蝸桿砂輪磨削齒向修形齒面扭曲補償研究＊

田曉青 武眾磊 周 蕾 游通飛 韓 江 夏 鏈

（①合肥工業大學機械工程學院，安徽 合肥 230009；②安徽省智能數控技術及裝備工程實驗室（合肥工業大學），安徽 合肥 230009）

蝸桿砂輪磨齒是齒輪精加工的常用工藝之一，具有高效率、高精度等特點。為了改善齒輪的工作性能，例如載荷分布、嚙合沖擊、工作噪聲和潤滑等，通常需要進行齒面修形[1]。然而蝸桿砂輪磨齒工藝在磨削帶齒向修形的斜齒輪時會出現齒面扭曲現象[2]，降低齒面精度和傳動精度，因此要調整和補償齒面扭曲。

常用的齒面修形方法分為齒廓修形[3]、齒向修形[4]和拓撲修形。Litvin F L 等[5]通過計算機設計、嚙合仿真、應力分析等驗證了在傳動方面修形齒輪優于未修形齒輪。Tran V T 等[6]將滾刀的對角進給運動設為橫向運動的二階函數，改變滾刀的齒向壓力角得到雙導程滾刀，驗證了在接觸和傳動性能方面雙導程滾刀加工出的齒輪優于傳統滾刀加工的。?mrek H 等[7]通過齒向修形讓齒面壓力分布更加均勻，發現修形齒輪在嚙合區域的磨損深度接近均勻。Korta J A[8]等研究了三種模型的適用性，通過找到齒形的最優幾何修改數值，降低了齒輪傳動誤差和齒面接觸應力。綜上，齒面修形可以提高齒輪的接觸性能和傳動性能。

齒面扭曲補償方法可以分為優化砂輪、修形曲線、機床軸附加運動量三類。Graf W 等[9]通過改變砂輪形狀引進特定扭曲抵消齒面扭曲。李國龍等[10]將齒向鼓形修形曲線分成三部分，調整每部分曲線的比例因子和鼓形量降低齒面扭曲。何坤等[11]建立X軸、Y軸、C軸附加運動量與齒面扭曲的數學模型，優化軸運動量，消減齒面扭曲。KISSsoft 的工程師[12]在KISSsoft 中獲得齒面扭曲值，通過額外的齒面修形量抵消齒面扭曲。

砂輪的優化過程時間長、價格高，而且砂輪的有效使用率低，優化修形曲線存在齒面扭曲補償效果有限等不足。對機床主從運動軸施加附加運動量，不僅可以實現齒面扭曲的補償，而且可以克服優化砂輪的缺點。前人通過補償機床運動軸消減齒面扭曲的研究還存在著機床軸補償不全面，未考慮運動軸的聯動等問題。本研究在前人的基礎上，基于柔性電子齒輪箱對主從運動軸施加附加運動量，實現齒面扭曲補償。

1 齒面扭曲產生原因及數學模型

1.1 齒面扭曲產生原因

如圖1 所示，齒面扭曲是指在齒向鼓型修形中，齒輪端截面廓形沿齒向發生扭轉的現象。蝸桿砂輪磨削齒輪時，在嚙合過程中會形成大量接觸跡，并且同一條接觸跡上的磨削量相等。對于漸開線直齒齒面或常規加工的漸開線斜齒齒面，由于齒面磨削量相同，不會產生齒面扭曲現象，而齒向修形齒面由于沿著齒向方向截面內磨削量不同，會造成齒面扭曲。

圖1 齒面扭曲示意圖

如圖2 所示，以齒向鼓形修形齒面為例，假設修形曲線是拋物線，因為同一條接觸跡上的磨削量相等，則B1點的磨削量與P1點的相等，C1點的磨削量與P2點的相等，所以P點所在截面（B1PC1）的磨削量不相等。同理，齒向任意截面的齒面磨削量都不相等，因此齒面發生扭轉。在齒輪兩端，齒向修形量最大，修形曲線切線斜率最大，齒面扭轉量最大，可以將齒面最大扭轉量定義為齒面扭曲值。

圖2 齒面扭曲產生原因[12]

1.2 齒面模型的建立

圖3 所示為齒輪端截面的廓形，包括齒頂圓弧AB、漸開線BC、齒根過渡圓弧CD、齒根圓弧DE。以齒輪圓心為坐標原點O建立坐標系XOY，豎直向上為X軸正向，水平向右為Y軸正向，C點為漸開線起點，B點為漸開線終點，δ為OE與X軸正向夾角，rb為基圓半徑，?為展角θ與壓力角α的和。

