基于ETKF 的協(xié)方差膨脹比較研究

陳 麗

（中國民用航空飛行學(xué)院理學(xué)院，四川 廣漢 618307）

集合變換卡爾曼濾波[1]將集合成員視為可用于估計未知的狀態(tài)向量和誤差協(xié)方差矩陣的樣本，以此避免對模型進行線性化處理。但有限的集合數(shù)目使得抽樣誤差協(xié)方差矩陣在長距離上產(chǎn)生偽相關(guān)問題，強烈影響濾波算法的性能。因此，已有研究引入了多種方法來規(guī)范誤差的分析：如協(xié)方差膨脹（CI）[2]。

目前，協(xié)方差膨脹有兩種方式：乘法膨脹和加法膨脹。乘法膨脹的原理是調(diào)整（通常增加）集合擴散，從而調(diào)整協(xié)方差，消除算法偽相關(guān)性。而加法膨脹可以處理由于模型誤差的存在產(chǎn)生的誤差低估問題，且對于模型誤差是EnKF 方案外部的誤差情況也可解決。但是目前越來越多的學(xué)者在相關(guān)研究中更多地考慮的是乘法膨脹法，對于加法膨脹的關(guān)注卻較少。

因此，本文結(jié)合Lorenz3[3]和Lorenz96[4]模型以及ETKF 同化方案綜合研究兩種膨脹方式對同化效果的影響。

1 研究方法

1.1 集合變換卡爾曼濾波算法簡介

在EnKF 框架中[5]，從集合開始分析

其中xa i表示在分析步驟的集合中的第i個狀態(tài)向量，表示在預(yù)測步驟的集合中的第i個狀態(tài)向量。

由于EnKF 中預(yù)報誤差協(xié)方差矩陣Pf=Xf(Xf)T的秩至多為m-1，因此不可逆。但作為對稱矩陣，它在其列空間S上是一對一的，這也是Xf的列空間，最小化可以在這個子空間S 中進行。將Xf視為從k 維空間Ω至S的線性變換，并在Ω中執(zhí)行分析。在下面的討論中，定義集合空間如下：

對于分析估計，利用卡爾曼增益的形式得到均值的最優(yōu)系數(shù)向量wa：

其中δ=y-H()。

定義T=（，可以構(gòu)建后驗集合為

1.2 乘法膨脹法

乘法膨脹簡單地將集合誤差協(xié)方差Pf膨脹一個因子λ，以近似真實誤差協(xié)方差Pf：

乘法膨脹的引入彌補了原始Pf中不包括的模型誤差。

1.3 加法膨脹法

加法膨脹通過向每個集合成員中添加具有一定協(xié)方差結(jié)構(gòu)的隨機擾動來參數(shù)化模型誤差。其表現(xiàn)形式如下：即給集合成員增加擾動←+εi并且=Q。

2 數(shù)值實驗

本節(jié)將基于ETKF、ETKF混合乘法膨脹法（ETKF+MI）、ETKF 混合加法膨脹法（ETKF+AI）以及ETKF 混合乘法和加法膨脹（ETKF+MI+AI）在Lorenz3 與Lorenz96 模型上進行實驗。所有實驗的基本設(shè)置與文獻[6]相同。實驗性能的好壞用以下均方根誤差（RMSE）進行衡量，其計算公式如下：

其中，x和x真分別為估計得到的模型狀態(tài)和真實的模型狀態(tài)。

2.1 Lorenz3 模型的實驗

在本小節(jié)中，基于Lorenz3 模型進行實驗，其模型方程表示如下：

其中，σ=10、ρ=28 和β=8/3。

我們做了4 個實驗，考察觀測誤差R和集合數(shù)目m發(fā)生變化時算法的性能如何改變。每個實驗都運行1000 次，舍棄前100 次結(jié)果，計算剩余900 次的平均結(jié)果見表1。

表1 Lorenz3 模型

從表1 中可知，在Lorenz3 模型中，觀測誤差較小，集合數(shù)目也較小時，不管引入乘法膨脹還是加法膨脹，算法性能都有較大提升，顯然，僅添加乘法膨脹的算法性能最優(yōu)，而兩種膨脹方式疊加并沒有顯著提高算法性能，僅略微優(yōu)于只混合加法膨脹的算法。當觀測誤差增大時，ETKF+MI 的RMSE 仍然是最低的，ETKF+MI+AI 次之，ETKF+AI 最高，增加集合數(shù)目后，僅添加加法膨脹的算法性能與兩種膨脹方式結(jié)合的相同，這說明疊加引入乘法膨脹也無法提升ETKF+AI 算法的性能。

2.2 Lorenz96 模型的實驗

Lorenz96 模型表達式為：

在Lorenz96 模型中，依然進行了4 個實驗，考察觀測誤差R和集合數(shù)目m發(fā)生變化時算法的性能如何改變。每個實驗運行1000 次，舍棄前100 次結(jié)果，計算剩余900 次的平均結(jié)果見表2。

表2 Lorenz96 模型

如表2 所示，在Lorenz96 模型中，觀測誤差較小，集合數(shù)目也較小時（低于狀態(tài)變量的數(shù)目）兩種膨脹方式的融合算法性能最優(yōu)，優(yōu)于乘法膨脹，而加法膨脹性能較低，增加集合數(shù)目高于狀態(tài)變量個數(shù)后，ETKF+MI的算法性能變成最優(yōu)的，而ETKF+MI+AI 次之。當觀測誤差增大時，在集合數(shù)目較低時，ETKF+MI+AI 算法性能仍然是最優(yōu)的，而將集合數(shù)目增加后，其算法性能又變成次優(yōu)的。由此說明，與Lorenz3 模型不同，在非線性性更強的Lorenz96 模型中，兩者混合的膨脹算法ETKF+MI+AI 可以在較低集合數(shù)目下顯著提升同化算法的性能。

3 結(jié)論

協(xié)方差膨脹的引入可以顯著提高算法性能，防止濾波發(fā)散。膨脹方式的選擇則需要依托模型特點。在弱非線性模型中，無論觀測誤差是大還是小，集合數(shù)目是多還是少，在同化算法中僅考慮加法膨脹的算法性能是最優(yōu)的，兩者結(jié)合的算法次之，加法膨脹性能最低。在強非線性模型中，當集合數(shù)目較多時，不論觀測誤差的高低，乘法膨脹性能仍是最優(yōu)的，這與弱非線性模型結(jié)果相同。但當集合數(shù)目較少，觀測誤差較低時，兩者結(jié)合的算法性能變?yōu)樽顑?yōu)，乘法膨脹次之，加法膨脹最低，隨著觀測誤差增大，兩者結(jié)合的算法性能依然是最優(yōu)的，但乘法膨脹性能變?yōu)樽畹汀Ｓ纱苏f明，協(xié)方差膨脹方式的選擇并不是固定的，需要根據(jù)模型非線性的強弱，觀測誤差的大小，以及集合數(shù)目進行綜合考慮。