基于加速度信號(hào)分解和正則化的寬頻位移重構(gòu)方法*

陳信君， 呂中榮， 汪利

中山大學(xué)航空航天學(xué)院，廣東 深圳 518107

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)測(cè)量在地震分析（Boore et al.，2005；Hsieh et al.，2011；Tomita et al.，2015）、結(jié)構(gòu)振動(dòng)試驗(yàn)與控制（Ma et al.，2011）、動(dòng)力系統(tǒng)識(shí)別與結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)（Park et al.，2013；Park et al.，2015； Ma et al.，2023）、結(jié)構(gòu)損傷評(píng)估（楊達(dá)豪等，2021；譚穎軒等，2022）等工程領(lǐng)域有著廣泛的需求。而在動(dòng)力響應(yīng)中，動(dòng)力位移時(shí)程可以反映結(jié)構(gòu)的剛度和內(nèi)部受力特征，是描述結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性最重要的測(cè)量指標(biāo)之一。

雖然位移信息非常有用，但其在實(shí)踐中的測(cè)量往往較為困難（Xu et al.，2017）。一般而言，結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)可以通過(guò)以下兩種方式獲得：① 接觸式傳感器；② 非接觸式傳感器。線性可變差動(dòng)變壓器（LVDT）是最常用的接觸式設(shè)備之一，需要在結(jié)構(gòu)和固定參考點(diǎn)之間建立連接。對(duì)于大型結(jié)構(gòu)，比如大跨度橋梁、高層建筑等，參考點(diǎn)幾乎無(wú)法布置，導(dǎo)致常規(guī)LVDT無(wú)法直接測(cè)量位移信息。非接觸式方法包括激光多普勒振動(dòng)計(jì)、全站儀、GPS定位儀等，雖然位移測(cè)量方便，但可能存在精度較低問(wèn)題（Nassif et al.，2005），且成本較高。

與位移測(cè)量不同，加速度的測(cè)量無(wú)需參考點(diǎn)，常見(jiàn)的加速度計(jì)精度高、成本低，已被廣泛應(yīng)用于大型結(jié)構(gòu)振動(dòng)測(cè)量?；诟呔鹊募铀俣葴y(cè)量，目前已有研究和工程應(yīng)用考慮從加速度信息中重構(gòu)位移響應(yīng)（Sohn et al.，2011）。

理論上，可以通過(guò)對(duì)加速度信號(hào)進(jìn)行二重積分得到位移響應(yīng)。但是，直接積分對(duì)低頻噪聲十分敏感，導(dǎo)致出現(xiàn)低頻漂移現(xiàn)象（Bardella et al.，2003）。低頻漂移會(huì)引起嚴(yán)重的信息失真，大大降低位移重構(gòu)的精度。因此，如何解決加速度積分中的低頻漂移受到了研究人員的廣泛關(guān)注。到目前為止，已經(jīng)根據(jù)加速度信息，發(fā)展出了時(shí)域積分（Park et al.，2008；陳培永等，2011），數(shù)字濾波（李智勇，2009）和頻率領(lǐng)域集成（郝春冬等，2021）等位移重構(gòu)方法。

本文主要提出一種基于有限帶寬信號(hào)分解和正則化的寬頻位移重構(gòu)新方法。首先，在已有加速度積分中引入Tikhonov正則化（Lee et al.，2010），克服低頻漂移問(wèn)題。正則化方法適合于單一主頻（或窄頻）的位移重構(gòu)，難以處理實(shí)際工程測(cè)試中的寬頻加速度信號(hào)。為此，進(jìn)一步提出有限帶寬信號(hào)分解方法，將寬頻加速度信號(hào)分解為若干窄頻信號(hào)，然后，利用正則化方法對(duì)每個(gè)窄頻信號(hào)進(jìn)行高精度的位移重構(gòu)。最后，還將通過(guò)數(shù)值和實(shí)驗(yàn)算例驗(yàn)證方法的有效性。

1 基于加速度積分與正則化的位移重構(gòu)

根據(jù)加速度a(t)重構(gòu)位移響應(yīng)u(t)涉及如下微分邊值問(wèn)題

假設(shè)測(cè)量得到時(shí)間間隔為Δt的離散加速度信號(hào)，記ai，ui分別為ti=iΔt時(shí)刻的加速度和位移，其中i表示第i個(gè)時(shí)間步，對(duì)式（1）進(jìn)行二階差分，忽略高階誤差，可得

