基于無跡變換法的電力系統小擾動穩定概率分析

陳將宏，徐彬，何長民

（三峽大學電氣與新能源學院，湖北 宜昌 443002）

0 引言

在電力系統中，小擾動穩定是一項重要指標，它能夠體現電力系統在經受小擾動后能否繼續同步運轉。常規小擾動穩定分析以系統在某一確定運行點處的線性化模型和特征值分析法為基礎，屬于確定性分析范疇［1-3］。但在實際電力系統中，大多數系統輸入變量具有隨機性，而部分變量具有相關性。常規的確定性分析難以把系統小擾動穩定進行全面的分析。因此，需要針對不確定因素進行概率性分析，得到小干擾穩定評估指標。

將概率方法引入電力系統穩定性分析是Burchett 在1977 年提出的［4］，小擾動穩定概率分析的重點是根據輸入隨機參數的分布，確定系統振蕩模式的分布特征，進而計算出如下數據：隨機輸出變量（如特征值均值、標準差），用于確保電力系統對小擾動的穩定性。目前，小擾動穩定分析方法有：蒙特卡羅法［5］、點估計法［6-7］、隨機響應面法［8-9］等。其中，蒙特卡羅法計算量大、所需時間長，主要運用于算法檢驗，在本文中用于與提出的無跡變換法作對比。點估計法是通過已知輸入變量樣本估計整體的方法。隨機響應面法適用范圍較窄，需要先將非正態分布輸入變量進行轉化，使其服從標準正態分布再進行分析。

無跡變換法［10］是英國學者Julier 提出的，用于解決非線性變換問題，該方法只需已知樣本的均值及協方差，即可有效處理隨機變量。根據現有文獻，該方法已應用于解決概率潮流及概率最優潮流［11-16］、電壓穩定［17］等方面的問題，且得到優良的效果，但在小擾動穩定方面的研究較為缺乏。基于無跡變換法的適用條件較廣泛、精度較高的特點，可以得出該方法在小擾動穩定的概率分析中適應性較強的結果。

針對現有研究的不足，本文提出一種基于無跡變換法的電力系統小擾動穩定概率分析方法。首先根據各負荷節點注入有功功率的均值及協方差，采樣得到Sigma樣本點，再通過仿真篩選出系統振蕩模式的特征值。最后，根據各個Sigma 采樣點的不同權重大小，得到系統振蕩模式特征值的均值和標準差，結合小擾動穩定評估指標對小擾動穩定進行分析。

1 隨機因素的概率模型

通過非線性方程組刻畫的電力系統為：

式中：t為時間；x為狀態變量，表征系統中元件的動態特性；z為代數變量；p為參數變量，如有功功率的注入等。

在平衡點（x0，z0）將方程組（1）進行線性化得到：

消去代數變量得到：

式中：A為系統狀態矩陣；依據李雅普諾夫第一法［18］，系統在經受小擾動后穩定的條件是：A中特征值實部不為零或者是正數。

本文考慮的是負荷水平的隨機性，而由于實際系統的檢測誤差，負荷有功功率參數預測有偏差。文獻［6，19］考慮有功負荷服從正態分布，分別通過點估計和概率分配法，對電力系統小擾動穩定進行概率分析，驗證了該方法的準確性和有效性。文獻［20］將安全域方法應用于含風電的電力系統小擾動穩定的概率分析，計及了有功負荷服從正態分布，結果表明所提方法能有效減少小擾動穩定概率分析的計算負擔。

因此有功負荷在仿真計算中作為隨機變量，近似認為服從正態分布，則可以得到負荷概率密度函數為：

式中：Pd為負荷有功功率；μ為負荷期望；σ為標準差。

2 基于無跡變換法的小擾動穩定概率分析

2.1 無跡變換法的基本思路

已知輸入變量x在計算后得到均值μx及協方差Cxx，按照特定的采樣規則選擇一組Sigma 樣本點。然后對每個樣本點進行非線性變換得到y，最后對求得的小擾動穩定指標集{yi}加權，計算出輸出變量y的均值μy和協方差Cyy。基本原理如圖1所示。

