含CVaR 及增廣ε-約束法的多目標光儲充電站容量優化配置

黃婧杰，李金成，劉科明，任一鳴，楊洪明，周任軍

（1.湖南省清潔能源與智能電網協同創新中心（長沙理工大學），長沙 410114；2.中車株洲電力機車研究所有限公司，湖南 株洲 412001）

0 引言

在雙碳目標驅動下，電動汽車（electric vehicle，EV）和充電站行業發展迅速，耦合了光伏和儲能的光儲充電站因具有就地消納光伏、直接降低碳排放等優點而受到廣泛關注［1-2］。

在規劃建設光儲充電站時，投資商注重光儲充電站投運過程中的收益。合理的光伏和儲能容量大小及配比，不僅能夠降低光儲充電站的設備投資或者運行成本，還能通過提升光伏消納空間［3-4］、降低購電功率曲線的峰谷差［5］等降低運行成本。然而光伏出力和EV 充電需求的不確定性會影響光儲充電站的容量配置，并進一步影響光儲充電站投資商的投運過程的收益［6-7］。因此，利用機會約束規劃將不確定性規劃轉化為確定性規劃，降低了投資成本［6］，從而減小投資回收期實現了光儲充電站投資運行的經濟性［7］。但是，在大多數規劃運行中投資商還會面臨不確定性導致的收益的波動［8-9］。在光儲充電站的規劃中這一風險是由光伏出力和EV 充電需求的不確定性造成的，忽略該波動將影響投資商對投運過程收益的估計，因此需要量化收益的CVaR值，并衡量其對收益的影響程度。

處理風險的主要方法有：方差法、風險價值（value at risk，VaR）和條件風險價值（conditional value at risk，CVaR）等［10-12］，其中CVaR 具有良好的數學性質，在滿足次可加性、一致性公理的情況下，能準確量化不確定量在給定概率分布下的尾部風險，已在電力系統規劃和優化調度方面得到大量應用。如：綜合能源系統規劃和虛擬電廠容量配置時，采用CVaR 度量可再生能源出力和負荷變動以及電價波動的不確定性帶來的運行成本風險［13-14］；風電系統安全經濟調度時，采用CVaR 度量不確定性因素給電網安全運行帶來的風險［15］。

含風險管理的研究都是通過優化復合目標函數來實施的。其中，處理風險項的傳統方法是用一個加權因子將其線性加權到目標函數中，并提供主觀設定的不同加權因子下的解集和方案［13-14］。但采用線性加權法處理多目標問題時并不能保證得到最優分布的pareto 解集，而增廣ε-約束法能夠保證在求解多目標優化問題時，得到的pareto 解集具備更良好的分布性［16-18］、邊界最優性，能夠映射出多目標問題的實際pareto 前沿，為投資商提供更易調控收益和CVaR 解集梯度的投資方案。故采用增廣ε-約束法處理多目標優化問題，為投資商提供不同收益、CVaR 組合投資方案的同時，通過熵權-TOPSIS法為投資商篩選出客觀決策方案。

綜上分析，為量化收益的CVaR 值，建立含收益和CVaR 多目標容量的配置模型，提出增廣ε-約束法處理收益和CVaR 的多目標模型，優化光儲充電站的容量配置，量化投資商收益低于預期的CVaR 的值，為投資商提供客觀的規劃方案及運行策略。

1 EV充電需求及光儲充電站函數

1.1 EV不確定性充電需求函數

EV 的充電需求由充電初始時間、充電初始荷電狀態（state of charge，SOC）決定，而EV 充電初始SOC值近似服從對數正態分布，充電初始時間近似服從正態分布［6，19］。

式中：SOC1為EV充電初始SOC值；t1為充電初始時間；和分別為EV 充電初始SOC 變量對數的平均值和標準差；和分別為EV 充電初始SOC變量對數的平均值和標準差。