或者矩陣向量方程

其中

B表示N×(N+ 2)階線性代數(shù)矩陣。

由于B矩陣是非列滿秩的，通過(guò)式（3）從加速度得到位移是一個(gè)不適定的反問(wèn)題。

給定初始位移和速度條件，直接求解式（3）可得，位移是加速度的二重積分。但由于存在噪聲，即使初始條件是準(zhǔn)確的，直接積分所得結(jié)果仍然會(huì)發(fā)生“低頻漂移”，即隨著時(shí)間推移，位移誤差越來(lái)越大。記測(cè)量的加速度為aˉ(t)，真實(shí)加速度為a（t），可建立目標(biāo)函數(shù)使以下誤差平方函數(shù)ΠE取最小值

將其寫(xiě)成離散形式，并考慮式（3），可得

其中

是N階權(quán)量矩陣，||·||2表示向量的2范數(shù)。

為了克服不適定性，避免出現(xiàn)低頻漂移，采用Tikhonov 正則化方法，為上述最小化問(wèn)題增加一個(gè)罰函數(shù)項(xiàng)，可得

其中λ正則化因子，式（5）中的系數(shù)1/（2(Δt)3）因不影響結(jié)果而被省略。求解式（6）可得

其中I表示單位矩陣。以上求解中，正則化因子λ的取值對(duì)位移重構(gòu)的精度起著關(guān)鍵性的作用。如果λ趨近于0，正則化無(wú)法帶來(lái)穩(wěn)定效益；反之，如果λ的值很大，方程的解將趨近于0.

通常可以使用L曲線法和交叉驗(yàn)證法確定上述反問(wèn)題的最佳正則化因子，但它們的計(jì)算成本是十分巨大的?；趩巫杂啥茸杂烧駝?dòng)，Lee et al.（2010）提供了一個(gè)經(jīng)驗(yàn)選取法則，將正則化因子作為時(shí)間窗口[t1，tN]內(nèi)點(diǎn)數(shù)量的函數(shù)來(lái)確認(rèn)最優(yōu)正則化因子，即

此外，為了進(jìn)一步降低噪聲的影響，所取時(shí)間窗長(zhǎng)度tN-t1一般取主頻周期的3 倍（Lee et al.，2010）。為了減少邊界附近位移估計(jì)不準(zhǔn)確性的影響，使用重疊時(shí)間窗技術(shù)。重疊時(shí)間窗口以時(shí)間增量而非時(shí)間窗口大小為單位向前移動(dòng)，位移重構(gòu)在每個(gè)時(shí)間窗口中依次進(jìn)行，但每次只取該時(shí)間窗中心的重構(gòu)位移作為時(shí)間窗中點(diǎn)的解。重疊窗的計(jì)算示例見(jiàn)圖1，它針對(duì)每個(gè)點(diǎn)的位移重構(gòu)引入不同的時(shí)間窗。比如，假設(shè)時(shí)間窗長(zhǎng)度為N=2k+1，為了重構(gòu)tl時(shí)刻的位移，需要在時(shí)間窗[tl-k，tl+k]內(nèi)求解式（7），并取ul作為tl點(diǎn)的重構(gòu)位移解，而舍棄其他點(diǎn)的結(jié)果。

重疊時(shí)間窗和正則化方法確實(shí)能準(zhǔn)確重構(gòu)低頻主導(dǎo)的位移響應(yīng)。但實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)可能出現(xiàn)寬頻響應(yīng)，即其包含多階頻率信息，且多個(gè)頻率分布十分廣泛。此時(shí)，該方法難以得到滿意的位移恢復(fù)結(jié)果。接下來(lái)，將在已有方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出寬頻加速度信號(hào)的有限帶寬分解方法，解決寬頻位移重構(gòu)問(wèn)題。