圖1 無跡變換基本原理Fig.1 Basic principle of unscented transformation

無跡變換法的求解步驟如下。

1）若x為k維變量，則均值μx為k維列向量，協方差Cxx為k階方陣。使用特定的采樣策略所得到的輸入變量的Sigma樣本點集為：

式中：χi為Sigma樣本點集；N為樣本點數量。

2）對所有Sigma 樣本點集{χi}的每種采樣狀態，進行非線性變換fUT(·)，得到{yi}。

3）根據權重分配，非線性變換后得到的點集{yi}，在加權計算后得到輸出變量y的均值和協方差分別為：

2.2 無跡變換法的采樣策略

無跡變換法的采樣策略在整個算法中十分關鍵，各種采樣策略的使用會取得不同輸出樣本點集的數量和權重，適當的采樣策略可以有效地提高計算效率和精度。現有文獻提到的樣本點采樣策略有：對稱采樣、最小偏度單形采樣、超球體單形采樣等。相比之下，對稱采樣的樣本點分布均勻，在小擾動穩定概率分析中性能和精度較好，因此采用對稱采樣。此外，本文需要求解的是特征根的均值和協方差等參數，要求采樣后能全面涵蓋樣本集的效果明顯，采用的是低階采樣策略。

本文根據文獻［10］引入比例信息參數α以及高階信息參數β，經過上述的采樣，可以得到的樣本點{χi}為：

式中：α為比例參數；W0為均值處Sigma 點的權重系數；Cxx(i)為矩陣中k維向量的第i個元素。

由式（10）可以看出，2k+1 個Sigma 樣本點的權重系數滿足只要改變W0的值，就能改變各Sigma采樣點到均值點的間距。

式中：β為高階信息參數；若沒有根據文獻引入高階信息參數β，則

2.3 基于無跡變換法的小擾動穩定概率分析步驟

本文使用無跡變換法分析電力系統小擾動穩定，振蕩模式的特征值表示為電力系統中隨機輸入變量x的函數，其中x為系統中各負荷節點的注入有功功率。則基于無跡變換法的小擾動穩定概率分析的步驟如圖2所示。

圖2 基于無跡變換法的小擾動穩定概率分析步驟Fig.2 Steps of probability analysis of small disturbance stability based on unscented transformation method

可以看出通過較少的計算可得到待求特征值的均值、標準差等統計信息。相較于蒙特卡羅等算法，計算量和仿真時間上有顯著減少。

3 基于無跡變換法的小擾動穩定仿真

3.1 節點有功負荷的抽取

根據上述模型中有功負荷服從正態分布，可以設某一結點j的注入有功功率Pj服從均值μj及標準差σj的正態分布。采用文獻［21］近似逆變換法，在［0，1］之間生成均勻分布的隨機數序列R，通過計算得出標準正態分布隨機變量Xj。具體步驟如下。

1）正態密度分布曲線下的面積Q(m)，其對應的m可由式（13）計算得到。

其中Q可由式（16）得到。

2）標準正態分布隨機數X表示為：

因此，某一節點j的注入有功功率Pj表示為：

式中Xj為標準正態分布隨機變量。

考慮其他元件參數也可以使其服從正態分布，采用式（18）進行計算。

3.2 小擾動穩定評估指標

系統狀態矩陣中，特征值λi對應第i個模式，則在小擾動穩定性分析中，各個模式由不同的特征值決定。對于實數特征值，一個負實數特征值表示系統穩定，而正實數表示非周期性不穩定。其中負實數特征值體現的是振蕩模式的衰減速度，絕對值越大，說明速度越快［22-23］。

對于復數特征值，一對復數特征值是一對共扼值，代表了一個振蕩模式。特征值的實部對系統振蕩的阻尼比影響較大，虛部能計算出系統的振蕩頻率。

式中：λ為一對復數共軛特征值；ω為振蕩的角頻率；η為特征值實部，η＞0 表示增幅振蕩，η＜0表示衰減振蕩；f為振蕩頻率；ξ為阻尼比，當0 ＜ξ＜0.03 時，對應弱阻尼振蕩模式，當ξ＞0.03時，系統小擾動穩定且具有較好的阻尼特性。因此，由計算可以得出以下小擾動穩定評估指標。

