基于多尺度核模糊聚類的圖像分割算法

龍建武,陳 都

(重慶理工大學 計算機科學與工程學院, 重慶 400054)

0 引言

圖像分割作為圖像處理的主要分支,廣泛應用于醫學圖像、遙感圖像、目標檢測和視頻影像處理等領域[1]。目前主要分割算法有閾值[2]、聚類[3]、邊緣檢測[4]、區域提取[5]等。在聚類方法中模糊聚類,由于其原理簡單、收斂速度快,并且具有比硬聚類算法[6]保留更多的原始圖像信息的優點而備受青睞,成為了當下運用在圖像分割上最廣泛的聚類算法之一。

Bezdek等[7]基于模糊理論集提出了模糊C-均值(fuzzyC-means,FCM)聚類算法。經過實驗驗證,傳統的FCM算法對噪聲非常敏感,Ahmed等[8]引入鄰域項來修改目標函數,提出基于空間信息的FCM算法,改善了FCM算法的抗噪能力,但過程中需要反復迭代計算鄰域信息,導致計算效率低。為了解決這個問題,Chen等[9]提出了FCM_S1和FCM_S2算法,將像素用中心像素的鄰域均值或中值來替換,降低了算法的時間復雜度。考慮到待處理的數據不完全處于線性空間,所以Chen等[9]在FCM_S1與FCM_S2的基礎上通過高斯核函數把輸入模式空間映射到一個高維特征空間,將聚類轉化到高維特征空間中進行,提出基于新核誘導距離測度的空間約束FCM算法,延伸了算法的可擴展性。Szilagyi等[10]提出增強型FCM算法,由原始圖像和每個像素的局部鄰域平均灰度級形成線性加權和圖像,將其轉化為基于灰度直方圖信息的圖像分割,加快了灰度圖像的聚類過程。

在這些算法中都涉及經驗參數的設定,而其取值往往是復雜和不確定的。于是Krinidis等[11]基于局部空間信息提出了FLICM算法,避免了人為設定正則化參數,提高了算法的自適應能力。Gong等[12]在FLICM算法上利用高斯核度量來替代歐式距離,同時利用像素的空間信息和局部方差來修改局部模糊因子,提出了基于核函數的局部FCM算法,對圖像數據的優化處理和抑制噪聲的能力都有所增強。Zhao等[13]利用局部上下文信息和結構信息提出了一種鄰域加權FCM算法,在沒有噪聲先驗知識的情況下也能給出更準確的距離度量。Guo等[14]提出了基于噪聲檢測的FCM算法,通過測量灰度級的局部方差來自動調整參數,采用2種圖像濾波方法,既能去除噪聲又能保留細節信息。雖然像素的鄰域信息已經被不斷考慮,但忽略了相應隸屬度的鄰域信息,有助于提高分類效果,而HMRF[15]考慮了當前隸屬度的先前狀態,是解決該問題的常用算法。Chatzis等[16]利用鄰域像素的標簽來估算中心像素的先驗概率,提出HMRF-FCM算法。上述算法因引入局部空間信息增加了計算復雜度,因此Lei等[17]通過形態學重建[18]和隸屬度濾波來解決該問題,提出一種快速穩健的FCM算法。該算法存在難以計算彩色圖像的直方圖的問題。所以Lei等[19]繼續利用超像素作為預處理,提出一種基于超像素的快速FCM算法,以極低的計算成本來分割彩色圖像。Wu等[20]為了克服KWFLICM對高噪聲圖像敏感的缺點,提出基于局部信息的核化Bregman散度的FCM算法,將具有多項式核度量的TBD引入其中,降低了被不均勻噪聲污染的圖像分類錯誤率。像素級和區域級信息也被廣泛地進行結合使用,Guo等[21]提出一種像素級和區域級信息融合的隸屬度規范化模糊聚類圖像分割算法。構建一個新的矩陣來存儲和呈現圖像空間信息作為先驗,并且在算法的迭代中使用固定的聚類中心,結果顯示出比最先進的聚類方法更好的分割結果。Zhao等[22]提出一種用于多目標的魯棒模糊聚類算法。開發了像素和區域級適應度函數來綜合考慮圖像中的空間約束和區域一致性,在彩色圖像和磁共振圖像上都證實了該算法的性能。

通過分析及實踐發現,雖然上述算法各具優勢,但運用模糊聚類進行圖像分割依然存在以下問題:① 噪聲依然是影響分割精度的主要因素;② 大多數算法的分割效果始終依賴經驗參數的選擇;③ 適用于非線性處理的方法不多。針對以上問題,本文中提出一種基于多尺度核模糊聚類的圖像分割算法。打破傳統單一尺度濾波,對圖像構建多尺度空間。將濾波后的圖像從上至下依次進行模糊聚類,平衡了高斯濾波對圖像噪聲的抑制效果。其次,將局部空間信息和權重信息引入到模糊平衡因子中,避免了空間距離無法反映當像素點被噪聲污染后對其中心像素的影響。接著,引入高斯核度量來增大聚類的線性可分概率。最后,對隸屬度進行全局和局部加權,不斷修正隸屬度。