2 面向?qū)掝l位移重構(gòu)的有限帶寬信號(hào)分解

基于加速度積分與正則化的位移重構(gòu)方法克服了低頻漂移現(xiàn)象，但其時(shí)間窗長(zhǎng)度的選取與結(jié)構(gòu)的主頻周期有關(guān)，理論上適用于處理低頻主導(dǎo)或窄頻加速度信號(hào)。對(duì)于寬頻加速度信號(hào)，這里擬引入有限帶寬信號(hào)分解，將寬頻加速度信號(hào)分解為若干窄頻信號(hào)，進(jìn)而使用已有方法對(duì)每個(gè)窄頻信號(hào)進(jìn)行高精度位移重構(gòu)，最終實(shí)現(xiàn)寬頻位移的準(zhǔn)確重構(gòu)。

寬頻信號(hào)加速度a(t)包含多個(gè)主頻峰值段，可按照頻率分布特征，分解為若干窄頻（或有限帶寬）的信號(hào)

其中a1(t)，a2(t)，…，am(t)為有限帶寬信號(hào)，它們的頻率被限制在不同的頻域范圍內(nèi)。具體而言，引入m- 1 個(gè)頻率分割點(diǎn)0 ＜σ1＜… ＜σm-1＜∞，將原始信號(hào)分解成m個(gè)有限帶寬信號(hào)，第一個(gè)信號(hào)a1(t) 為限定在頻域|ω| ≤σ1上的信號(hào)，第k個(gè)信號(hào)ak(t)限制在頻域σk-1＜|ω|≤σk，k=2，…，m- 1 上，第m個(gè)信號(hào)am(t)限制在頻域|ω|＞σm上。a1(t)，a2(t)，…，am(t)在頻域上的表現(xiàn)形式如圖2所示。

圖2 頻域上的有限帶寬信號(hào)分解示意圖Fig.2 Schematic diagram of finite bandwidth signal decomposition in frequency domain

如何快速實(shí)現(xiàn)有限帶寬信號(hào)分解是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。記a(ω)表示任意時(shí)域信號(hào)a(t)的頻域上的Fourier變換。此時(shí)，理論上有

其中T表示整個(gè)時(shí)間信號(hào)的長(zhǎng)度。式（10）的關(guān)鍵在于計(jì)算卷積

其離散表達(dá)為

式（11）為循環(huán)卷積式，直接根據(jù)該式進(jìn)行計(jì)算效率不高。這里使用一種快速的循環(huán)卷積算法，能極大地提高計(jì)算效率。

循環(huán)卷積算法（Brandt，2019）基于Fourier 變換和卷積原理，通過(guò)對(duì)每個(gè)序列進(jìn)行快速Fourier變換、逐點(diǎn)相乘，然后執(zhí)行逆Fourier 變換，從而得到兩個(gè)有限長(zhǎng)度序列的循環(huán)卷積。該方法能將計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度從O()降低到O(NTlogNT)，具體計(jì)算公式如下

其中

均為長(zhǎng)度為2NT的向量，F(xiàn)FT和IFFT分別表示快速Fourier變換和逆變換算法，x的前NT項(xiàng)表示為

結(jié)合循環(huán)卷積算法和有限帶寬信號(hào)分解式（10），可快速得到分解后的有限帶寬信號(hào)ak(t)，k= 1，2，…，m.由于每個(gè)信號(hào)ak(t)為窄頻或只有單個(gè)主頻率，可應(yīng)用第1節(jié)的正則化方法準(zhǔn)確重構(gòu)得到相應(yīng)位移響應(yīng)uk(t)，最后，根據(jù)信號(hào)疊加原則，可得重構(gòu)的寬頻位移響應(yīng)為

綜上所述，本文所提寬頻位移重構(gòu)的具體流程如圖3所示。

圖3 寬頻位移重構(gòu)方法分析流程Fig.3 Analysis flow of broadband displacement reconstruction method

3 數(shù)值算例

3.1 加速度信號(hào)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出方法的可行性，構(gòu)造一個(gè)具有兩個(gè)頻率分量的位移信號(hào)，兩個(gè)頻率成分分別為和，即

對(duì)上述信號(hào)進(jìn)行二次微分，即得到加速度信號(hào)。對(duì)加速度信號(hào)按200 Hz 頻率采樣，可得到加速度數(shù)據(jù)。為了盡可能真實(shí)地模擬實(shí)測(cè)的加速度信號(hào)，對(duì)模擬信號(hào)施加高斯白噪聲

