。

5 結(jié)果討論與分析

5.1 有限元驗(yàn)證

由于整體的行星輪系有限元模型計(jì)算規(guī)模大、效率低且收斂困難，因此為了驗(yàn)證本文模型，建立了局部的太陽輪-行星輪-內(nèi)齒圈嚙合有限元模型，如圖9所示。在此模型中，將驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)角（θzc=0.2 rad）施加在僅傳遞旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的剛性行星架上，負(fù)載（Tout=2.048×105 N·m）施加在太陽輪上，同時(shí)在齒圈螺栓孔處設(shè)置線性彈簧-阻尼邊界約束，本文取k=1×109 N/m（N·m/rad）。其中，將行星架視作剛體主要是由于行星架變形主要影響齒面載荷分布，但對齒面載荷的合力影響較小，同時(shí)兼顧計(jì)算效率與收斂性。將有限元模型得到的輪齒接觸力與本文模型進(jìn)行對比，如圖10所示。

相比于局部的太陽輪-行星輪-內(nèi)齒圈嚙合有限元模型，本文模型全面考慮了行星架、內(nèi)齒圈與太陽輪軸柔性，因此兩者計(jì)算得到的輪齒接觸力略有差異，但本文模型得到的輪齒接觸力整體變化趨勢和峰值位置與有限元模型結(jié)果一致，驗(yàn)證了本文模型的正確性。此外，本文模型計(jì)算效率明顯高于有限元模型，當(dāng)剛體行星架旋轉(zhuǎn)0.2 rad時(shí)，有限元模型計(jì)算時(shí)間超過8 h，而本文模型僅需要約20 min（計(jì)算機(jī)配置為CPU AMD 3700X，RAM 32.0 GB）。

5.2 斜齒輪嚙合偏載分析

圖11所示為不同工況下太陽輪-行星輪、內(nèi)齒圈-行星輪嚙合齒面載荷分布情況。從圖中可知，隨著輸入扭矩增加，齒面載荷等比例增大；太陽輪-行星輪、內(nèi)齒圈-行星輪嚙合齒面均出現(xiàn)了偏載現(xiàn)象，即齒面載荷主要集中在齒輪上風(fēng)向端面。

齒面載荷分布與嚙合齒輪振動(dòng)位移密切相關(guān)。基于推導(dǎo)的式（3）和式（4）可知，太陽輪、行星輪與內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點(diǎn)的平移振動(dòng)會(huì)均勻投影至各自對應(yīng)的嚙合線接觸點(diǎn)上，而各構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)會(huì)明顯改變嚙合線接觸點(diǎn)的相對位移，容易造成齒面偏載。因此，在不同工況下對比了太陽輪、行星輪和內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移，如圖12所示。

從圖12中可知，隨著輸入扭矩增大，各構(gòu)件徑向扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移幅值顯著增大，并且在時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)下，各構(gòu)件徑向扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移出現(xiàn)了周期性波動(dòng)。內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點(diǎn)1徑向扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移出現(xiàn)了低頻波動(dòng)與高頻振動(dòng)，前者主要是由于5個(gè)行星輪依次與內(nèi)齒圈輪齒節(jié)點(diǎn)進(jìn)行嚙合，產(chǎn)生了擠壓變形。當(dāng)輸入扭矩達(dá)到額定值時(shí)，行星輪繞θxp1軸和θyp1軸產(chǎn)生了明顯的徑向扭轉(zhuǎn)變形，均值分別約為-115.62 rad、-41.13 rad，表明行星輪發(fā)生了明顯的擺動(dòng)現(xiàn)象。其主要原因是齒輪存在變位系數(shù)，使得太陽輪-行星輪、內(nèi)齒圈-行星輪之間的嚙合角并不相等，同時(shí)斜齒輪存在螺旋角且兩者嚙合存在相位差，綜合造成太陽輪-行星輪、內(nèi)齒圈-行星輪動(dòng)態(tài)嚙合力的軸向分力分別在θxp1軸和θyp1軸上所形成的合彎矩并非為零。

由于行星輪與銷軸之間通過線性彈簧-阻尼單元連接，且在建模時(shí)考慮了行星輪幾何結(jié)構(gòu)尺寸與銷軸之間的作用力關(guān)系（圖4），使得行星輪徑向扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移與銷軸徑向變形密切相關(guān)，因此提取了不同工況下銷軸上、下風(fēng)向節(jié)點(diǎn)的徑向振動(dòng)位移，如圖13所示，行星輪系變形如圖14所示（Tin=4×106N·m，θ·zc=2 rad/s）。

