基于擴展卡爾曼濾波算法的磷酸鐵鋰電池荷電狀態估計*

韋仲爽， 侯巍， 趙彥， 鄭壽森， 付青

1.中山大學物理學院，廣東 廣州 510275

2.安徽南瑞繼遠電網技術有限公司，安徽 合肥 230088

3.珠海銀河耐吉科技有限公司，廣東 珠海 519085

2020 年9 月，我國明確提出了2030 年“碳達峰”以及2060 年“碳中和”的目標。其中，重要舉措就是實現燃油汽車向電動汽車的轉變。電動汽車的電池體系歷經了鉛酸電池、鎳鎘電池、鎳氫電池、鋰離子電池四代。其中，鋰離子電池是比能量密度與能量效率最高的二次電池體系（賀林等，2021），具有開路電壓高、自放電率小、循環壽命長、無記憶效應、環境友好等特點。

電池管理系統（BMS，battery management system）的作用是對電池狀態、能量控制管理、電池信息等進行監控（譚曉軍，2021）。其中，荷電狀態是最基本的參數。SoC不是直接測量量，只能通過開路電壓法、安時積分法、神經網絡法和卡爾曼濾波法等估算得到。劉海東等（2022）提出了一種離線式鋰離子電池開路電壓快速估計方法；高進等（2022）使用開路電壓法估計初始荷電狀態，在恒流放電末期利用負載電壓法在線實時修正安時積分法SoC 的累計誤差；劉昊天（2020）提出一種CNN-GRU 神經網絡估算方法，對電池的SoC 進行了估算；張連德（2018）通過電池的電化學阻抗譜分析，對三元鋰電池的SoC 進行了估算；王浩（2022）提出考慮電池遲滯特性的自適應遺忘因子遞推最小二乘聯合EKF 算法，實現了磷酸鐵鋰電池SoC在線實時聯合估算。

開路電壓法不適于對SoC 進行實時估計；安時積分法容易產生累積誤差；神經網絡法精度高，但依賴于樣本數據，計算復雜；而卡爾曼濾波的估計結果只受到上一時刻的系統狀態和當前時刻的觀測值影響，即使初值誤差很大，卡爾曼濾波也能在幾次迭代之內迅速收斂到真實值附近，具有收斂快、精度高、不受初值誤差影響的優點（王海龍等，2021；黃小平等，2022）。經典的卡爾曼濾波適用于線性系統，當用于非線性系統時，需要圍繞濾波值將非線性函數展開成Taylor級數并略去二階及以上項，得到一個近似的線性化模型，即擴展卡爾曼濾波方法。趙佳美（2018）對比了一階、二階擴展卡爾曼濾波算法對電池SoC 估計的影響；晏曉鋒（2022）將自適應漸消擴展卡爾曼（AFEKF）算法應用于電池SoC 估算，提高了估算精度。本文從電池的外部電路特性出發，基于等效電路模型對電池進行建模分析，并結合擴展卡爾曼濾波算法對電池SoC進行估算。

1 電池模型的選擇

電池的原理性模型主要分為電化學模型和等效電路模型兩大類。電化學模型注重電池內部電化學機理，依據電池反應的本征特性建立模型，以對電池狀態進行估計（張照娓等，2021），常見的電池電化學模型有 Unnewehr Universal 模型、Nerst 模型等（Chun et al.， 2019）。電化學模型可以充分反映電池內部的電極特性、電解液濃度變化等特征，但參數辨識十分復雜，計算量極大，且不便于進行電池外部特性的電路分析（馬驍，2020）。等效電路模型注重描述電池的外部電學特性，利用電容、電阻等元件搭建其電路網絡，通過分析電路來分析電池在不同條件下的響應。比較常用的電路模型有Rint模型（Nemes et al.，2019），Thevenin 模型，PNGV 模型（Zhang et al.，2017）。等效電路模型的特點如表1所示。

表1 不同等效電路模型的特點Table 1 Characteristics of different equivalent circuit models

Rint模型使用一個歐姆內阻來模擬電壓的瞬態響應。Thevenin 模型在Rint模型的基礎上，增加了RC 并聯網絡，用以描述電池內部的電化學極化和濃差極化，使電池的動靜態特性得到體現，模型精度顯著提高（鳳良，2021）。PNGV 模型在Thevenin 模型的基礎上新串聯一個電容，用以表征開路電壓與負載電流的時間積分關系（賈玉健等，2011）。因此，PNGV 模型對電池動態響應的描述更精確，但在恒流工況下容易產生誤差。本實驗基于二階Thevenin 模型對電池系統進行建模分析。二階Thevenin模型如圖1所示。