圖3 齒輪端截面廓形

以左側齒面為例，漸開線的參數方程為

將漸開線BC繞著齒輪軸線螺旋旋轉得到漸開線齒面[13]：

式中：φ為漸開線繞著齒輪軸線旋轉的角度。

對 ? 和 φ求偏導后外積可得到曲面的單位法向量ng(?,φ)表達式：

假設齒向鼓形修形曲線方程為G=ρ(pφ-b/2)2，ρ為拋物線系數，b為齒寬，φ為漸開線繞著齒輪軸線旋轉的角度，p=rb/tanβb為螺旋參數，所以齒向鼓形修形齒面方程為

其中：Δφ=G/rb。對其中的兩個變量 ?、φ求偏導得到齒向鼓形修形齒面法向量ng′(?,φ)：

1.3 砂輪表面模型的建立

圖4 所示為齒輪和砂輪的空間嚙合坐標系，坐標系S(O-X,Y,Z)與S p(Op-Xp,Yp,Zp)是空間固定坐標系，坐標系S1(O1-X1,Y1,Z1)與S2(O2-X2,Y2,Z2)分別 與砂輪、齒輪固聯，Z1軸、Z2軸分別與砂輪、齒輪回轉軸線重合，OOp=a是中心距，Σ是軸交角，OO1=LY是砂輪沿其自身軸線的移動距離，OpO2=LZ是砂輪沿著齒輪軸線的移動距離，這里用齒輪沿著自身軸線的移動距離表示。

圖4 砂輪、齒輪嚙合坐標系

在S2(O2-X2,Y2,Z2)下，空間嚙合坐標系中某點的 相對 速度v12[14]：

式中：ω1、ω2分別為砂輪和齒輪角速度；vY、vZ分別為Y軸、Z軸的移動速度。

從而得到嚙合方程：

由漸開線的性質可知：

在 ΔOMT中，

式中：r為瞬時接觸點到齒輪回轉軸線的距離，在區間[rf,ra]均勻變化[15]；rf為齒根圓半徑；ra為齒頂圓半徑。由此可求出每個時刻的 ?，再代入嚙合方程就可求出每個時刻的 (?,φ)。

2 齒面扭曲的補償原理

2.1 機床運動學建模

齒輪加工機床采用的是重慶機床集團的YW7232CNC 磨齒機，結構簡圖如圖5 所示。參照磨齒機各軸的相對位置關系，建立相鄰軸間的坐標變換關系如圖6 所示，并且求得坐標變換矩陣。

圖5 主要軸示意圖

圖6 坐標變換關系

根據齊次坐標變換得到砂輪坐標系到工件坐標系的坐標變換矩陣：

MCO、MXO、MZX、MAZ、MYA、MBY分別是床身到C軸、床身到X軸、X軸到Z軸、Z軸到A軸、A軸到Y軸、Y軸到B軸的變換矩陣。φA、φB、φC、LX、LY、LZ分別表示A軸、B軸、C軸、X軸、Y軸、Z軸的運動量，φB=ω1t，φC=ω2t。

2.2 基于電子齒輪箱的齒面扭曲補償

電子齒輪箱可以取代機床內聯傳動鏈，保持多個運動軸實現定速比、變速比聯動關系。電子齒輪箱的結構分為主從式和并行式，因為蝸桿砂輪磨齒時，主軸參與聯動，轉速大，還有嚴格的位置和速度要求，所以本文將主從式和并行式電子齒輪箱組合使用?；陔娮育X輪箱的齒面扭曲補償原理如圖7 所示。各軸 理論運動量 φBM、φCM、lXM、lYM通過電子齒輪箱施加附加量（ΔφB、ΔφC、ΔlX、ΔlY、ΔlZ）獲得各軸實際運動量 φBA、φCA、lXA、lYA、lZA。

圖7 齒面扭曲補償原理

蝸桿砂輪磨齒機電子齒輪箱的B軸、C軸、Y軸、Z軸聯動關系[16]為

式中：nB、nC分別為B軸、C軸的轉速；Z1、Z2分別為砂輪頭數和齒數；β、λ分別為齒輪螺旋角和刀具安裝角，deg，齒輪右旋時螺旋角為正，左旋時螺旋角為負；mn為法面模數，mm。

kB、kZ、kY為常量，砂輪右旋時kB=1，砂輪左旋 時kB=-1 ；當vZ＜0、β ＞0 時，kZ=1 ；當vZ＜0、β ＜0 時，kZ=-1 ；當vZ＞0、β ＞0 時，kZ=-1；當vZ＞0、β ＜0 時，kZ=1 ；當vY＞0 時，kY=1；當vY＜0 時，kY=-1。