1.2 光伏典型出力函數

式中PPV(t)、PPV、per(t)分別為t時刻的光伏輸出功率、光伏配置容量、t時刻的光伏出力百分比。其中，光伏四季典型出力百分比如圖1所示［20］。

圖1 光伏四季典型出力百分比Fig.1 Typical output percentage of PV in four seasons

1.3 儲能電池容量功率函數

儲能電池能夠在電價低谷期或者光伏發電功率大于EV 充電功率時存儲電能；在光伏發電功率低于EV充電功率時釋放電能，滿足EV的充電需求。

式中WESS、PESS分別為儲能電池所配置的容量和額定功率。式（4）為儲能容量和功率的約束關系。

1.4 光儲系統投資維護成本函數

光儲系統投資維護成本包括等年值初始投資成本和年維護成本兩個方面。

式中Ccost、Cinv、COM分別為光儲系統投資維護成本、光儲系統等年值投資成本、光儲系統的年維護成本。

1.4.1 等年值初始投資成本Cinv

式中：CPV、CESS，W、CESS，P、CRF分別為光伏單位容量投資成本、儲能系統的單位容量投資成本、儲能系統的單位功率投資成本、等年值投資系數；r、m分別為貼現率和對應系統的使用年限。

1.4.2 年維護成本COM

2 計及CVaR的光儲充電站多目標函數

2.1 場景說明

包含光伏出力、EV 充電需求等不確定量的光儲充電站多目標容量優化配置問題屬于隨機規劃問題。場景法處理光伏出力、EV 充電需求的不確定性，通過大量場景模擬各種可能會出現的情況，最終將隨機規化問題轉化為確定性規劃問題［10，13-14］。設定光伏出力場景集S={si，i=1，2，…，nS}，EV充電需求場景集E={ej，j=1，2，…，nE}，其中nS和nE分別為光伏出力、EV 充電需求的總場景數量。

2.2 光儲充電站的收益

光儲充電站的收益包括投資維護成本和年運行收益兩個部分。其中，年運行收益為各場景年運行收益與其概率乘積之和。因此，最大化光儲充電站收益的優化問題，得到的收益為期望值［9］。

2.3 總收益的CVaR值

CVaR 是在VaR 理論基礎上發展出來的。VaR是指在一定的置信水平下，某一金融投資在未來時段所面臨的損失閾值。CVaR 則是當損失大于VaR時，面臨的平均損失［21］。CVaR 不僅可用于量化成本型函數的損失，也可以用于量化效益型函數的收益問題，類似于求解電網安全裕度［15］、新能源廠商的收益［8］、風電企業利潤［9］等效益型問題。

而收益的CVaR 值指的是在一定置信水平下收益不超過VaR 的預期收益，即通過收益的CVaR 值量化預期收益過低的值［8-9］。

式中：α為置信水平；VaR為總收益小于或等于y時的最大值，此時概率小于或等于1-α［8-9］。

因此，總收益的CVaR值CVaR為［8-9］：

式中：zs，e為虛擬變量；ρ為場景序號（ρ=1，2，…，nSnE）。CVaR衡量了場景（s，e）中光伏出力和EV 充電需求不確定性給投資商收益帶來的風險，與各場景的概率π(si)、π(ej)及隨機變量有關，而受不確定性量條件復雜與否的影響較小。如果場景（s，e）的收益大于VaR，則zs，e等于0；對于其他場景，zs，e等于VaR與相應場景的收益差［9］。

2.4 含風險偏好系數的多目標處理方法

本文的多目標包括光儲充電站收益和收益的CVaR 值。求解計及CVaR 的多目標優化問題時，多使用線性加權法［13-14］，引入風險偏好系數處理風險項，將多目標優化問題轉化為單目標優化問題。線性加權法構建含收益和CVaR 的復合目標函數，如式（17）所示。

式中β為一個范圍在[0，1]的加權因子，用于實現收益和CVaR 之間的權衡，即風險偏好系數［13］。通過改變參數β可以得到不同的投資方案，構建收益和CVaR 的有效前沿。β越大，表明越看重風險，此類投資商為風險規避型；β越小，表明越看重收益，即希望盡可能地最大化收益。