1 基于核的模糊聚類算法(KFCM)

為解決非線性問題并提高算法抗噪能力,文獻[9]提出了一種基于核函數的FCM算法,用內核誘導距離替換FCM中的歐式距離,其目標函數如式(1)所示。

(1)

(2)

式中:σ為函數的帶寬。對式(1)進行拉格朗日求導,隸屬度和聚類中心計算如式(3)所示。

(3)

(4)

2 多尺度核模糊聚類算法

為提高算法對重度噪聲污染和異常值的魯棒性,提出一種基于多尺度核模糊聚類的圖像分割算法,算法流程如圖1所示。

圖1 基于多尺度核模糊聚類圖像分割算法流程框圖

2.1 目標函數

在聚類算法中使用歐式距離進行像素度量,對被噪聲污染和對比度低的圖像非常敏感,容易陷入局部極小值,無法得到全局最優解[23]。為解決上述問題,受文獻[9]的啟示,用高斯核空間距離替換傳統歐式距離,從而解決非線性問題的同時增強算法的抗噪性能。部分算法分割性能受一些參數的影響,而參數的選取通常需要大量的實驗計算。為了克服該問題,本文算法利用局部信息和亮度信息來自動調整權衡參數,以提高算法的可擴展性。由于FLICM算法所提出來的空間距離約束1/(1+dij),存在各鄰域點對中心點的影響都是相同的局限性。

(5)

(6)

(7)

圖2 鄰域窗口示意圖

(8)

(9)

帶寬σ設置為di的方差,則有:

(10)

聚類準則是求目標函數的最小值,式(11)利用拉格朗日乘子法進行求解,其隸屬度計算如下:

(11)

2.2 隸屬度的修正

在模糊聚類算法中隸屬度函數的計算有著至關重要的意義。圖像的一個重要特征是相鄰像素之間的緊密聯系,即相鄰像素屬于同一集群的可能性很大,此空間關系在模糊聚類算法中不容小覷,若圖像中存在大量異常值時,可能會誤分。為進一步提高分割精度,基于式(12)所計算出的隸屬度,利用鄰域隸屬度對當前隸屬度進行二次修正,以便再次調整聚類中心,其定義如式(13)所示。

(13)

式中:Ωi表示像素點i的鄰域,|Ωi|表示其大小。于是,由改進的隸屬度更新出聚類中心vk的值為:

(14)

2.3 多尺度魯棒聚類

由于噪聲污染一直是圖像分割的主要障礙,因此學者們不僅在約束項上做了改進,在圖像預處理上也進行了嘗試。高斯濾波作為一種線性平滑濾波,被廣泛用于去除圖像噪聲。部分算法將濾波融入模糊聚類的算法中,在單一尺度上進行,容易造成小尺度上平滑不夠,大尺度上平滑過度的問題。不同尺度的高斯濾波會得到不同模糊度的圖像,其作用是抑制圖像非重要的特征,凸顯圖像的重要特征。為平衡高斯濾波對圖像噪聲的抑制作用,提出一種基于多尺度的魯棒聚類算法,將給定圖像與設置的高斯濾波器進行循環卷積操作,得到相應尺度下的濾波圖像。

I(k)=I(k-1)*GFσ

(15)

式中:I(k)表示經第k尺度高斯濾波后輸出的圖像;I(k-1)表示前一次濾波結果;GFσ表示高斯濾波器,其函數定義為:

(16)

基于所提出的多尺度魯棒聚類算法過程為:首先對初始圖像依次進行給定尺度的高斯濾波,對濾波后的圖像從上至下進行改進后的模糊聚類算法,更新隸屬度和聚類中心直到收斂。利用已更新好的隸屬度和聚類中心來指導第二層的圖像聚類,不斷進行迭代直到輸出最終聚類結果,整個過程如算法1所示。

算法1基于多尺度核模糊聚類的圖像分割算法

輸入:圖像I

輸出:圖像聚類結果

初始化:設定尺度計數k=0,窗口大小w,I(k)←I,給定聚類類別數c,n是像素個數,隨機初始化隸屬度矩陣U(k)。

1.給定尺度因子σ和尺度數N,利用式(15)對圖像構建高斯尺度空間;

2.對圖像I(k)計算聚類中心V(k);

3.對圖像I(k)根據式(6)計算加權模糊因子wij;

4.根據式(12)更新隸屬度矩陣U(k);

6.根據式(14)更新聚類中心V(k);