1）系統特征值的均值、標準差等。可根據詳細問題，例如本文考慮的是遭受微小擾動后的穩定性，則選取部分特征值（如低頻振蕩模式特征值等）的數字特征。

2）其他派生指標。由系統特征值可計算阻尼比均值的系統特征參數。

4 算例分析

本文采用美國西部聯合電力系統IEEE 3 機9 節點的系統作為分析算例，利用MATLAB中PSAT軟件進行小擾動穩定性的概率分析。系統接線圖如圖3所示。

圖3 3機9節點系統接線圖Fig.3 Diagram of a 3-generator 9-bus system

從圖3中可以看出，該系統包含3臺發電機、9個節點和3 個負荷節點。其中，3 臺同步發電機使用的模型都是經典四階模型，發電機G1 設為平衡節點，G2 和G3 的發電機為PV 節點。設基準容量100 MVA，頻率為60 Hz。在PSAT［24-25］中進行所有仿真。

4.1 無跡變換法的計算精度

本文考慮的隨機變量分別是母線5、6、8 上的有功負荷P5、P6和P8。計及負荷功率波動時，設P5、P6和P8相互獨立。假設IEEE 3 機9 節點標準算例中各負荷節點的注入有功功率參數作為均值，10% 的均值作為標準差，即P5～N(1，0.12)，P6～N(0.9，0.092)，P8～N(1.25，0.1252)。

本文參照文獻［8］設定采樣的權重W0=0.5，比例信息參數α=0.2、高階信息參數β=0.8。為測試本文方法的有效性，采用蒙特卡羅模擬法，通過2 000次仿真，對所得結果進行比較驗證［26］。計算得到的特征值均值和標準差，分別定義其相對誤差為：

式中：εμ、εσ分別為特征值均值和標準差的相對誤差；μUT、σUT分別為無跡變換方法得到的均值和標準差；μMC、σMC分別為蒙特卡羅模擬方法得到的均值和標準差。

4.2 算例1：考慮兩個隨機變量

針對母線5、8上的有功負荷P5、P8，采用無跡變換法和蒙特卡羅模擬法計算得到結果，并進行對比分析。根據MATLAB 仿真可知，共有3 個振蕩模式，表1 給出了兩種算法分析得到的特征值均值及相對誤差，表2 為兩種算法分析得到的特征值標準差及相對誤差。

表1 考慮兩個變量的特征值均值及相對誤差Tab.1 Mean eigenvalues and relative errors of considering two variables

表2 考慮兩個變量的特征值標準差及相對誤差Tab.2 Standard deviation and relative error of the eigenvalues of considering two variables

由表1—2 可以看出，與蒙特卡羅模擬法相比較，采用無跡變換法得到的特征值均值及標準差的最大相對誤差小于3%，可滿足工程應用需要。

4.3 算例2：考慮3個隨機變量

針對母線5、6、8 上的有功負荷P5、P6和P8，采用無跡變換法和蒙特卡羅模擬法計算得到結果，并進行對比分析。表3 給出了兩種算法分析得到的特征值均值及相對誤差，表4 為兩種算法分析得到的特征值標準差及相對誤差。圖4 給出了表中結果相對應的圖形對比。

表3 考慮3個變量的特征值均值及相對誤差Tab.3 Mean eigenvalues and relative errors of considering three variables

表4 考慮3個變量的特征值標準差及相對誤差Tab.4 Standard deviation and relative error of the eigenvalues of considering three variables

圖4 算例1、2均值及標準差的相對誤差Fig.4 Relative errors of mean and standard deviation of examples 1 and 2

從圖4 可以看出，隨著隨機輸入變量數量的增加，均值及標準差的相對誤差也不斷提高，證明了變量的增加對算法的結果有一定的影響。但采用無跡變換算法得到的特征值后，兩種算法均值的相對誤差小于1.2%，標準差相對誤差小于3%，計算精度較好。

