一類新的正規(guī)矩陣及其相關的分解問題

田詠梅

(鄭州商學院 通識教育中心,河南 鄭州 451200)

近年來,矩陣的理論和方法應用于數(shù)值模擬、動態(tài)仿真、算法設計、圖像識別、信息編碼、人工智能、算法實現(xiàn)等領域[1-3].一些學者對Hermite矩陣,一些正規(guī)矩陣的理論和方法進行了較為深入的研究[4-9].矩陣的奇異值分解是一種非常重要的矩陣分解形式,矩陣的這種分解在信號處理、最小二乘問題、廣義逆矩陣等諸多領域有廣泛的應用[10-12].受文獻[4]及Hermite矩陣的啟發(fā),發(fā)現(xiàn)適于條件A*=kA2(0≠k=a+bi∈C)的矩陣是一類新的正規(guī)矩陣,得到了這種矩陣A,以及兩個適于上述條件的矩陣A與B的張量積的奇異值分解式,給出了n維復空間Cn關于這種矩陣A的核與-A的值域的分解,還提供了一個相關的收斂的矩陣函數(shù)序列.

1 基本結果

(1)A為正規(guī)矩陣;

(2)存在n階酉矩陣M,N,使得

證明 (1)依條件A*=kA2(0≠k=a+bi∈C),有

A*A=(kA2)A=A(kA2)=AA*

所以A為正規(guī)矩陣.從而A酉相似于一個對角矩陣即可以對角化.

(2)設λ∈C為矩陣A的一個特征值,則存在非零向量x∈Cn,使得

Ax=λx.

(1)

|λ|2=0?λ=0.

具體計算后可知,上面集合中,無論α∈[0,2π],s=0,1,2取何值,

矩陣A的奇異值分解式又可以寫成如下的緊湊形式:

這種矩陣奇異值分解的緊湊形式,在線性多變量控制系統(tǒng)中有重要應用.

下面討論借由定理1的特殊情形,即滿足條件A*=-A2的矩陣A,給出復空間Cn的一個分解.

推論1設矩陣A∈Cn×n,A*=-A2,且σ(A)={0,-1},則

Cn=KerA⊕R(-A),Ker(A)=R(-A)⊥,

這里,Ker(A)表示矩陣A的核,R(-A)表示矩陣-A的值域.

證明 由條件A*=-A2及定理1知,A為正規(guī)矩陣,且適合本推論條件的矩陣A的特征值是0,-1為實數(shù),故其為Hermite矩陣,即A*=A.于是,存在n階酉矩陣U,使得

下面設x∈Cn,則x=u1+u2,其中u1=(I+A)x∈KerA,u2=-Ax∈R(-A).這表明

Cn=Ker(A)+R(-A).

再設u∈Ker(A)∩R(-A),所以Au=0,還有u∈R(-A)=Ker(I+A),由此得出

(I+A)u=u+Au=u=0.

所以,Cn=Ker(A)⊕R(-A)為直和.進一步地,還有Ker(A)=R(-A)⊥.

事實上,對于?x∈Ker(A),y∈R(-A),因為A*=A,有

〈x,y〉=〈x,-At〉=(-At)*x=-t*A*x=-t*Ax=-t*0=0.

這里t為Cn中某一合適的向量[13].由此可以進一步地推知,任意n維酉空間W均與KerA⊕R(-A)同構.

在下面的討論中,我們約定,Ti表示矩陣T的第i列,復數(shù)p,q的幅角分別為α,β.

定理2設A,B∈Cn×n,A*=pA2,B*=qB2,p=a+bi,q=c+di∈C,pq≠0,則

其中S,R都是n2階的酉矩陣.

證明 因為(A?B)*=(pA2?qB2)=pq(A2?B2)=pq(A?B)2,依定理1的討論可得,

設矩陣A,B分別有特征值λ1,λ2,…,λn與μ1,μ2,…,μn.所以,A?B有特征值λiμj,i,j=1,2,…,n.由定理1,A,B均為正規(guī)矩陣,于是分別存在n階酉矩陣U,V,使得

A=Udiag[λ1,λ2,…,λn]U*,B=Vdiag[μ1,μ2,…,μn]V*,

其中矩陣U的第i列Ui是矩陣A的屬于特征值λi的特征向量,V的列的情形類似.于是A?B有相似分解式

A?B=(U?V)(diag[λ1,λ2,…,λn]?diag[μ1,μ2,…,μn])(U?V)*

A?B的特征值λiμj的特征向量為Ui?Vj,i,j=1,2,…,n,且(U?V)*(U?V)=In2.

由定理1的(1)知,(A?B)*=pq(A?B)2,A?B是n2階正規(guī)矩陣,再由正規(guī)矩陣A?B的特征值的模就是A?B的奇異值的結論,存在n2階的酉矩陣S,R,使得

這就是矩陣A?B的奇異值分解式.

在下面的例子中,我們記u1(x)=x,u2(x)=ln(1+x),u3(x)=ln[1+ln(1+x)],…,un(x)=

ln[1+un-1(x)],…,x>0.

例1 設A*=kA2(0≠k=a+bi∈C),則矩陣函數(shù)序列u1(A*A),u2(A*A),…,un(A*A),…

收斂于零矩陣.

x>ln(1+x)>ln[1+ln(1+x)]>…>ln(1+un-1)>…>0.

此數(shù)列單調(diào)遞減且有下界,故由極限存在準則,在n→∞時,該數(shù)列存在極限,設為α,有

由定理1,將上述結論應用于滿足本例條件的矩陣A,關于A*A,存在酉矩陣P,使得

2 結 語

本文探究了一類滿足條件A*=kA2(0≠k=a+bi∈C)的矩陣,證明了其可以對角化,得到了它的奇異值分解形式,還研究了一些與其相關的矩陣的分解問題.線性代數(shù)被應用于隱身飛機設計,手機電磁輻射評估,智能機器研制,數(shù)字圖像處理等領域.本文研究的矩陣,未來也可能會找到它的應用.我們將繼續(xù)這種研究,還會給出一些新的結果.