令砂輪在S1(O1-X1,Y1,Z1) 下的位姿PB為

式中：NX、NY和NZ分別為S1(O1-X1,Y1,Z1)坐標系下的砂輪X軸、Y軸和Z軸法向量，xt、yt和zt分別為S1(O1-X1,Y1,Z1)坐標系下的砂輪坐標。

則：

用 φBM、φCM、lXM、lYM、lZM表示與齒向鼓形 修形齒面位姿對應的主從動軸運動量，分別代入MBC和式（6）與式（7）中的 φB、φC、LX、LY、LZ，得到：

得到嚙合方程為

由式（4）～式（14）通過運動學逆解[16]解得φBM、φCM、lXM、lYM、lZM。

同樣地，對于扭曲齒面，可以測量出齒面坐標，求出齒面法向量，從而求出與扭曲齒面位姿對應的主從動軸運動量 φBT、φCT、lXT、lYT、lZT。

將齒向鼓形修形齒面位姿與扭曲齒面位姿對應的主從動軸運動量相減便能得到主從運動軸的附加運動量，見式（15）。主從運動軸附加運動量可在通過機床虛擬軸實現。

補償齒面扭曲時，φBT、φCT、lXT、lYT、lZT分別加上各自的附加運動量作為實際運動量，見式（16），其中ki(i=1,2,3,4,5)是補償系數，并且可以取不同值。

3 數值實例驗證

基于Matlab 的數值實例仿真驗證上述理論和模型的正確性，采用的齒輪和砂輪基本參數見表1，利用KISSsoft 軟件計算出該參數下齒輪的合適鼓形量Cp為21.65 μm。圖8 所示為齒向鼓形修形曲線，可以求得拋物線系數 ρ 為 -5.41×10-5。

表1 基本參數

圖8 齒向鼓形修形曲線

齒面網格化時，為了使嚙合區域集中在中間，避免齒根、齒頂的接觸以及齒輪倒棱工藝的影響，齒頂、齒根分別縮進工作齒高的5%，齒輪兩端分別縮進齒寬的5%，齒面網格化得到5×9 個點。齒向鼓形修形齒面仿真結果如圖9 所示，以左齒面為例，齒向鼓形修形齒面相對于標準漸開線齒面的法向偏差見表2。

表2 齒向鼓形修形齒面法向偏差 μm

圖9 齒向鼓形修形齒面

扭曲齒面根據扭曲值大小公式[17]C=(8CpLαtanβb)/b構造，其中 βb為基圓螺旋角，Lα為漸開線長度，b為齒寬。扭曲齒面仿真結果如圖10 所示，齒面扭曲在齒向修形斜齒齒面的齒根和齒頂扭曲值最大。以左齒面為例，扭曲齒面相對于標準漸開線齒面的法向偏差見表3。

表3 扭曲齒面法向偏差 μm

圖10 扭曲齒面

齒面扭曲補償結果仿真如圖11 所示，當補償主從動軸運動量時，在圖11a、11b、11c 中補償系數ki(i=1,2,3,4,5)分別為0.5、1、1.5，意味著圖11a、11b、11c 分別代表欠補償、理想補償、過補償。

圖11 補償結果

如圖9～圖11 的仿真結果所示，扭曲齒面經過欠補償和過補償，雖然齒面扭曲得到一定抑制，但是法向偏差值依然偏離齒向鼓形修形齒面法向偏差值，補償效果欠佳。理想補償的齒面效果最好，所以我們在實際補償過程中要盡量接近理想補償。

4 齒面接觸分析

構建一個單級齒輪副傳動系統，基本參數見表4所示。在齒輪分析軟件KISSsoft 中分別建立上述標準漸開線齒面、齒向鼓形修形齒面、扭曲齒面和補償后的齒面，以左齒面為工作齒面進行齒面接觸分析，參數設置見表5，結果得到圖12～圖15 所示的齒面法向力和接觸應力分布。

