基于半解析法的面銑削力系數快速標定與驗證＊

張 媛 陳榮榮

（西安交通工程學院機械與電氣工程學院，陜西 西安 710300）

銑削加工是常見的減材制造方式之一[1]，銑削加工具有加工效率高、應用范圍廣和加工精度好的特性[2-4]，廣泛應用于航空航天[5]、汽車模具[6]和石油機械[7]等領域。銑削力是銑削過程中重要的輸出參數，也是表面完整性、殘余應力和刀具磨損的重要影響因素[8-11]。同時，銑削力是選擇切削參數的依據，也是優化切削參數的關鍵。因此，有大量學者從事銑削力的預測研究[12-13]。

銑削力與切削參數、刀具幾何角度[14]和工件機械特性密切相關，其映射關系直接體現了銑削力的預測精度和效率。大量學者研究了銑削力的建模方法，用于構建銑削力解析模型[15-17]。Lee P 等利用材料的塑性變形理論，基于屈雷斯卡屈服準則，建立了銑削力解析模型[18]，該模型是基于基本的二維直角切削得到。Wang J 等進一步發展了文獻[18]的銑削力模型，構建了切削過程中材料的流動速度關系圖，給出了基于最小能量原理的剪切角計算方法[19]。高騰等基于赫茲接觸理論，建立了復合材料單纖維切削力模型[20]。Baker M 指出盡管上述模型[16-19]反映了銑削過程的刀具幾何參數和工件的物理屬性[21]，但銑削力系數的計算十分復雜，需要求解切屑流動角、法向摩擦角和法向剪切角，且該類解析模型依賴銑削加工實驗，否則無法得到相關參數值。因此，一些研究者嘗試使用其他方法預測銑削力。

隨著計算機技術的快速發展，有限元法求解銑削力引起一些學者的關注。有限元法是基于工件材料的邊界條件和本構方程，通過將工件離散為若干個微元，根據微元節點之間的相互關系和材料的塑性行為，構建大型稀疏矩陣。基于矩陣的大規模運算，進而得到銑削力。近些年，隨著計算能力的快速提升，有限元法在銑削力預測中的應用日漸廣泛[22-23]。有限元方法根據是否需要判定切屑分離分為歐拉法（Eulerian）[24]和拉格朗日法（Lagrangian）[25]。歐拉法不需要判定切屑分離，但是需要預判切屑的形狀，這兩種方法分別適用于不同的場合。Kim K W分析了加工中的流動應力，采用有限元探討切削力系數中摩擦因子的變化規律[26]。張耀滿等建立了球頭銑刀切削Ti-6Al-4V 的有限元仿真模型，研究了銑削力在時域的變化[27]。Gao H 進一步提出了拉格朗日-歐拉組合法，結合了拉格朗日法和歐拉法的各自特點[28]。然而，有限元仿真模擬在二維切削加工中效率尚可，三維加工的模擬效率較低，但現實中的銑削加工均為三維加工。因此，對于復雜刀具和工件的加工，有限元法存在一定的不足。

Engin S 等提出了平均銑削力系數的概念[29]。一些學者采用數據處理的辦法，將銑削力表示為系數的指數函數。王剛等使用改進的粒子群模糊系統獲取指數銑削力模型的未知參數，并采用鈦合金進行銑削加工實驗，結果表明預測的切削力和實驗值誤差較小[30]。丁悅等將銑削力系數表示為切削參數的多項式函數[31]。王海艷等基于全因子實驗，研究了復合材料螺旋銑削瞬時切削力系數的識別方法[32]。劉顯波等提出了多目標優化算法求解銑削力系數[33]。上述方法均基于銑削加工實驗，采集大量的數據并使用算法處理。智能優化算法求解復雜，需要迭代更新。本文提出面銑削力系數的半解析法，基于矩陣運算直接求解銑削力系數。

1 刀齒微元的銑削力建模

銑削包括平面銑、銑槽和仿形銑削，平面銑削加工十分常見，面銑削是其他復雜銑削加工的基礎；多軸復雜銑削加工的基本力學機理是面銑削的擴展和延伸。因此，研究面銑削是深入研究其他銑削加工的前提，平面銑削過程如圖1 所示。