從圖13和圖14中可知，相比于銷軸x向（徑向），銷軸y向（切向）變形更加明顯，其主要原因是y向主要承擔(dān)輸入扭矩分解后的切向力（圖14a）；銷軸下風(fēng)向節(jié)點(diǎn)的x、y向振動(dòng)位移明顯大于上風(fēng)向節(jié)點(diǎn)，且隨著輸入扭矩的增大，差異愈加明顯。其主要原因是銷軸下風(fēng)向節(jié)點(diǎn)類似于“懸臂梁”結(jié)構(gòu)的自由端，即使銷軸上、下風(fēng)向節(jié)點(diǎn)在相同的載荷條件下，下風(fēng)向節(jié)點(diǎn)也會(huì)產(chǎn)生更大的結(jié)構(gòu)變形（圖14b）。

分析結(jié)果表明，造成斜齒輪嚙合偏載的主要原因包括太陽輪-行星輪、內(nèi)齒圈-行星輪斜齒輪嚙合產(chǎn)生的軸向分力所形成的合彎矩；行星架銷軸上、下風(fēng)向節(jié)點(diǎn)承載時(shí)產(chǎn)生了非對稱結(jié)構(gòu)變形。

5.3 動(dòng)態(tài)位移對嚙合特性影響

動(dòng)態(tài)嚙合力可以直接反映系統(tǒng)振動(dòng)情況。圖15所示為轉(zhuǎn)速對行星輪系動(dòng)態(tài)嚙合力（有效值且去除均值）影響（Tin=4×106 N·m）。從圖中可知，隨著輸入轉(zhuǎn)速（θ·zc）增大，行星輪系動(dòng)態(tài)嚙合力幅值逐漸增大；輸入轉(zhuǎn)速約為60 rad/s時(shí)產(chǎn)生了共振，動(dòng)態(tài)嚙合力幅值達(dá)到最大，意味著嚙合齒輪振動(dòng)位移顯著增大；隨著輸入轉(zhuǎn)速的繼續(xù)增大，動(dòng)態(tài)嚙合力幅值開始降低。為了探究嚙合齒輪動(dòng)態(tài)位移對齒輪嚙合特性影響，對比了不同輸入轉(zhuǎn)速下齒輪時(shí)變嚙合剛度與齒面載荷分布情況，分別如圖16和圖17所示（Tin=4×106 N·m）。

從圖16中可知，當(dāng)θ·zc為60 rad/s、80 rad/s時(shí)，太陽輪-行星輪嚙合剛度出現(xiàn)了明顯的非規(guī)則性波動(dòng)，尤其是在共振轉(zhuǎn)速附近時(shí)，其波動(dòng)更加明顯；內(nèi)齒圈-行星輪嚙合剛度對輸入轉(zhuǎn)速變化不敏感，其主要原因是柔性內(nèi)齒圈的吸振作用。從圖17中可知，輸入轉(zhuǎn)速變化會(huì)改變齒面載荷分布，當(dāng)系統(tǒng)產(chǎn)生共振時(shí)，太陽輪-行星輪、內(nèi)齒圈-行星輪齒面載荷最大值分別達(dá)9615 N、7418 N（圖17a），相比于θ·zc=80 rad/s時(shí)齒面載荷最大值，分別增大了13.70%、10.75%。

分析結(jié)果表明，齒輪嚙合剛度并非獨(dú)立于系統(tǒng)響應(yīng)，輸入轉(zhuǎn)速變化會(huì)通過影響各構(gòu)件振動(dòng)位移，改變輪齒動(dòng)態(tài)接觸狀態(tài)，影響齒輪嚙合剛度（式（13）），并反饋影響各構(gòu)件動(dòng)態(tài)響應(yīng)；系統(tǒng)共振會(huì)加劇嚙合偏載程度。

5.4 行星架柔性對嚙合特性影響

圖18和圖19所示分別為行星架連接板與銷軸彈性模量對行星輪系動(dòng)態(tài)嚙合力、齒面載荷分布的影響。其中，連接板與銷軸彈性模量設(shè)計(jì)值均為E=1.06×1011Pa，Tin=4×106 N·m，θ·zc=60 rad/s。

從圖18中可知，在共振轉(zhuǎn)速區(qū)，增大連接板與銷軸彈性模量均可以降低動(dòng)態(tài)嚙合力峰值。然而，在低轉(zhuǎn)速區(qū)（θ·zc≤30 rad/s），增大銷軸彈性模量反而會(huì)增大行星輪系動(dòng)態(tài)嚙合力波動(dòng)。

從圖19中可知，在共振轉(zhuǎn)速區(qū)，增大銷軸彈性模量可以降低太陽輪-行星輪、內(nèi)齒圈-行星輪嚙合齒面載荷最大值，相比于原始設(shè)計(jì)（圖17a），分別降低5.81%、10.06%。此外，相比于原始設(shè)計(jì)（圖17a），增大連接板彈性模量，太陽輪-行星輪、內(nèi)齒圈-行星輪嚙合齒面載荷最大值分別降低7.10%、8.28%。