求解線性加權法構造的多目標模型得到的pareto 前沿分布性、邊界最優性較差。即投資商在基于各個投資方案的收益和CVaR（預期收益）作出選擇權衡時，不易調控投資方案梯度。

2.5 增廣ε-約束法的多目標處理方法

為改善線性加權法構造的多目標組合問題解集的分布性和邊界點的值，提出增廣ε-約束法構造含風險管理的多目標模型，映射出多目標優化問題的實際pareto 前沿［16］，提供更易調控收益和CVaR 解集梯度的投資方案，以及更優邊界點的解集。

增廣ε-約束法的思想是以一個次要目標作為約束條件對另外一個主目標進行優化，在一定范圍內調整輔助變量ε 的值進行求解。首先，計算出每個目標的取值范圍，即本文中收益和CVaR 目標的取值范圍如表1所示。

表1 收益與CVaR目標取值范圍Tab.1 Profit and CVaR target value range

表1 中的F11和F22均為在單目標下的最大值，即只考慮F1(x)或F2(x)時的最大值，F12為在收益單目標最大的前提下最大化CVaR，F21為在CVaR單目標最大的前提下最大化收益，計算過程如下。

式中D為滿足式（4）、（25）—（36）的決策變量x可行域集合。

表1 中每一列的最大值和最小值可以確定每個目標在pareto 前沿的范圍。此時選擇收益為主目標，CVaR 作為次要目標和約束將其范圍劃分為p個相等的間隔，結合輔助變量ε 和松弛變量s將多目標優化問題轉為單目標優化問題。

式中：l為CVaR 的最小值；p為CVaR 被劃分的間隔數；r為CVaR 值的范圍；α為一個足夠小的數字；s為CVaR對應的非負松弛變量。

3 收益和CVaR 增廣ε-約束法的光儲充電站多目標容量優化配置模型

3.1 目標函數

見2.5節的式（22）—（24）。

3.2 約束條件

3.2.1 儲能系統電量及充放電功率約束

式中：PESS為儲能系統所配置的額定功率；ut為0-1變量，值為1 時僅可充電，值為0 時僅可放電。式（28）和式（29）限定了儲能系統充放電功率的范圍并保證了儲能系統不同時進行充放電。

由于在式（28）和（29）中引入了0-1 變量ut，而PESS也是決策變量，導致了非線性約束的出現。因此，采用big-M法［14］解耦式（28）和（29）。

式中M為設定的一個足夠大的正數，實現了非線性約束的解耦，此時，約束式（28）—（29）被轉換成約束式（30）—（33）。

3.2.2 功率平衡約束

3.2.3 與電網功率交換約束

式中：Pmax為光儲充電站與電網交換功率的最大值，ue為0-1變量，值為1時僅可向電網購電，值為0時僅可向電網售電，保證了光儲充電站不同時向電網購售電。

3.3 基于熵權-TOPSIS法篩選客觀最優解

求解3.1—3.2 節構造的多目標模型得到pareto前沿，投資商可以根據自身對于收益和CVaR 的權衡主觀選擇決策方案，也可以采用熵權-TOPSIS 法客觀的確定決策方案［22-23］。其核心思想是標準化處理收益和CVaR 指標，基于指標數據的信息熵對收益和CVaR 指標客觀賦權，量化各解集與正理想解和負理想解的相對距離作為綜合評價值。

1）采用極差法對各指標Xij進行標準化處理，以便消除數量級和量綱的影響。

式中：i為解的序號；j為測度指標，即收益或者CVaR 指標；Xij和Yij分別為收益值、CVaR 值和標準化后的收益值、CVaR 值；max(Xij)和min(Xij)分別為收益或者CVaR的最大和最小值。