圖1 二階Thevenin等效電路模型Fig.1 The second-order Thevenin equivalent circuit model

2 模型參數識別

2.1 電池特性測試

實驗使用的是48173125-100Ah 型可充電磷酸鐵鋰電池，電池額定容量為100 Ah。測試設備是新威CT4001 高性能電池檢測系統（5V1000A）。電池的標準充電流程為恒流恒壓充電，先以0.5 C 倍率恒流充電至截止電壓為3.65 V，再以3.65 V 恒壓充電至截止電流0.05 C。

以電池的放電過程為研究目標，對本批次的鋰離子電池進行分組。三個電池為一組，每組電池單體的編號為1 號、2 號、3 號，以標準充電流程充滿電，再以20、40、60 A 做恒流放電測試，測試鋰離子電池容量，結果如表2所示。

表2 不同放電倍率下的鋰離子電池放電容量Table 2 Capacity of lithium-ion batteries at different discharge rates Ah

從表2可知，三支鋰離子電池的平均容量均在105 Ah 左右。為使后面的實驗與鋰離子電池的實際情況更貼合，將電池的額定容量更正為105 Ah。圖2是三支鋰離子電池單體在40 A恒流放電工況下的放電曲線。圖2中，三支鋰離子電池單體的放電時間均在160 min 左右，放電平臺在3.0～3.3 V，且具有很強的一致性。在放電初始時刻，電池的端電壓均向下突降；放電末期，電池的端電壓再次急劇下降，直至截止電壓2.5 V。

圖2 40 A恒流放電工況下的放電曲線Fig.2 Discharge curve under constant discharge condition of 40 A

2.2 模型參數識別

根據基爾霍夫定律，圖1 所示的二階Thevenin等效電路模型可表述為

其中Ut表示t時刻鋰離子電池的端電壓；OCV表示當前SoC 處鋰離子電池的開路電壓；R0表示鋰離子電池的歐姆內阻；U1和U2分別表示兩個RC回路的電壓，用以描述鋰離子電池內部的極化反應。

為了提高不同SoC 點處的模型參數的準確性，本文將采用變參數的二階Thevenin 模型，即模型參數隨著電池SoC而變化。因此，需要對不同SoC處的OCV，R0，R1，R2，C1，C2進行如下識別：

（1）對電池放電，使SoC 發生固定變化，通過靜置測量OCV；

（2）分析電池電壓的瞬態響應，識別等效內阻R0；

（3）分析電池電壓的回彈特性， 識別R1，R2，C1，C2。

基于以上分析，利用《FreedomCar 功率輔助型電池測試手冊》中的混合脈沖功率特性測試方法對電池進行測試。HPPC 測試通過在特殊的SoC點對電池進行10 s 的放電脈沖、充電脈沖實驗和40 s 的靜置，以獲得電壓的瞬態響應及回彈特性。放電脈沖電流選用產品規格書中所允許的最大電流；充電脈沖電流設置為放電脈沖電流的0.75 倍作為能量補償。即在SoC ＞20%時，允許最大放電脈沖電流為200 A，對應的充電脈沖電流為150 A；在SoC ≤20%，允許最大放電脈沖電流為100 A，對應的充電脈沖電流為75 A。

為了使HPPC 脈沖測試與特定的SoC 點相對應，實驗中先按標準充電流程對電池充滿電，此時電池的SoC 為100%。之后以1 C 放電6 min，使SoC 下降10%。每次SoC 發生改變后，立刻進行2 h 靜置，讀取此時的開路電壓。本實驗對SoC 為90%， 80%， 70%， 60%， 50%， 40%， 30%，20%，10%的點進行HPPC 實驗，其步驟為：（1）標準充電流程充滿，靜置2 h；（2）1 C 放電6 min，靜置2 h；（3）單個HPPC 脈沖測試；（4）重復步驟2～3，重復次數為9 次；（5）0.5 C 放電至截止電壓2.5 V。每次工步（2）結束后，可以測得電池的開路電壓，如圖3所示。

圖3 OCV-SoC關系圖Fig.3 OCV-SoC curve

得到OCV 和SoC 之間的關系后，利用MATLAB的cftool工具箱，對其進行七階多項式擬合得

據公式（2）可近似表達任意SoC 點處鋰離子電池的開路電壓OCV。為了識別其他的參數，對SoC=90%處的HPPC 測試數據進行分析。該HPPC測試過程如圖4所示。