其中a?(t)，a(t)分別表示施加噪聲和未施加噪聲的加速度信號(hào)，nr表示噪聲水平，?為滿足標(biāo)準(zhǔn)高斯分布的隨機(jī)數(shù)，σa為原始信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差。

將執(zhí)行兩種不同的位移重構(gòu)方案并將位移重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比：方案一使用基于加速度積分與正則化的位移重構(gòu)方法（見(jiàn)第1節(jié)），方案二則使用本文提出的基于有限帶寬信號(hào)分解的位移重構(gòu)新方法（見(jiàn)第2節(jié)）。

首先，分別考慮無(wú)噪聲和nr=10%高斯噪聲的情形，位移重構(gòu)結(jié)果如圖4 和圖5 所示。可以看出，方案一給出的位移重構(gòu)結(jié)果在一定程度上也能接近真實(shí)位移，但方案二的位移重構(gòu)誤差明顯更小。尤其在信號(hào)兩端，方案一存在較大的擾動(dòng)，而方案二仍能給出準(zhǔn)確的位移重構(gòu)結(jié)果。其次，為了量化兩種方法的精度，引入重構(gòu)位移與準(zhǔn)確位移的相對(duì)誤差RE和互相關(guān)系數(shù)COR分別為

圖4 無(wú)噪聲時(shí)兩種位移重構(gòu)方案的結(jié)果圖Fig.4 Estimated displacement by scheme I and scheme Ⅱ for acceleration signal without noise

圖5 nr = 10%的噪聲下兩種位移重構(gòu)方案的結(jié)果圖Fig.5 Estimated displacement by scheme I and scheme Ⅱfor acceleration signal with nr = 10% noise

其中uE表示離散時(shí)間點(diǎn)上的重構(gòu)位移，uR為真實(shí)位移。顯然，RE 越小，COR 越接近1，位移重構(gòu)精度越高。根據(jù)式（15），可以定量計(jì)算方案一和方案二的相對(duì)誤差和互相關(guān)系數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表1。結(jié)果指出，方案二的相對(duì)誤差小于方案一相對(duì)誤差的一半，且互相關(guān)系數(shù)也越接近1。顯然，有限帶寬信號(hào)分解確實(shí)能夠顯著提高寬頻位移重構(gòu)的精度。

表1 不同噪聲下兩種位移重構(gòu)方案的誤差Table 1 Errors of scheme I and scheme Ⅱunder different noises

上述結(jié)果驗(yàn)證了基于有限帶寬信號(hào)分解的位移重構(gòu)方法能準(zhǔn)確重構(gòu)寬頻位移，但該結(jié)構(gòu)頻率分布較為稀疏。為了進(jìn)一步討論中高阻尼、近頻下該方法的有效性，考慮重構(gòu)如下位移信號(hào)

其阻尼比接近10%，加速度數(shù)據(jù)通過(guò)位移微分和施加5%噪聲得到。位移重構(gòu)過(guò)程中，該信號(hào)的近頻成分0.98 rad/s 和1 rad/s 限制在一個(gè)頻域范圍，頻率成分rad/s 限制在另一個(gè)頻域范圍，通過(guò)分割頻率σ1= 1.8 rad/s將信號(hào)分解成兩個(gè)有限帶寬信號(hào)。基于有限帶寬信號(hào)分解的位移重構(gòu)效果如圖6所示，可以看到，得到的位移與真實(shí)位移十分吻合，且識(shí)別誤差RE = 0.143 4，COR =0.989 8.顯然，本文方法也適用于中高阻尼和近頻信號(hào)。

圖6 中高阻尼和近頻下的位移重構(gòu)結(jié)果圖Fig.6 Estimated displacement at medium and high damping and near frequency

3.2 剪切層模型驗(yàn)證

考慮一個(gè)10 層剪切層模型（Wang et al.，2020），所有樓層具有相同的質(zhì)量和剛度參數(shù)

阻尼假設(shè)為瑞利阻尼

其中α= 0.046 3 s-1，β= 1.625 × 10-3s，M，K分別為質(zhì)量和剛度矩陣。在第一層施加隨機(jī)荷載p(t)，其功率譜Sff(ω)為