8.k←k-1,如果k≥1,轉向執行步驟3,否則輸出聚類結果。

3 實驗結果及分析

將KFCM[9]、HMRF-FCM[16]、FLICM[11]、NWFCM[13]、KWFLICM[12]、NDFCM[14]、FRFCM[17]和TKWFLICM[20]8種模糊聚類算法與本文算法在相同環境下進行實驗。整個實驗需要設置3個參數,分別是模糊指數m=2,收斂條件ε=0.000 1,最大迭代次數100。算法的局部窗口大小為3×3,在FRFCM中,用于多元形態重構的SE窗口和隸屬度濾波的窗口大小均為3×3。NDFCM的空間權重因子為λs=3,灰度權重因子為λg=5,標度因子為λa=3,NWFCM的灰度權重因子為λg=5。TKWFLICM的多項式核函數取值為a=1,b=105,d=2。本文算法在人工合成圖像上的尺度個數為3,BSDS500和MRSC環境下的尺度個數為2。

3.1 實驗環境及數據集

實驗的測試環境如下:Windows 10,四核3.10 GHz的CPU和8 GB內存,Matlab 2018b進行算法編程設計。為驗證算法的有效性,選取非均勻合成圖像以及BSDS500和MSRC這2個自然圖像數據集進行多組實驗。BSDS500數據集是伯克利大學提供用于圖像分割和物體邊緣檢測的數據集,包含500張大小為481×321或者321×481的自然圖像。MSRC是微軟公司提供的覆蓋23個類,包含591張大小為320×213或213×320的自然圖像。

3.2 評價指標

采用以下8種評價指標客觀評價各算法的性能,分別是劃分系數Vpc[24]、劃分熵Vpe[25]、分割精度(SA)[26]、概率邊緣指數(PRI)[27]、重疊比率(CV)[28]、邊界位移誤差(VI)[29]、全局一致性誤差(GCE)[30]、變化信息(BDE)[31]。當Vpc越接近1,Vpe越接近0。VI、GCE和BDE的值越小,SA、PRI和CV的值越大,則圖像分割效果越理想。

3.3 合成圖像實驗

為驗證本文算法在圖像被重度噪聲污染的情況下的分割效果,首先對比了2幅大小分別為256×256和244×244的人工合成圖像。圖3—圖6分別展示了合成圖像1和2在不同強度的椒鹽噪聲和均值為0的高斯白噪聲下的分割結果。通過分割結果可以看出,各算法在低噪聲環境下都能表現出良好的分割效果,但隨著噪聲強度的增加,各算法表現出了明顯差異。KFCM、HMRF-FCM、FLICM和NWFCM算法對兩類噪聲都非常敏感。KWFLICM、NDFCM和FRFCM對兩類噪聲表現出一定的抗噪能力,但是對于高強度的高斯白噪聲在圖像復雜的情況下較為敏感。TKWFLICM的分割結果僅次于本文算法,具有良好的抗噪能力。可以觀測出本文算法在低噪聲和高噪聲下都保留更多的圖像細節,有明顯的分割優勢。

圖3 合成圖像1在椒鹽噪聲下各算法的分割結果

圖5 合成圖像2在椒鹽噪聲下各算法的分割結果

利用評價指標繪制出數據結果,圖7—圖10分別是合成圖像1和2在4種椒鹽噪聲和高斯白噪聲下的Vpc和Vpe曲線。可以看出,在高斯白噪聲下各算法的Vpc和Vpe曲線下降趨勢更明顯。KFCM、HMRF-FCM、FLICM以及NWFCM對噪聲都很敏感,KWFLICM、NDFCM和FRFCM的走向趨勢相近。TKWFLICM變化趨勢與本文相似,本文算法在噪聲強度不斷增加的情況下保持穩定分割。

圖7 合成圖像1椒鹽噪聲下的Vpc和Vpe曲線

圖8 合成圖像1高斯白噪聲下的Vpc和Vpe曲線

圖10 合成圖像2高斯白噪聲下的Vpc和Vpe曲線

表1和表2分別展示了各算法在2幅合成圖像上的分割精度。KFCM對重度噪聲依然敏感,HMRF-FCM、FLICM和NWFCM僅使用鄰域窗口將局部空間信息合并到目標函數中,對被低密度噪聲破壞的圖像有效,但對于高密度噪聲損壞的圖像分割結果并不理想。NDFCM對于已知的噪聲分割有一定的抗噪能力,KWFLICM利用更多的局部空間信息來改善分割結果,獲得了較高的分割精度。TKWFLICM利用多項式核函數對TBD進行核化,分割精度高于前7種算法。可以看出,在對比的模糊聚類圖像分割算法中,本文的算法可以獲得最滿意的結果。

表1 合成圖像1上的分割精度(SA)

表2 合成圖像2上的分割精度(SA)