2）計算各指標Yij的信息熵Ej。

3）計算各指標Yij的權重Wj。

4）構建各指標的加權評價矩陣S。

式中：n為pareto 解集中的解集數，即本文中的p+1；m為指標數，sij=Wj×Yij。

5）根據加權評價矩陣S確定各個指標的正理想解和負理想解。由于收益和CVaR 都屬于效益型指標，即越大越好，則：

7）計算綜合評價值。

綜合評價值Ri最大的解集最優。

4 算例分析

4.1 算例參數

在MATLAB 中調用Gurobi 求解器求解3.1—3.2 中建立的模型。光伏四季典型出力場景概率均為0.25［13］，采用蒙特卡洛抽樣得到EV 的充電需求并利用kmeans 將EV 充電需求聚成四類如圖2所示。

聚類后4 類充電功率的概率分別為0.238、0.262、0.262、0.238。從時間角度考慮，光儲充電站全部采用快速充電樁給EV 提供充電服務，并且假設不會出現排隊充電的情況，即EV 到達光儲充電站后立即給EV 充電［6］。公交車、私家車、出租車的充電特征指標及參數見參考文獻［19］，EV充電功率及電池容量見參考文獻［24］。EV 充電電價a、光儲充電站向電網購售電電價b、c如圖3 所示。光儲充電站與電網交換功率最大值200 kW。光伏和儲能的參數見參考文獻［25-27］，儲能電池初始電量為其總容量的50%。在對3 種價格的設定中，EV 充電電價大于購電電價且遠遠大于售電電價，確保光儲充電站盡可能地給EV提供充電服務，而不是將電量賣給電網［6］。

圖3 EV充電電價和購售電電價Fig.3 EV charging price and purchase and sale price

4.2 算例結果與分析

4.2.1 增廣ε-約束法與線性加權法的比較

現有文獻中對含CVaR 風險項的求解問題都采用諸如文獻［8］的線性加權法，本文提出增廣ε-約束法求解此類問題，為對比兩種算法的優劣性，繪制出各自的有效前沿如圖4 所示。在傳統線性加權法中，置信水平α=0.9，風險偏好系數按0.05 的值遞增，而在增廣ε-約束法中，間隔p=20，則解集數均為21。

圖4 線性加權法和增廣ε-約束法有效前沿對比Fig.4 Comparison of effective frontier between linear weighting method and augmented ε-constraint method

在有效前沿上，隨著CVaR 值的增大、收益的降低，表明注重CVaR 忽視收益，為風險規避型投資商的投資趨勢；隨著收益的增大、CVaR 值的降低，表明注重收益忽視CVaR，為效益追逐型投資商的投資趨勢。且從線性加權法求得的有效前沿可以看出，均勻分布的權重系數集β并不能保證有效解集{F1，F2}的均勻分布，因此，pareto 有效集合的映射是不充分的，且不同的權重組合會產生相同的有效解，例如：當β=0.9、0.95 或者β=0.05，…，0.55時。因此，可以得知：采用增廣ε-約束法求得的pareto 有效前沿的分布性更好，能夠提供更易調控收益和CVaR解集梯度的投資方案。

兩種方法求得的有效解集是不可比的，因為這兩種方法的結果是同一pareto 邊界的兩種不同映射。但在邊界點B、β=1 和A、β=0 是可以比較的，在兩者的邊界上，方案B 與方案A 分別支配了β=1 和β=0 的方案。對于右下邊界，此時相當于相同CVaR，而方案B 相較于β=1的方案具有更高的收益；對于左上邊界，此時相當于相同收益，而方案A 相較于β=0 的方案具有更高的CVaR。綜上，證明了增廣ε-約束法的優越性。

從圖4 的pareto 有效前沿可以看出，隨著解集中收益的提高，對應的CvaR 值將降低，預期收益可能會低于CVaR 值。這意味著并不存在一個最優解，能夠保證收益和CvaR 值同時最大。此時投資商收益的期望值為F1，為各場景收益與其概率乘積之和，而由于光伏出力與電動汽車充電需求的不確定性，實際的收益會出現波動——在一個范圍內波動，在90%的置信度預期收益會高于收益的CVaR值，在10%的置信度預期收益會低于收益的CvaR值。圖4中的A點對應的收益為281 085元，為投資商收益的期望值為281 085元；CvaR值為141 492元，即在極端市場風險下低收益的平均值為141 492元。