5.5 螺旋角對嚙合特性影響

圖20和圖21所示分別為斜齒輪螺旋角對行星輪系動(dòng)態(tài)嚙合力、齒面載荷分布影響（Tin=4×106 N·m，θ·zc=60 rad/s）。從圖20中可知，增大斜齒輪螺旋角有助于減小高速共振區(qū)動(dòng)態(tài)嚙合力幅值。如當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速約為60 rad/s時(shí)，相比于原始設(shè)計(jì)（圖17a），增大斜齒輪螺旋角后，太陽輪-行星輪、內(nèi)齒圈-行星輪動(dòng)態(tài)嚙合力幅值分別降低41.28%、3.59%。其主要原因是當(dāng)轉(zhuǎn)速較高時(shí)，內(nèi)部激勵(lì)是影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的主要因素，而增大螺旋角會(huì)提高嚙合重合度，有助于減小嚙合剛度波動(dòng)。但在一定范圍內(nèi)，增大斜齒輪螺旋角會(huì)增大平均嚙合剛度，使共振轉(zhuǎn)速朝右側(cè)偏移。在低轉(zhuǎn)速區(qū)域內(nèi)（如θ·zc≤30 rad/s），增大斜齒輪螺旋角會(huì)明顯增大動(dòng)態(tài)嚙合力幅值，其主要原因是螺旋角越大，作用在行星輪上由動(dòng)態(tài)嚙合力軸向分力所形成的合彎矩也越大，當(dāng)轉(zhuǎn)速較低時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)主要取決于構(gòu)件受力情況。

從圖21中可知，減小螺旋角可以改善齒面偏載現(xiàn)象，但仍無法完全均載，其主要原因是行星架銷軸上、下風(fēng)向節(jié)點(diǎn)承載時(shí)會(huì)產(chǎn)生非對稱結(jié)構(gòu)變形（圖14b）。然而，減小螺旋角會(huì)減小齒輪嚙合重合度，降低嚙合穩(wěn)定性，使得齒面載荷整體偏大。如當(dāng)螺旋角為0°時(shí)，太陽輪-行星輪、內(nèi)齒圈-行星輪輪齒接觸力最大值分別為9460 N、8739 N，相比于螺旋角為8°時(shí)計(jì)算結(jié)果，分別增大了11.95%、30.92%。增大螺旋角會(huì)降低由動(dòng)態(tài)嚙合力分解到銷軸上的徑向載荷，減小銷軸變形，在一定程度上會(huì)對齒面載荷分布有所改善。

6 結(jié)論

本文計(jì)入行星輪系各構(gòu)件柔性、多對齒輪副在動(dòng)態(tài)嚙合過程中嚙合激勵(lì)與響應(yīng)之間關(guān)聯(lián)關(guān)系，提出了齒輪副動(dòng)態(tài)承載接觸分析與系統(tǒng)振動(dòng)位移耦合方法，建立了行星齒輪傳動(dòng)耦合動(dòng)力學(xué)模型，形成了“嚙合激勵(lì)-系統(tǒng)振動(dòng)-反饋影響”相閉環(huán)的行星輪系動(dòng)力學(xué)分析流程，分析了嚙合偏載現(xiàn)象以及結(jié)構(gòu)參數(shù)對嚙合特性影響，主要結(jié)論如下：

（1）行星輪系斜齒輪嚙合會(huì)出現(xiàn)齒面偏載現(xiàn)象；動(dòng)態(tài)嚙合力在行星輪上產(chǎn)生的軸向分力所形成的合彎矩，以及行星架銷軸承載時(shí)產(chǎn)生的非對稱結(jié)構(gòu)變形是造成齒面偏載的主要原因；系統(tǒng)共振會(huì)加劇齒面偏載程度。

（2）齒面瞬時(shí)接觸特性與系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)之間存在相互影響，系統(tǒng)振動(dòng)位移會(huì)反饋影響齒輪動(dòng)態(tài)嚙合剛度；在共振區(qū)附近時(shí)，齒輪動(dòng)態(tài)嚙合剛度與靜態(tài)嚙合剛度會(huì)存在較大差異。

（3）增加銷軸剛性、增大螺旋角均可以改善齒面偏載狀態(tài)，降低共振區(qū)系統(tǒng)振動(dòng)，但在低轉(zhuǎn)速區(qū)不利于系統(tǒng)減振；增加行星架連接板剛性可以保持低轉(zhuǎn)速區(qū)系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)，同時(shí)降低共振區(qū)系統(tǒng)振動(dòng)。

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（編輯 王旻玥）

作者簡介：

譚建軍，男，1991年生，副研究員。研究方向?yàn)辇X輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、減振優(yōu)化。E-mail：jianjuntan@cqu.edu.cn。