圖4 SoC=90%處的HPPC測試Fig.4 The HPPC test at SoC=90%

在圖4 中，電池的端電壓分別出現了四次突變，分別是AB 段、CD 段、EF 段和GH 段，這四處突變都與電池的歐姆內阻相關。《FreedomCar 功率輔助型電池測試手冊》中，歐姆內阻為

其中UC，UD，UG，UH分別為該點處的端電壓，Idis為放電脈沖電流，Icha為充電脈沖電流，因為內阻不可能為負，所以公式中Idis和Icha都取絕對值。

觀察圖4 中的DE 段，此時沒有電流，端電壓的變化是電池內部極化反應的外部表現。將DE 段看作是系統的零輸入響應，用二階Thevenin 等效電路模型的兩個RC 回路來模擬其內部的極化反應。結合公式（1），DE 段的端電壓可表示為

利用MATLAB 的cftool 工具箱，對DE 段的響應進行自定義函數擬合得

通過對比公式（4）和（5），可得

電流I取放電脈沖電流的絕對值。通過分析，可得不同SoC點處的R0，R1，R2，C1，C2的值，如表3 所示。令τ1=R1C1，τ2=R2C2分別為兩個RC回路的時間常數，其結果如表4所示。

表3 參數辨識結果Table 3 Results of parameter identification

表4 τ1和τ2辨識結果Table 4 Identification results of τ1， τ2

3 擴展卡爾曼濾波

3.1 卡爾曼濾波步驟

根據建立的二階Thevenin 等效電路和公式（1），可以列出模型的狀態空間方程：

其中x為系統的狀態變量，A為狀態矩陣，B為輸入矩陣，u表示系統的輸入，w為系統的過程噪聲，且有P(w)～(0，Q)；z為系統的測量結果，H為觀測矩陣，v為測量噪聲，且P(v)～(0，R)。根據狀態空間方程，使用卡爾曼濾波可對系統的狀態（k時刻的狀態變量）進行估計。具體步驟如下：

卡爾曼濾波先是忽略了系統的過程噪聲，通過前一時刻的狀態xk-1和輸入uk-1計算得到一個先驗估計值；然后通過分析過程噪聲的協方差矩陣Q和觀測噪聲的協方差矩陣R，判斷先驗估計值和觀測值zk哪一個值更值得信任。因此卡爾曼增益Kk的范圍應該在［0，1］之內，當Kk=0時，則完全信任先驗估計值；當Kk=1 時，則完全信任觀測值zk.卡爾曼濾波的流程如圖5 所示。

圖5 卡爾曼濾波流程Fig.5 Flow chart of Kalman filter

3.2 系統狀態空間方程

公式（1）給出了二階Thevenin 模型的電路方程。將電流I定為輸入，將端電壓Ut定為觀測量，并選取x=[SoCU1U2]T為系統的狀態變量，其中SoC 為待估算的量，列出狀態方程和輸出方程：

SoC的變化可以表示為

其中SoC(t)表示t時刻的SoC 值；SoC(to)表示初始時刻的SoC 值，通常由初始條件給出；η表示庫倫效率，I(t)表示瞬時充放電電流，以充電為正電流，放電為負電流；Cn表示電池的額定容量。

公式（2）表明OCV與SoC為非線性關系，因此需要將狀態空間方程進行泰勒展開處理后再運用經典卡爾曼方法進行估算。對方程進行離散化處理，得到離散后的狀態方程為

為系統的狀態矩陣；

為系統的控制矩陣；ik為k時刻的電流，是系統的輸入，規定放電為負，充電為正；wk為系統的過程噪聲，且P(wk)～(0，Q)，即wk的期望為0，協方差矩陣為Q。將前面參數識別得到的參數值代入就可以確定具體時刻的A，B矩陣的值。

同理，可以得到離散化后的系統的觀測方程：

公式（11）和（12）即為二階Thevenin 等效電路分析模型離散化后的狀態空間方程。將不同SoC 處的參數OCV，R0，R1，R2，C1，C2代入，便可以確定各個矩陣的值。變參數二階Thevenin 模型與擴展卡爾曼濾波相結合的SoC 估算系統，如圖6所示。

圖6 變參數二階Thevenin模型的EKF估算系統Fig.6 Variable parameter second-order Thevenin model EKF estimation system