表4 單級齒輪副基本參數

表5 齒面接觸分析基本參數

圖12 標準齒面的法向力（左）和接觸應力（右）

圖13 齒向鼓形修形齒面的法向力（左）和接觸應力（右）

圖14 扭曲齒面的法向力（左）和接觸應力（右）

圖15 理想補償后的齒面的法向力（左）和接觸應力（右）

根據圖12～圖15 的分析結果，標準漸開線齒面經過齒向鼓形修形以后，最大法向力從145.635 N/mm 降到了117.450 N/mm，最大接觸應力從622.564 N/mm2降到了559.533 N/mm2。齒面發生扭曲以后，最大法向力升到了182.696 N/mm，最大接觸應力升到了675.087 N/mm2。經過理想補償后的齒面，最大法向力降到了124.672N/mm，最大接觸應力降到了558.210 N/mm2。

由圖16 和圖17 可知，扭曲齒面的法向力較為集中，且數值較大，經過理想補償之后，齒面法向力分布均勻，數值減小。比較齒向鼓形修形齒面和理想補償后齒面的法向力和接觸應力，兩者的嚙合性能基本相同，實現了扭曲補償的預期效果。

圖16 扭曲齒面的法向力分布

圖17 理想補償后的齒面法向力分布

5 齒面扭曲機床加工實驗驗證

在重慶機床集團生產的YW7032 數控萬能磨齒機上進行加工驗證，如圖18 所示。加工沒有扭曲補償和帶有扭曲補償的齒向修形齒輪，分別進行齒面檢測并生成齒面檢測報告，從而驗證齒面扭曲現象以及本文研究方法對齒面扭曲現象的抑制效果。

圖18 YW7032 磨齒機

加工采用的金剛輪和蝸桿砂輪如圖19 所示，其基本參數見表6。

表6 金剛輪和蝸桿砂輪基本參數

圖19 刀具

圖20a 所示為待加工齒輪，精度為7 級。該齒輪經過滾齒加工和高頻淬火，其基本參數和表1 一致。

圖20 修形前后的齒輪

在機床上進行齒向修形齒輪的加工。齒向修形界面如圖21a 所示，在齒向修形選項中輸入齒向修形齒輪的數據H（修形曲線長度）、HH（修形曲線總長度的一半）、LL（修形曲線斜率）和LC（修形曲線鼓形量）。本次修形選擇的修形曲線是拋物線，H為40 mm，HH為20 mm，LL為0，LC為0.02 mm。圖20b 所示為沒有扭曲補償的齒向修形齒輪，在齒輪檢測儀——哈爾濱精達JE32 齒輪測量中心上生成檢測報告，如圖22 所示。

圖21 齒面設計

圖22 齒面檢測報告

圖21b 所示為扭曲齒面補償界面。對齒向鼓形加工齒面和帶有扭曲補償的齒向鼓形加工齒面的1a、1b 和1c 這3 個截面進行測量，獲得齒面檢測報告，如圖22 所示。由齒面檢測報告可以看到，同一齒面的齒廓傾斜偏差fHα同時出現正負，說明有齒面扭曲現象的存在。

靠近齒輪兩端的齒面扭曲現象最嚴重，所以用齒面1a 和1c 處的fHα之差的絕對值來表示齒面扭曲程度。經過齒面扭曲公式計算的齒面扭曲值為20.7 μm。圖22 中，齒向鼓形加工左齒面的扭曲值為27.3 μm，右齒面的扭曲值為26.5 μm，與計算值接近；帶有扭曲補償的齒向鼓形加工左齒面的扭曲值為12.4 μm，右齒面的扭曲值為14 μm。通過對比可以看出，齒面扭曲補償后，齒面扭曲程度降低，齒面精度提高。

6 結語

（1）詳細分析了齒面扭曲的產生機理，建立漸開線斜齒面和齒向鼓形修形齒面模型。

（2）利用齊次坐標變換建立了砂輪與標準齒輪、齒向鼓形修形齒輪以及齒面扭曲齒輪之間的變換矩陣，根據齒輪嚙合和運動學逆解得到了基于電子齒輪箱的齒面位姿與主從動軸運動量之間的關系，通過對主從運動軸施加附加運動量，實現對齒向修形扭曲齒面的補償，Matlab 仿真說明該方法具有有效性和正確性。

（3）在考慮電子齒輪箱的同時補償了主從動軸的運動量，保證了B軸、C軸、Y軸、Z軸在加工過程中的聯動關系，提高了齒面扭曲補償的可靠性和精度。

（4）在YW7032 磨齒機上加工了沒有扭曲補償和具有扭曲補償的齒向鼓形修形齒輪，生成齒輪檢測報告，證明了齒向鼓形加工齒面會有扭曲現象產生，經過扭曲補償的齒輪，扭曲程度降低。