圖1 平面銑削示意圖

銑削加工是一個斷續切削過程，圖1 中刀具有四個刀齒，刀具旋轉一周，刀齒按時間序列依次切入工件。刀具沿著自身軸線做旋轉運動，同時沿著進給方向移動，銑刀刀齒的運動包括旋轉運動和進給運動，刀尖點的運動軌跡為周期性的擺線運動。逆銑削通常用于精加工。圖1 中用垂直于刀具軸線的平面截切刀具和工件，得到沿著刀具軸向的微元，微元受到的銑削力如圖2 所示。在刀具的旋轉中心建立刀具坐標系x-y-z，坐標系的原點o位于刀具底端面的旋轉中心，x軸垂直于工件表面并指向工件內部，y軸與刀具進給方向相同，z軸正方向是x軸和y軸的矢量積方向。任意瞬時刀齒所在的位置與x軸的夾角定義為嚙合角θ，微元受到的銑削力為切向力(θ)、徑向力(θ) 和軸向力(θ)。

圖2 刀具受力示意圖

從圖2 可知，刀齒剛開始切入工件的未變形切屑厚度為零，隨著刀具的旋轉和進給，未變形切屑厚度逐漸增加。任意瞬時刀齒的嚙合角為θ，刀齒j的第i個微元受力可以表示為[29]

式中：θ為嚙合角，（°）；Ktc為切向力系數，N/mm2；Kfc為徑向力系數，N/mm2；Krc為軸向力系數，N/mm2；bi,j為微元的軸向寬度，mm；hi,j為微元的瞬時未變形切屑厚度，mm；Kte為切向刃口力系數，N/mm；Kfe為徑向刃口力系數，N/mm；Kre為軸向刃口力系數，N/mm。

已有的研究表明[34]，在銑削加工中刃口力系數很小，故刃口力很小。因此，對于一般的常規銑削加工，刀具的刃口力可以忽略不計，則式（1）可以簡化為

式中的瞬時未變形切屑厚度hi,j(θ)可以表示為

式中：c為每齒進給量，mm/f。

根據銑削加工時機床設定的進給速度，可以計算得到每齒進給量c。刀齒微元的接觸寬度根據式（4）得到：

式中：Lz為刀具的軸向切深，mm；n為微元數，刀具微元劃分得越精細，n的取值越大。

在銑削加工中，現有的實驗設備只能測量沿著機床主軸方向的切削力，故將微元力投影到刀具坐標系x-y-z下，則投影后的力為

銑刀的齒間角 θa是相鄰兩個刀齒切入工件的相位差，齒間角與刀齒數相關，其表達式為

沿著刀具的軸線方向，各個方向微元的總銑削力為

由式（7）可知，總銑削力是全部微元力的疊加。其中，切向力直接影響機床所需的功率。刀具受到的總銑削力合力為

2 銑削力系數的快速標定

2.1 銑削力系數的標定方法

傳統的銑削力系數計算需要求解剪切角、摩擦角和切屑流動角，由于多個參數相互耦合，剪切角的計算十分困難。本節提出基于矩陣運算的切削力系數快速標定方法，根據機床-刀具-工件的特性可知，銑削力是設置切削參數的約束條件。由式（2）可得，銑削力的預測需要首先求解銑削力系數Ktc、Kfc和Krc。根據式（5）可以推導出：

則第j個刀齒受到的銑削力可以表示為

對式（10）進一步化簡，整理為幾何參數與系數矩陣的形式：

式（11）的第一個矩陣反應了銑削中幾何參數對切削力的影響，主要由切削深度和每齒進給量共同影響；第二項為銑削力系數，主要由工件的物理特性、屈服極限以及刀具的幾何特性影響，式（11）簡記為

