螺旋槽磨削砂輪磨損輪廓模型與位姿補償算法＊

陽智麾 李 勇 劉 浩 江 磊

（西南交通大學機械工程學院，四川 成都 610031）

螺旋槽作為立銑刀的重要結構特征，對刀具的切削、卷屑、斷屑以及整體剛性起至關重要的作用，因此其磨削工藝成為刀具加工的重點和難點[1]。在螺旋槽實際加工過程中，一片全新或修整的砂輪首先會進入快速磨損期間，然后進入穩定磨損期[2]，因此砂輪磨損問題在螺旋槽磨削工藝中無法避免。對砂輪的磨損情況進行計算，并對其磨削位姿進行調整以提高螺旋槽加工精度具有很強的實際工程意義。

立銑刀螺旋槽的結構參數大多都是在徑向截面下定義的，因此其徑向截面輪廓的成形計算方法是螺旋槽磨削工藝的理論基礎。目前主要采用解析法[2-3]、離散法[4-5]和布爾法[6]3 種方法。基于此，許多學者針對螺旋槽磨削工藝展開了大量研究，主要分為以下兩類。

為了滿足刀具特定的卷屑、斷屑等需求而設計特定結構形狀的螺旋槽，需要設計砂輪形狀以滿足螺旋槽加工要求，即成形砂輪磨削工藝（已知螺旋槽輪廓+砂輪位姿→計算成形砂輪輪廓）。Karpuschewski B等[7]利用螺旋槽曲面法矢量必定與砂輪軸矢量接觸原理，計算旋槽曲面與砂輪回轉面之間的接觸線。李國超等[8]在此基礎上分析砂輪母線奇異點和端點位置與螺旋槽曲面的接觸情況，完善成形砂輪輪廓計算方法。成形砂輪磨削工藝由于對砂輪輪廓精度要求較高，需要不斷修整砂輪以滿足輪廓設計要求，大大增加了加工成本。

將刀具螺旋槽進行參數化建模，選用標準砂輪，計算砂輪磨削位姿獲得滿足設計的槽型，即標準砂輪磨削工藝（已知螺旋槽參數化模型+砂輪輪廓→計算砂輪位姿）。Karpuschewski B 等[7]以砂輪位姿為優化變量、螺旋槽輪廓誤差為優化目標。李國超等[8]在此基礎上提出基于雙斜面型砂輪尺寸和位姿組合優化的磨削工藝，根據螺旋槽輪廓曲線選用特定砂輪，并建立螺旋槽結構參數以及輪廓誤差的優化目標函數，采用粒子群等優化算法進行求解。李海賓等[9]針對粗銑刀分屑槽形狀的磨削工藝，對粗銑刀周齒分屑槽結構參數進行了定義，建立了加工坐標系及切深引導曲線方程。曾滔等[10]針對于解析法求解接觸線難以在三維軟件中實現參數化等問題，提出一種基于極限思想求解螺旋槽磨削接觸線的幾何方法。Chen Z 等[11]針對結構較為復雜的螺旋槽，提出一種通過兩次磨削的方法控制螺旋槽的幾何參數，包括前角、芯厚半徑和槽寬。唐軍等[12]提出了適用于參數化結構和位置定義的分屑槽數控磨削工藝，推導了相應的砂輪磨削軌跡算法，并基于得到的磨削軌跡和五軸數控工具磨床運動原理。熊建軍等[13]通過定義容屑槽的結構參數、坐標系、坐標系變換矩陣以及砂輪初始姿態，并計算了砂輪的磨削軌跡。在此基礎上，借助運動學原理基于工件坐標系的砂輪磨削位置和姿態的計算方法，采用坐標變換矩陣描述砂輪運動方式。標準砂輪磨削工藝重點在于計算砂輪位姿以獲得指定槽型，以其高效、成本低、換型快的特性廣泛應用于刀具螺旋槽的加工，也一直是研究的熱點問題。

綜上所述，雖然螺旋槽磨削工藝的研究較為成熟，但是現有的算法都未考慮砂輪實際磨損問題，僅將砂輪端面做棱邊倒圓處理，忽略了對磨削過程中砂輪磨損情況分析，需要根據工人經驗不斷調整圓角大小重新計算砂輪磨削位姿，導致算法在實際應用中誤差越來越大。本文針對砂輪在螺旋槽磨削過程中出現的不規則磨損情況，通過已加工螺旋槽輪廓反算磨損砂輪輪廓，提出一種基于砂輪實際磨損情況的螺旋槽磨削位姿調整算法（已知加工的螺旋槽+砂輪位姿→計算砂輪磨損情況+已知螺旋槽結構參數→計算砂輪調整位姿），并通過實際加工試驗驗證了算法的有效性。