4 仿真結果分析

通過對SoC 初值及輸入電流進行設定，可以使安時積分法具有極高的準確性。因此，以安時積分法計算得到的電池SoC 值為標準值，驗證仿真結果的準確性。結果如圖7所示。

圖7 安時積分法仿真Fig.7 Simulation of Ampere-hour integration method

4.1 恒流放電工況的仿真結果

取20、60 、100 A 的放電數據為模型的輸入，得到的EKF 估計值如圖8 所示。定義誤差=SoCEKF值- SoC標準值，則20、60、100 A 恒流放電工況的仿真誤差如圖9所示。

圖8 20、60和100 A放電仿真結果Fig.8 Simulation results of discharge at 20 , 60 and 100 A

圖9 恒流放電工況的仿真誤差Fig.9 Simulation error under constant current discharge condition

通過仿真對比結果圖和誤差圖可以看出，EKF得到的SoC 估算值與標準值相比，最大誤差不超過1.5%SoC，是一個高精度的估算結果。在SoC≤20%時，誤差有稍微變大。但對于恒流放電工況而言，EKF 估算值在整個放電過程都能與標準值高度一致，驗證了模型的準確性。

4.2 循環放電工況的仿真結果

為了進一步驗證模型的準確性，根據GB/T 31484-2015 中的電動商用車用能量型蓄電池循環放電工況試驗對模型進行測試。實驗步驟和電流示意圖如表5和圖10所示。

圖10 循環放電工況電流示意圖Fig.10 The current in the cycle discharge condition

表5 蓄電池循環放電工況Table 5 Cycle discharge condition of energy storage battery

實驗過程中讓鋰離子電池循環進行主放電工況測試，每一個循環SoC 的變化為-0.572%，故而循環次數為= 174.8 次。同樣，將放電工況的電流數據輸入到EKF 估算系統和安時積分法估算系統中，仿真結果和誤差如圖11-12所示。

圖11 循環放電工況的仿真結果Fig.11 Simulation results of cyclic discharge condition

圖12 循環放電工況的估算誤差Fig.12 Estimation error of cyclic discharge condition

從圖11-12 可知，SoC ＞20%時，EKF 估算得到的仿真值與標準值是非常接近的，誤差基本保持在1%以內。但當SoC≤20%時，仿真值開始偏離標準值，在放電末期的誤差超過了2%且

（1）通過HPPC 實驗進行參數識別時，每隔10%SoC 會進行一次脈沖實驗。在SoC ＞20%時，電池采用的放電脈沖是200 A；在SoC≤20%時，由于電池規格書的說明，最大放電脈沖電流只能取100 A，脈沖電流小，模型參數的識別誤差變大，導致模型精度有所下降。

（2）通過電池的放電曲線可以看出，在SoC≤20%時，電池的端電壓的變化非常劇烈，從放電平臺的3.2 V 左右迅速下降到截止電壓2.5 V。相應地，脈沖實驗的間隔應該縮小，以捕獲更多的模型特征參數。

為了再進一步分析誤差，將仿真過程中計算得到的電池端電壓與實際測量得到的端電壓進行對比，二者的誤差如圖13所示。

圖13 循環放電工況的端電壓誤差Fig.13 Simulation error of terminal voltage in cyclic discharge condition

可以發現，在SoC ＞20%的階段，端電壓的仿真誤差非常小（在±0.1 V 之間），說明模型極準確地模擬了端電壓的變化。當SoC≤20%時，電壓誤差開始增大，達到了0.2 V。對卡爾曼濾波而言，仿真電壓是一個先驗估計值，卡爾曼增益需要在仿真值與實測值之間進行權衡，由于模型在SoC≤20 時精度不夠，影響了仿真值的精度，從而影響了SoC的計算。

5 結 論

本文基于二階Thevenin 電路模型，建立了鋰離子電池的分析模型，并通過HPPC 測試對不同SoC 處的模型參數OCV，R0，R1，R2，C1，C2進行了識別。基于MATLAB/Simulink 平臺，搭建了變參數二階Thevenin 模型與擴展卡爾曼濾波相結合的SoC 估算系統，并對鋰離子電池恒流放電工況及電動商用車用能量型蓄電池主放電工況進行了仿真。仿真結果表明，變參數SoC 估算系統的估算誤差與理想狀態下的安時積分法計算的標準值相比，誤差不超過2.5%，說明模型能夠較好地模擬鋰離子電池的動靜態特性，為電池管理系統傳遞準確的狀態信息。