銑刀所處的位置不斷變化，其嚙合角也隨之改變，任意瞬時對應的銑削力為

式（13）簡記為

基于矩陣的計算規則，銑削力系數矩陣K可表示為

式中：右端力矩陣F可由測力儀測量得到，矩陣A由刀具幾何角度和切削參數計算得到。通過銑削實驗，可以求解得到銑削力系數。

2.2 峰值銑削力系數的修正

銑削加工是斷續切削，切削力隨著時間周期性變化。隨著切削力從零開始逐漸增大，刀具和工件的振動更加劇烈，在切削力的峰值處，刀具和工件的振動最為劇烈，振動將進一步導致切削力發生變化。切削力峰值對刀具壽命、加工誤差和變形程度影響極大。由于振動和切削力相互耦合在一起，理論上很難直接分離振動引起的切削力。因此，引入修正因子對式（15）進行修正，使得預測的切削力峰值和真實值更接近。式（15）引入修正因子ξq(q=t,f,r)，則有

函數 ξq(q=t,f,r)只對切削力峰值進行修正，在刀齒的其他切削階段為常數1，則系數 η為

3 實驗標定系數及銑削力驗證

銑削力實驗使用的測力儀為Kislter 9367C，數據采樣為三通道，X軸和Y軸方向的靈敏度為-7.6 pc/N，X和Y方向的量程為0～10 kN；Z軸方向的靈敏度為-3.9 pc/N，Z方向的量程為0～60 kN。實驗使用的信號放大器為Kislter8050A，放大器零飄低于0.15 mA，實驗過程的采樣頻率為10 kHz。數據采集器為DEWESOFT X3，通道數為8，數據實時顯示的計算機為DELL G15 5520。機床為三軸立式銑床，刀柄為機械鎖緊刀柄，銑削時不使用冷卻液。刀具幾何參數見表1，使用兩種規格的刀具進行銑削加工實驗。為了保證刀具的安裝精度，加工前將刀具安裝到刀柄，在機外用瑞士Evoset AG 公司生產的TOOL MASTER 對刀儀對刀具進行校準，以減小刀具的安裝誤差和偏心。

表1 刀具幾何參數

工件材料為航空Al 7075，工件尺寸為100 mm×100 mm×50 mm，工件材料的物理特性見表2。銑削方式為逆銑削加工，逆銑加工中刀具受到工件的作用力遠離工件的已加工表面，故精加工中常采用逆銑加工。

表2 工件材料的物理特性

銑削力的測量設備連接如圖3 所示。在銑削過程中，工具受力傳遞到測力儀，測力儀通過壓電效應傳遞信號。刀具受到的力經過放大器和數據采集器最終傳輸到計算機，經過計算機處理得到實時銑削力。為了保證實驗的準確性，工件安裝完畢后，用刀具首先去除材料表面的余量，對工件表面進行精加工預處理。切削時要保證刀具軸向深度均勻一致，以消除工件安裝誤差，同時防止工件表面存在的氧化皮導致預測不準。

圖3 實驗設備連接圖

切削過程中使用的銑削參數及銑削方式見表3，第1～2 組為實驗標定銑削力系數，第3～4 組為對標定的銑削力系數進行檢驗。

表3 切削參數

通過改變每齒進給量和軸向切深，用測力儀分別測量實時銑削力。刀具#1 銑削力隨旋轉角度的變化如圖4 所示。銑削是周期性的力，刀具銑削力在一個周期內交替變化，其余時間均是第一個周期的延續，故圖4 只給出了一個完整周期內銑削力的變化。

圖4 刀具#1 銑削力變化圖

實驗測量的刀具#2 銑削力的變化如圖5 所示，圖5 中銑削力出現明顯的斷續，主要是刀具結構引起的。刀具#2 只有兩個刀齒，一個周期中只有一半的時間處于工作狀態。兩個刀齒相位差為180°，故嚙合角在90°～180°沒有銑削力。由圖4 和圖5可知：嚙合角從0°開始逐漸增大，銑削力隨之增加，達到峰值后逐漸減小；銑削力Fx最大，Fz最小，在平面銑削過程中力Fx為主切削力。

圖5 刀具#2 銑削力變化圖

刀具#1 銑削合力隨嚙合角的變化如圖6 所示。通過圖6a 和圖6b 對比可知：銑削合力的圖形變化趨勢一致，圖6b 的銑削力峰值明顯高于圖6a，表明隨著銑削深度和每齒進給量的增加，銑削合力增大。因此，銑削力與切削深度和每齒進給量呈正相關。