3.4 自然圖像實驗

在MSRC和BSDS500這2個自然圖像數據集上進行實驗,如圖11所示,可以看出各算法在前景和背景有明顯差異的圖像上都是有效的。對于背景復雜的圖像如第4行所示,各算法都出現了大量小區域。盡管NDFCM和FRFCM使用改進的圖像濾波方法獲得了比KFCM、HMRF-FCM、FLICM、NWFCM以及KWFLICM更好的分割結果,但依然存在被誤分割的情況。TKWFLICM在自然圖像上對于背景復雜的圖像有良好的分割能力,可以看出本文算法在4幅自然圖像上的分割準確度最高,因此本文算法在復雜背景情況下依舊能夠對圖像進行較為準確的分割。

本文在使用BSDS500和MSRC這2個自然圖像數據集上與各算法進行對比分析。在實驗中,對于BSDS500中的圖像,聚類數c為2～6,而對于MSRC中的圖像,聚類數c為2～4。表3和表4分別展示的是本文算法與其余模糊聚類算法在2個數據集上的平均性能。

可以看出,在自然圖像數據集上,KFCM、FLICM、NWFCM以及KWFLICM的PRI、CV、VI和GCE值相似。NDFCM與HMRF-FCM的平均性能相似。由于FRFCM算法考慮形態學重建和隸屬度濾波,于是在PRI和BDE這兩方面優于前面的算法。TKWFLICM算法開辟了新的度量方式,比KWFLICM算法的精確更高。本文算法在2個數據集上PRI、CV、VI和GCE的值都優于其他對比算法,對于背景條件復雜的圖像分割存在很大的分割優勢。

表4 MSRC數據集上的平均性能

3.5 尺度選擇討論

為驗證本文算法中濾波尺度數的大小對分割結果的影響,在BSDS500和MRSC這2個自然圖像數據集上進行不同尺度的聚類實驗。平均性能如表5和表6所示,從各項指標的統計結果可以看出,2個數據集對于尺度數從2到4,其結果變化并不是很敏感。尺度數越大,下降趨勢越大,尺度過小達不到平滑效果,過大會非常耗時并且過度平滑,不利于分割。

表5 BSDS500圖像上不同尺度(N)的分割平均性能

表6 MRSC圖像上不同尺度(N)的分割平均性能

4 算法復雜度分析

執行時間是衡量算法性能的一個重要指標,因此對不同算法的計算復雜度進行分析。如表7所示,各算法的復雜度主要由兩部分組成,一部分來自于每個像素的局部空間信息的計算,另一部分來自于算法的迭代。n為像素總數,c為聚類數,t為迭代次數,w為局部窗口的大小,q為圖像的灰度級數,N為尺度個數。

可以看出,KFCM不適用任何鄰域窗口,計算復雜度最低。NDFCM的相鄰信息是提前計算的,計算復雜度相對較低。FLICM、NWFCM、KWFLICM和TKWFLICM在每次迭代中需要重復計算相鄰信息,導致計算復雜度較高。HMRF模型使用的先驗概率需要在每次迭代中計算,所以HMRF-FCM計算復雜度較高。NDFCM和FRFCM在圖像分割過程中都只計算一次局部空間信息,因此計算復雜度較低。本文算法的時間復雜度主要由高斯濾波O(n×w)和模糊聚類算法O(n×c×t×w2)迭代組成,再乘以尺度數,在現有算法中計算復雜度處于中等,能夠滿足一定的實時性要求。

為了直觀地展示本文算法的運行效率,對分別受椒鹽噪聲和高斯白噪聲污染的合成圖像1與2在BSDS500和MSRC這2個自然圖像數據集進行測試,不同算法的平均運行時間如圖12所示,可以看出本文算法對自然圖像的分割時間略高于合成圖像,但是遠低于KWFLICM和TKWFLICM算法。因此,本文算法在分割精度和抗噪聲魯棒性方面均優于其他比較算法,該算法具有潛在的應用價值。

圖12 各算法的平均運行時間

5 結論

為解決被重度噪聲污染的圖像分割問題,采取多尺度方式構建模糊空間。利用上層圖像對噪聲不敏感和下層圖像保留更多圖像細節信息的特性,反向進行模糊聚類,為下層提供了一個有效的初始值。通過重構模糊因子,有效地抑制了噪聲像素的干擾,同時避免了參數設置。結合鄰域信息對隸屬度進行二次修正。通過與其他算法的實驗對比,本文算法能夠有效抑制高強度噪聲的干擾,有一定的實際應用價值。算法的最優尺度個數為2～4時,分割結果變化并不明顯,所以可以容易確定其最優尺度。不足之處在于聚類的個數是人為給定的,需要進一步優化,使其自動確認。算法的執行效率有待提升,后續將運用超像素結合等預處理工具來提升算法的運行效率。