由小擾動評估指標可以計算出各個模式的阻尼比均值，圖5 給出了兩種算法計算得到的阻尼比均值對比。分析圖5 可以得出，兩種算法得到的阻尼比均值相差很小，證明了無跡變換法在小擾動穩定概率分析時計算精度較好。對于振蕩模式1，阻尼比均值為0.343 69，最相關機組為G1；對于振蕩模式2，阻尼比均值為0.510 52，最相關機組為G1和G2；對于振蕩模式3，阻尼比均值為0.650 22，最相關機組為G3。阻尼比均值越大，說明該振蕩模式衰減越強、穩定性越強。根據小擾動穩定指標中ξ的取值，ξ均大于0.03，說明該系統具備良好的阻尼特性。

圖5 兩種算法阻尼比均值對比Fig.5 Mean damping ratios comparison of the two algorithms

表5 分別給出了兩個算例采用無跡變換法和蒙特卡洛法的仿真時間。從表5 可以看出2 000 次蒙特卡羅模擬法所用時間遠超無跡變換法，這是因為在刻畫電力系統中考慮k個變量，只需2k+1 次小擾動穩定分析，即可得到系統振蕩模式特征值的均值和標準差。所以運行速度和效率遠高于蒙特卡羅法，因此無跡變換法更有效地實現了電力系統小擾動穩定的概率分析。

表5 兩種算法的仿真時間對比Tab.5 Simulation time comparison of the two algorithms

4.4 New England 39節點系統算例

新英格蘭系統包括10 臺發電機、39 個節點、12 個變壓器和34 條線路，代表美國新英格蘭州的一個345 kV 電力網絡。10 機39 節點系統的電氣接線圖如圖6所示。

圖6 New England 39節點系統Fig.6 New England 10-generator 39-bus system

基于MATLAB中的PSAT軟件仿真計算，建立New England 10機39節點模型，進行小擾動穩定分析。系統基準容量為100 MVA，基準電壓為345 kV。圖7 給出了該系統z域小擾動穩定性的特征值分析結果。

圖7 系統z域的小擾動穩定性特征值分析Fig.7 Eigenvalue analysis of small distribution stability in z domain of system

從圖7 中可以看出，在z域分析中，所有的特征值都不在單位圓外，說明所有模式對系統的小擾動穩定性不產生影響，因此New England10機 39節點系統能夠保持小擾動穩定。

分別使用無跡變換法和兩點估計法［27］對該系統進行小擾動穩定概率分析。為考慮整個電網的小擾動穩定性，本文考慮的隨機變量分別是母線20、25、29 和39 上的有功負荷P20、P25、P29和P39。表6給出了低頻振蕩模式的特征值統計數據。

表6 特征值統計數據Tab.6 Statistics of eigenvalues

對表6 分析可得，無跡變換法與兩點估計法結果相差很小，證明無跡變換法計算結果準確可靠。從表6可以看出，振蕩模式1和2的阻尼比均值遠遠大于0.03，說明小擾動穩定性較強。而振蕩模式3、4和5的阻尼比均值都較小，小擾動穩定性較弱。

其中，振蕩模式5 的阻尼比均值小于0.03，屬于弱阻尼，應該在其最相關機組G3 處安裝PSS，用于提高該振蕩模式的阻尼比均值。

5 結語

本文采用無跡變換法進行電力系統小擾動穩定概率分析，在MATLAB 中電力系統分析軟件包PSAT 的IEEE3 機9 節點系統進行仿真，得到系統振蕩模式特征值的均值和標準差，分析了負荷水平對系統小擾動穩定的影響。通過無跡變換與蒙特卡洛算法之間的對比，驗證了無跡變換法的有效性。

最后針對新英格蘭10 機39 節點進行仿真和實踐，通過無跡變換和兩點估計算法的對比，證明了本方法具備分析負荷水平不確定性對小擾動穩定影響的功能。本文所提方法只需要根據隨機參數的均值和協方差信息，即可得到小擾動穩定概率分析的重要指標如特征值、阻尼比均值等的統計特性。本文使用的方法類似于黑箱分析，相比于傳統的蒙特卡洛法，計算精度和實用性較強。此外，該方法可以直接用于基于確定性分析下的小擾動穩定概率分析。