圖6 刀具#1 總銑削力變化圖

圖7 所示為刀具2 銑削力合力隨嚙合角的變化圖，可以看出在刀具旋轉的一個周期內，嚙合角為0°～90°和180°～270°范圍內存在銑削力；圖7b的銑削力峰值高于圖7a，這是軸向切深和進給量增大引起的，單位時間切除的材料體積增加。因此，切削參數增大引起銑削力升高。

圖7 刀具#2 總銑削力變化圖

根據式（15），基于測量的銑削力可以推導出刀具#1 和刀具#2 的銑削力系數，見表4。從表4 銑削力系數可知，切向力系數最大，銑削加工軸向力較小。刀具#1 的銑削力系數與刀具#2 的銑削力系數不同，這是刀具的其他幾何參數不同導致的。

表4 銑削力系數

使用基于表4 得到的銑削力系數預測銑削力。使用不同的每齒進給量和銑削深度進行實驗檢驗，見表3 中的3～4 組參數，分別進行銑削加工實驗。刀具#1 銑削力預測值和實驗值的對比如圖8 所示，刀具#2 銑削力預測值和實驗值的對比如圖9 所示。通過實驗值和預測值，可以得到實驗3 切削力系數的修正因子ξq(q=t,f,r)分別為1.14、1.08 和1.05；實驗4 切削力系數的修正因子 ξq(q=t,f,r)分別為1.17、1.09 和1.06。

圖8 刀具#1 銑削力預測值和實驗值對比

圖9 刀具#2 銑削力預測值和實驗值對比

刀具#1 銑削力合力預測值和實驗值的對比如圖10 所示。由圖10 可知，銑削力合力的預測值和實驗值接近。銑削合力在嚙合角為90°、180°、270°時非連續變化，從最大值直接變為0。以嚙合角90°為例，刀具嚙合角在接近90°時，銑削力逐漸增加到最大值；達到90°時當前工作的刀齒離開工件進入非切削區，下一個鄰近的刀齒進入切削區開始切削工件，故銑削力出現突然變化。

圖10 刀具#1 總銑削力預測值和實驗值

圖11 所示為刀具#2 銑削力合力預測值和實驗值的對比圖。刀具#2 只有兩個刀齒，故在一個周期中嚙合角在90°～180°和270°～360°銑削力為零，即不存在銑削力，刀具處于非切削狀態。圖11b 銑削力峰值比圖11a 銑削力峰值大，這主要是銑削參數增大，刀具嚙合的材料增多導致的。

圖11 刀具#2 總銑削力預測值和實驗值

由圖8～11 可知：銑削力的預測值和實驗值接近。各次實驗測量的銑削力和預測值的最大相對誤差見表5，刀具#1 銑削力Fx、Fy和Fz預測值和實驗值最大相對誤差分別為10.1%、11.4%和9.2%；刀具#2 銑削力Fx、Fy和Fz預測值和實驗值最大相對誤差分別為9.5%、8.7%和9.4%。因此，本文提出的直齒面銑削加工的銑削力系數快速標定方法精度較高。

表5 銑削力預測值和實驗值的誤差

4 結語

本文建立了銑削力系數的快速標定方法，通過分析刀具軸向微元的受力，得到總銑削力的表達式。基于實驗數據得到銑削力系數，并進行實驗驗證。基于標定的銑削力系數，設定不同的切削參數進行銑削力的預測，并對銑削力峰值力系數進行了修正。一系列的銑削實驗表明：銑削力的預測值和實驗值接近，相對誤差小。本文研究可以得到以下主要結論：

（1）基于本文的銑削力標定方法，預測的銑削力Fx、Fy和Fz最大誤差分別為10.1%、11.4%和9.4%。因此，本文提出的標定方法具有較高的預測精度和可信度。

（2）切向力系數Kt最大，徑向力系數Kr最小，切向力系數Kt是進給力系數Kf的2.37 倍。因此，面銑削中的主要切削力來自切向力，銑削加工中應控制切向力的峰值，以便減小刀具磨損和零件變形。

（3）切削深度從1 mm 增加到2.5 mm，每齒進給量從0.1 mm/f 增加到0.25 mm/f，銑削合力F增加6.64 倍。隨著切削參數的增大，銑削力增加。因此，銑削力與切削參數正相關。