1 計算不規則磨損砂輪輪廓

在螺旋槽實際加工中，由于前刀面磨削量最大，且砂輪越靠近邊緣越脆弱，砂輪呈現不規則磨損狀態，計算砂輪實際輪廓對后續砂輪位姿調整至關重要。

1.1 磨削運動建模

為了方便描述砂輪與刀具的磨削關系，定義以下坐標系及參數，如圖1 所示。

（1）工件坐標系OW-XWYWZW，其坐標原點OW位于刀具端面圓心，坐標軸ZW與刀具軸線重合，坐標平面XWYW與刀具端面重合。

（2）砂輪坐標系OG-XGYGZG，其坐標原點OG位于大端圓的圓心位置，坐標軸ZG與砂輪軸線重合，坐標平面XGYG與砂輪大端圓平面重合。

（3）砂輪位姿參數VecX(ax,ay,α)，其中ax、ay為原點OG在坐標平面XWYW的初始坐標（定義ax為中心距、ay為偏移距）、α為砂輪繞坐標軸XW旋轉的角度（定義α為安裝角）。本文定義砂輪的位姿都是初始狀態下砂輪位置和姿態，然后在螺旋刃線引導下運動為砂輪磨削軌跡。砂輪坐標系與工件坐標系關于砂輪位姿參數VecX的變換矩陣MG-W可表達為

設立銑刀的螺旋刃線與刀具半徑為RW、螺旋角為β，其磨削過程可以看作刀具固定不動、砂輪沿螺旋刃線引導下運動，即砂輪繞坐標軸ZW旋轉的同時沿著其移動。因此，砂輪旋轉角度ξ后，其相對于初始位姿（即砂輪圓心位于工件坐標系坐標平面XWYW）的運動變換矩陣Me(ξ)可表達為

式中：κ=RW/tanβ。

1.2 磨損砂輪輪廓求解

砂輪由于回轉體的特點，將砂輪輪廓繞軸線旋轉一周即可以得到砂輪回轉面方程，因此計算磨損砂輪輪廓對于位姿調整至關重要。本文根據磨損砂輪加工的螺旋槽徑向截面輪廓，采用成形砂輪計算方法[12]反算磨損砂輪的母線方程，螺旋槽磨削過程中螺旋槽曲面與砂輪回轉面呈線相切接觸，其接觸線上點的法矢量必定與砂輪軸線接觸（即矢量nQ、ZG、nQG共面），如圖2b 所示。計算流程如下。

圖2 磨損砂輪輪廓的反算流程

（1）在工件坐標系平面XwYw內，通過刀具輪廓檢測儀測量得到加工的螺旋槽徑向截形輪廓n個點坐標Si(xi,yi,0)，通過插值方法獲得已加工螺旋槽的徑向截形輪廓程S(xS(t),yS(t),0)，t1≤t≤tn，并在螺旋刃線引導下建立坐標系下的螺旋槽曲面方程Q(t,ξ)。

式中：t為螺旋槽輪廓方程的變量。

因此，螺旋槽曲面上任意點Q指向砂輪坐標原點OG的矢量nQG可表達為

（2）對螺旋槽曲面方程Q(t,ξ)變量分別求偏導，并叉乘得到螺旋槽曲面的法矢量nQ。

根據砂輪安裝角α可知砂輪軸矢量ZG(0,－sinα，cosα)，由矢量nQ、ZG、nQG共面建立接觸線求解方程。

由式（6）建立的接觸線求解方程在無限區間內有無窮個解，求解區間的預估對于求解穩定性至關重要。當求解區間預估錯誤時，一是會出現無解的情況；二是計算出來的砂輪輪廓可能會將螺旋槽輪廓內部實體當作磨削部分，如圖3 所示。

圖3 砂輪輪廓求解錯誤情況

觸線求解區間與砂輪安裝位姿直接相關，砂輪位姿偏移距ay越往左側偏移，求解區間整體向上偏移越大，同理，砂輪向右側偏移則相反；砂輪位姿安裝角α越大，接觸線求解區間也會被拉長，如圖4a所示。將砂輪與工件投影至平面XWYW上，砂輪由于繞XW軸旋轉被壓縮成橢圓面，刀具棒料為圓面，如圖4b 所示。

圖4 螺旋槽曲面上接觸線求解區間

定義刀具螺旋槽曲面上接觸線的點為pwn，接觸線最低點pw2為砂輪端面橢圓于芯厚圓相切點，接觸線最高點pw1或pw3，其中pw1為砂輪端面圓與刀具棒料圓的交點，pw3為砂輪某個截面刀具棒料外圓柱面切點。因此在圖4a 中，rc為芯厚半徑，經過點(-rc,0)并平行于ZW軸的直線與砂輪端面的交點pk2一定略低于pw2，與砂輪的另一側砂輪端面的交點pk3一定高于pw3，砂輪端面與刀具棒料右側母線的交點pk1一定高于pw1。接觸線求解區間預估如下：