4.2.2 收益和CVaR以及不同容量配置分析

本小節將基于增廣ε-約束法所求解集的容量配置進行分析，光伏容量、儲能容量功率配置結果如圖5所示。

圖5 光伏容量和儲能容量功率配置結果Fig.5 Photovoltaic capacity and energy storage capacity power configuration results

由于光伏出力和EV 充電需求的不確定性給規劃結果帶來影響，本文采用場景法處理不確定性后，收益最大的尋優結果實際上是所有場景收益與其概率乘積之和，即一個收益的期望值。而實際上的收益值對應于一個收益分布，為了克服這種模糊性，本文引入的CVaR 能夠量化這種收益的波動性，讓投資商在投資時能夠自主權衡收益和CVaR的關系作出主觀決策。

光伏出力和EV 充電需求的不確定性會給各個場景的運行成本帶來波動，產生收益波動的風險，并進一步影響光伏儲能的容量配置。從圖5 可得知：投資商在愈發重視CVaR 進行投資的過程中，會降低對于光伏和儲能的容量配置，但是儲能對于光伏容量所占比重會提高。降低容量配置能夠在一定程度上降低投資維護成本，但是會降低運行收益，由于儲能容量的變化不大，這樣能夠保證通過降低投資而提高的CVaR 值能夠比降低投資而降低的運行收益大，即總的CVaR 值能夠呈上升趨勢。此過程中將增加從電網購電滿足EV 的充電需求，并降低光伏容量平抑波動，減少向電網售電。

相反地，投資商在重視收益忽略CVaR 時，會大量投資光伏和儲能的容量，雖然提高了投資維護成本，但是保證滿足EV 充電需求后減少向電網購電增加向電網售電提高運行收益，且提高的運行成本大于提高的投資維護成本，則總收益提高。但由于投資增大，且光伏波動大，投資商收益的CVaR值將降低，此時實際收益會面臨變得很低的情況。

4.2.3 基于熵權-TOPSIS法篩選客觀決策方案

首先通過熵權法計算出圖4 中增廣ε-約束法解集中成本和風險目標的權重：W1=0.546 1、W2=0.453 9。根據TOPSIS 法得出各解集的綜合評價值如圖6所示。

圖6 pareto解集綜合評價值Fig.6 Pareto solution set comprehensive evaluation value

圖6 中由小到大的解集序號與圖4、圖5 中CVaR 值從左至右增大的解集一一對應。綜合評價值越大表明解集越優，綜合評價值最大為0.617 6位于圖6 中的第7 個解集，為客觀決策方案；對照圖5，客觀決策方案中各設備容量配置結果為：PPV=265 kW、WESS=352 kWh、PESS=145 kW，收益為271 521 元，為投資商收益的期望值為271 521 元，CVaR 值為148 031 元，即在90%置信水平下收益不低于148 031 元，且在極端市場風險下低收益的平均值為148 031元。

圖6中解集6—9綜合評價值相近，以客觀最優的第7 個解集為基準值，對比解集6、8、9 相對于解集7 的收益和風險變化情況。解集6 的收益提高了0.61%，CVaR 值降低了0.73%；解集8 的收益降低了0.61%，CVaR 值提高了0.74%；解集9 的收益降低了1.23%，CVaR 值提高了1.47%。因此客觀最優解集7 是對于成本（收益）和風險給投資商提供的一種客觀最優解。若是對于收益或者CVaR值有自己主觀傾向意愿的投資商，則可根據收益或者風險的變化情況自主選擇其他方案。效益追逐型投資商愿意將效益收益高的方案視為最優方案，風險規避型投資商愿意將CVaR 值高的方案視為最優方案。