并按照如下形式生成

其中?j表示［0，2π］均勻分布的隨機(jī)數(shù)。結(jié)構(gòu)初始處于靜止?fàn)顟B(tài)，根據(jù)Newmark 法，可以計(jì)算其位移和加速度響應(yīng)，其中，第1層的加速度頻譜見(jiàn)圖7。將第1 層的加速度仿真數(shù)據(jù)（采樣頻率為200 Hz，采樣時(shí)長(zhǎng)為50 s）用作位移重構(gòu)，而第1 層的位移仿真數(shù)據(jù)作為真實(shí)位移，用于驗(yàn)證位移重構(gòu)精度。同樣，也考慮3.1 節(jié)中的兩種位移重構(gòu)方案，其結(jié)果見(jiàn)圖8。

圖7 剪切模型第1層加速度信號(hào)頻譜圖Fig.7 Spectrum diagram of the acceleration for the first layer of shear model

圖8 不同方案的第1層位移重構(gòu)結(jié)果Fig.8 Estimated displacement by scheme I and scheme Ⅱ for the first layer of shear model

可以看出，方案二比方案一的重構(gòu)位移更接近真實(shí)位移。此外，還計(jì)算了兩種方案的位移重構(gòu)的RE 和COR，結(jié)果見(jiàn)表2。盡管兩種方案的位移重構(gòu)精度均較高，方案二的相對(duì)誤差不到方案一的1/10。因此，有限帶寬信號(hào)分解確實(shí)能提高如圖5 具有多個(gè)主頻峰值（或?qū)掝l）信號(hào)的位移重構(gòu)精度。

表2 剪切層模型兩種位移重構(gòu)方案的誤差Table 2 Errors of scheme I and scheme Ⅱ for shear model

4 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的實(shí)用性，設(shè)計(jì)了一個(gè)4 層框架實(shí)驗(yàn)。該4 層框架由鋼制成，柱與樓板之間通過(guò)焊接連接。4 個(gè)加速度傳感器分別裝在4 層框架的每1 層以測(cè)量加速度數(shù)據(jù)，一個(gè)位移傳感器用以獲得第4層框架的位移數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)布置如圖9所示。

圖9 4層框架實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.9 Diagram of experimental setup of four-layer frame

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中采用晶明動(dòng)態(tài)信號(hào)測(cè)試系統(tǒng)對(duì)4 層框架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)信息進(jìn)行采集，通過(guò)使用橡膠錘錘擊第4 層框架來(lái)產(chǎn)生一次性的沖擊激勵(lì)，采集系統(tǒng)自動(dòng)記錄過(guò)程中的加速度與位移信息，采樣頻率為200 Hz，采樣時(shí)長(zhǎng)約為127 s.

考慮使用第4層的加速度數(shù)據(jù)重構(gòu)位移，并與位移計(jì)的測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)比。第4層的加速度頻域特征如圖10所示，具有多個(gè)主頻峰值，屬于寬頻信號(hào)。采用本文提出的有限帶寬位移重構(gòu)方法（即3.1節(jié)的方案二），可得到如圖11 的位移重構(gòu)結(jié)果。顯然，重構(gòu)位移與位移計(jì)的測(cè)量結(jié)果十分吻合，表明本文所提方法確實(shí)能用于實(shí)際結(jié)構(gòu)的寬頻位移重構(gòu)。

圖10 框架結(jié)構(gòu)第4層加速度信號(hào)頻譜圖Fig.10 Spectrum diagram of the acceleration signal in the fourth layer of the frame

圖11 框架結(jié)構(gòu)第4層位移重構(gòu)結(jié)果Fig.11 Displacement reconstruction results of the fourth layer of the frame

5 結(jié) 論

基于加速度積分和正則化的位移重構(gòu)方法很好地克服“低頻漂移”現(xiàn)象，但難以處理寬頻信號(hào)。本文通過(guò)進(jìn)一步引入有限帶寬信號(hào)分解，提出了一種新的時(shí)域?qū)掝l位移重構(gòu)方法。數(shù)值和實(shí)驗(yàn)算例研究表明，該方法確實(shí)能夠從寬頻加速度信號(hào)中準(zhǔn)確重構(gòu)結(jié)構(gòu)的位移信息。