式中：Hg為砂輪厚度。

將旋槽徑向截形輪廓坐標點S(x(t),y(t))代入式（6），計算螺旋槽接觸線旋轉角度ξ(t)，則螺旋槽曲面與磨損砂輪回轉面的接觸線pw(t)在砂輪坐標系下表示為

將接觸線pw(t)繞砂輪軸線回轉得到磨損砂輪回轉面方程C(t,ψ)，其在砂輪坐標系下可表達為：

2 磨損砂輪的磨削位姿約束函數關系

根據上一節計算得到的磨損砂輪輪廓，需要通過調整砂輪磨削位置和姿態，對所加工螺旋槽輪廓進行補償從而持續保證螺旋槽的加工精度。基于此，首先基于磨損砂輪重新構建螺旋槽輪廓計算模型，然后根據螺旋槽結構參數幾何定義建立磨損砂輪的位姿約束函數關系式。

2.1 基于磨損砂輪重構螺旋槽輪廓計算模型

為了與上一節中螺旋槽曲面上的接觸線pw區別，本節計算的接觸線為砂輪回轉面上的接觸線pg。在螺旋槽磨削過程中，砂輪接觸線上點的法矢量N(t,ψ)與速度矢量V(t,ψ)相互垂直[3-4]，如圖5 所示。由于磨削過程中砂輪與刀具的位姿關系相對恒定，為了計算方便且不失通用性，本文僅計算砂輪在初始位姿時接觸線上點的法矢量與速度矢量。

圖5 螺旋槽徑向截形輪廓形成原理圖

（1）將砂輪回轉面方程變換到刀具坐標系下進行描述。

對刀具坐標系下的砂輪回轉面方程變量分別求偏導，并叉乘得到回轉面點的法矢量N(t,ψ)：

砂輪回轉面上任意點的速度矢量V(t,ψ)為其運動變換矩陣Me(ξ)的導數：

（2）聯立式（10）、式（12）和式（13），建立砂輪接觸線的求解方程。

式中：B1=axcosα+κsinα，B2=(R(t)R′(t)-zL(t))sinα+ay，B3=(κcosα-axsinα)R′(t)。

將式（14）中sinψ與cosψ看成兩個未知量，同時sin2ψ+cos2ψ=1，直線與圓的兩個交點即為式（14）的解。由于螺旋槽磨削過程中砂輪只有靠近刀具的部分能參與磨削，接觸線上所有點在坐標軸XG方向的坐標必定小于0（即cosψ＞ 0），因此接觸線上點的回轉角度ψ(t)可表達為

（3）將式（15）代入砂輪回轉面方程式（11）計算出砂輪與工件的接觸線C(t,ψ(t))，并將接觸線通過運動變換矩陣變換到徑向截面下，得到磨損砂輪磨削的螺旋槽輪廓方程。

2.2 螺旋槽輪廓與磨損砂輪的位姿約束

圖6 螺旋槽徑向截面下參數定義

（1）設螺旋槽輪廓線起點p1位于螺旋刃線上，則矢量P1與T1的夾角為前角。當T1×P1的ZW坐標為正時，前角為正，反之前角為負，螺旋槽前角關于砂輪位姿的函數fγ如下：

式中：tr(0,0,1)。

（2）設螺旋槽芯厚點為p2，螺旋槽輪廓與芯厚圓在點p2處相切，即矢量P2×T2=0。芯厚存在負芯厚情況，發生該類情況需要舍棄，如圖7 所示，芯厚關于砂輪位姿的函數frc如下：

圖7 負芯厚示意圖

（3）設螺旋槽輪廓曲線終點為p3，則矢量P3與P1的夾角為槽寬。當P1·P3的ZW的坐標為正時，槽寬小于180°，反之槽寬大于180°，如圖8 所示。槽寬關于砂輪位姿的函數f?如下：

圖8 槽寬?＞180°示意圖

3 磨損砂輪的磨削位姿調整迭代計算

為了設計磨損砂輪位姿求解算法，首先根據式（17）～式（19）分別分析砂輪位姿中心距ax、偏移距ay、安裝角α對螺旋槽結構參數的影響，如圖9所示。可以看出，砂輪位姿VecX(ax,ay,α)每項參數都會影響到螺旋槽結構參數的變化，因而采取分而治之的迭代規則無法得到全局最優解。