4.2.4 客觀決策方案與典型方案運行結果對比

在實際投資中，按照投資商的主觀意愿，有僅以成本或風險單目標最小的兩種典型方案，圖6 中的第1個解集和第21個解集分別代表這兩種典型方案。第1 個解集的投資結果為：PPV=315 kW、WESS=354 kWh、PESS=146 kW，收益281 085 元，CVaR 值為141 492 元，第21 個解集的投資結果為：PPV=112 kW、WESS=272 kWh、PESS=112 kW，收益234 071 元，CVaR 值為163 290 元。本文共16個場景，仿真結果中各方案第13 個場景的成本均超過了風險值。第13 個場景光伏出力及EV 充電需求如圖7 所示，該場景下客觀決策方案、僅考慮收益的投資方案、僅考慮CVaR 的投資方案的運行情況如圖8、圖9、圖10所示。

圖7 第13個場景的光伏出力及EV充電需求Fig.7 Photovoltaic output and EV charging demand in the 13th scenario

圖8 客觀決策方案中第13個場景的運行情況Fig.8 Operation scheme of the 13th scenario in the optimal investment scheme

圖9 僅考慮收益的投資方案中第13個場景的運行情況Fig.9 Operation of scenario 13 in the investment scheme considering only profits

圖10 僅考慮CVaR的投資方案中第13個場景的運行情況Fig.10 Operation of scenario 13 in the investment scheme considering CVaR only

由于僅考慮CVaR 的投資方案過度規避風險，光伏和儲能的容量配置遠遠低于客觀決策方案以及僅考慮收益的投資方案的容量配置，從圖8 和圖9、圖10的對比中可看出：在僅考慮CVaR 的投資方案中，由于配置的光伏和儲能的容量很低。當光伏發電能力很弱時（01：00—07：00時段），該方案只能通過向電網購電來滿足EV 的充電需求。當光伏發電能力很強時（11：00—15：00時段），該方案不僅不能向電網賣電獲得收益，而且只能存儲少量電能。因此，該方案過度的保守投資雖然提高了CVaR 值，但是極大地降低了收益。

客觀決策方案相較于僅考慮收益的投資方案：光伏容量配置降低，儲能容量基本不變。客觀決策方案降低了光伏容量配置，從圖8 和圖9 的對比可看出，客觀決策方案減少了對電網的售電量，雖然降低了運行收益，但是降低光伏容量而降低了投資成本。客觀決策方案相比于只考慮收益的投資方案在僅降低3.4%的收益的前提下，CVaR 值提高了4.6%；最優投資方案相比于只考慮CVaR 值的投資方案在僅降低9.3%的CVaR 值的前提下，收益提高了16.0%。

綜上，應用本文的模型和方法研究規劃問題時需注意以下事項。

1）為投資商度量不確定性給收益帶來的風險，需要將收益項放入CVaR 的損失函數部分，并結合虛擬變量求得收益的CVaR 值。同理，也可以拓展到研究成本的CVaR值。

2）建立含CVaR 風險項的模型時，需要將收益及CVaR 分別作為兩個目標，并結合增廣ε-約束法求解，通過間隔數來調節參數ε 的大小，達到為不同風險偏好投資商提供相應規劃運行方案的效果。

5 結語

度量光伏出力及EV 充電需求的不確定性給光儲充電站投資商的收益帶來的影響，直觀地顯示收益與CVaR 值的關系，收益越高，預期收益低于的CVaR 值越小，為不同風險偏好的投資商提供投資及運行方案。

與傳統處理風險項的線性加權法相比，采用增廣ε-約束法得到的pareto 有效前沿分布更均勻、邊界點更優，更細致地劃分了不同風險偏好的投資及運行方案，便于投資商對CVaR和收益的把控。

在不同的投資運行方案中，投資商可依據風險偏好主觀的選擇決策方案；也可以采用熵權-TOPSIS 法綜合評價各方案，篩選出客觀決策方案，得到收益和CVaR的最優權衡。