圖9 砂輪位姿對螺旋槽結構參數的影響

因此，需要將砂輪位姿看成一個整體將非線性方程組求解問題轉換成數學優化問題是一種高效處理方法。

式中：權重系數1≥ε1≥ε2≥ε3。

本文采用粒子群算法作為示例進行求解，其迭代規則見式（21），算法流程如圖10 所示。

圖10 磨削算法流程圖

式中：ω為慣性權重，c1和c2為學習因子，r1和r2為[0,1]的隨機數，pbesti為個體最優，gbest為全局最優。

值得注意的是，算法的初始砂輪位姿搜索空間估計對于求解穩定性至關重要。砂輪磨損會導致實際磨削的螺旋槽與設計相比，前角和槽寬參數變小，芯厚參數變大。由圖9 的分析可知，砂輪位姿搜索空間應當減小中心距ax、增大偏移距ay。為了避免砂輪磨削式刃線發生干涉，砂輪安裝角α的范圍為[90-β,0)。

4 試驗驗證

4.1 螺旋槽設計及磨削工藝初始參數設置

為了驗證本文提出算法的有效性，試驗在某刀具企業的整體式立銑刀加工過程中進行。螺旋槽設計參數和加工所使用的砂輪幾何參數見表1。螺旋槽磨削NC 代碼由數控磨床配套軟件生成，換算成砂輪安裝位姿見表1。試驗所使用的五軸數控工具磨床（JL-20155X）及砂輪（SDC120C100-C）如圖11所示。

表1 螺旋槽設計和磨削工藝初始參數

圖11 螺旋槽磨削所使用的機床與砂輪

4.2 不規則磨損砂輪輪廓的反求計算及誤差分析

砂輪在完成若干次螺旋槽磨削之后，選用最近加工的一支刀具棒料，使用光學檢測儀PG1000 對其螺旋槽端面輪廓進行測量，得到螺旋槽輪廓點坐標見表2。將輪廓點采用三次樣條曲線插值擬合方法得到調整前加工的螺旋槽輪廓方程，與設計的螺旋槽輪廓對比如圖12 所示。分析對比結果可知，砂輪由于磨損導致磨削加工的螺旋槽與設計要求相比有較大誤差，前角誤差為34.133%，芯厚誤差為26.312 3%，槽寬誤差為8.714 4%。其中螺旋槽前刀面的磨削量最大，磨削該處的砂輪磨損也最為嚴重，前角γ和芯厚rc誤差均超過25%，已經完全不滿足加工要求。

表2 磨損砂輪位姿調整前磨削的螺旋槽輪廓點坐標測量值

圖12 調整前的螺旋輪廓磨削結果實測圖

根據調整前加工的螺旋槽輪廓曲線，采用本文第1 章所提出的方法計算磨損砂輪輪廓（圖13），得到砂輪輪廓點坐標見表3，磨損砂輪形狀如圖9所示。對比螺旋槽加工誤差，砂輪越靠近端面部分磨損越嚴重，且磨損看輪廓弧線曲率也越來越大，呈現不規則磨損狀態。

表3 反算得到的磨損砂輪輪廓點坐標值

圖13 反算的磨損砂輪輪廓圖

4.3 磨損砂輪的磨削位姿調整及結果分析

根據本文第3 章提出的磨損砂輪位姿優化算法，采用Visual Studio 2019 編寫圖7 所示的C++算法程序，算法參數設置、計算得到的砂輪磨削位姿見表4。將砂輪位姿生成砂輪磨削軌跡進行仿真加工，將砂輪磨削軌跡經后置處理生成機床加工NC 代碼，對銑刀螺旋槽進行磨削加工，仿真加工與實際加工結果如圖14 所示。分析加工結果可知，仿真加工的螺旋槽各參數誤差均在0.01%以下，由于實際加中機床誤差無法避免，實際加工的各項結構參數誤差均在1%以下，滿足加工需求。對比4.2 的加工結果可知，本文提出的磨損砂輪優化調整算法能有效解決砂輪加工過程中砂輪不斷磨損導致加工精度不足的問題。

表4 算法參數設置

圖14 調整后的螺旋槽截形仿真及實測圖

5 結語

（1）針對螺旋槽磨削過程中砂輪不規則磨損導致螺旋槽加工精度降低的問題，提出了一種計算磨損砂輪輪廓以及位姿優化的算法。

（2）對砂輪和螺旋槽之間的接觸線求解的數學原理進行了闡述，并通過砂輪的位姿對接觸線的求解區間做出預估，確保磨損砂輪輪廓求解的正確性，結果表明所求解的砂輪輪廓與實際磨損砂輪輪廓基本一致。

（3）采用粒子群算法針對磨損砂輪重新進行位姿優化，通過三刃平頭立銑刀進行磨削實際加工，最后對比了螺旋槽設計參數與實際加工的螺旋槽的參數的誤差大小，實際加工誤差均在2%以下，證明了該算法能夠滿足工程的需要。