一種用于激光跟蹤儀的無紋波最少拍控制器＊

毛帥，刁曉飛，王先強(qiáng)，周輝，李安琪

（1.山東理工大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，山東 淄博 255000；2.中國計(jì)量科學(xué)研究院幾何量計(jì)量科學(xué)研究所，北京 100029；3.中電裝備山東電子有限公司，山東 濟(jì)南 250000）

激光跟蹤儀具有速度快、精度高和測(cè)量范圍大的特點(diǎn)，在航天航空、汽車制造、電子工業(yè)及大尺寸計(jì)量等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用[1]。激光跟蹤儀是光機(jī)電一體化儀器設(shè)備，其運(yùn)動(dòng)跟蹤主要依靠俯仰和水平旋轉(zhuǎn)的2 部永磁伺服電機(jī)（PMSM）來實(shí)現(xiàn)。PMSM 伺服系統(tǒng)一般為位置環(huán)、速度環(huán)和電流環(huán)三閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)[2-3]，如圖1 所示。目前，PMSM 控制結(jié)構(gòu)中的電流環(huán)和速度環(huán)工程實(shí)現(xiàn)時(shí)都采用PⅠ控制器，而位置環(huán)采用P 調(diào)節(jié)器。這種工程的實(shí)現(xiàn)具有簡(jiǎn)易可行和強(qiáng)魯棒性等特點(diǎn)[4-5]。但是激光跟蹤儀需要有非常好的跟蹤精度，不然會(huì)引起跟蹤測(cè)量中斷并干涉測(cè)量誤差，常規(guī)的PMSM 三閉環(huán)控制系統(tǒng)不是完全適合激光跟蹤儀的應(yīng)用要求，所以需要設(shè)計(jì)跟蹤精度更高、跟蹤效果更好的PMSM 控制系統(tǒng)。

圖1 PMSM 三閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

本文中，筆者在使用常規(guī)電流環(huán)和速度環(huán)PⅠ控制器的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種能實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)無紋波最少拍狀態(tài)的位置環(huán)控制器，從而改進(jìn)常規(guī)的PMSM 三閉環(huán)控制系統(tǒng)，滿足激光跟蹤儀高精度和快速跟蹤的要求。

1 無紋波最少拍控制機(jī)理

具有數(shù)字控制器的離散控制系統(tǒng)如圖2 所示。圖2中，R（z）為參考輸入，E1（z）為系統(tǒng)誤差信號(hào)，D（z）為數(shù)字控制器，E2（z）為E1（z）經(jīng)D（z）后的誤差信號(hào)，G（z）為離散系統(tǒng)其他功能模塊傳遞函數(shù)整合在一起的傳遞函數(shù)，C（z）為實(shí)際輸出。

圖2 具有數(shù)字控制器的離散控制系統(tǒng)

該離散系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)分別為：

顯然，Φ（z）+Φe（z）=1，由式（1）和式（2）可求出數(shù)字控制器D（z），公式如下：

假設(shè)輸入為斜坡函數(shù)，則輸入R（z）可表示為：

式中：Kslope為斜坡函數(shù)斜率的數(shù)值；T為采樣時(shí)間的數(shù)值。

由此可得誤差信號(hào)E1（z）和E2（z），公式為：

一個(gè)采樣周期稱為一拍，經(jīng)過最少拍使誤差信號(hào)E1（z）為0，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的無穩(wěn)態(tài)誤差輸出，則此時(shí)的離散系統(tǒng)稱為最少拍系統(tǒng)；在最少拍系統(tǒng)基礎(chǔ)上，如果經(jīng)過有限拍后，使誤差信號(hào)E2（z）為固定值，將無紋波輸入到G（z），則此時(shí)的離散系統(tǒng)稱為無紋波最少拍系統(tǒng)。將E1（z）和E2（z）表示為z-1的多項(xiàng)表達(dá)式，即：

要實(shí)現(xiàn)離散系統(tǒng)的無紋波最少拍化，就是使式（7）和式（8）中的k1拍時(shí)刻及其以后所有時(shí)刻的e1為0，表明此刻跟蹤上了目標(biāo)位移；并且使公式中的k2拍時(shí)刻及其以后所有時(shí)刻的e2為固定值，表明此刻沒有紋波，從而可避免紋波對(duì)系統(tǒng)造成損耗。

PMSM 控制一般采用最大轉(zhuǎn)矩電流比的控制策略：d軸電流Id為0，主要控制q軸電流Iq，當(dāng)d軸電流確定后，電磁轉(zhuǎn)矩與q軸電流呈正比關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)電機(jī)的調(diào)速控制。根據(jù)PMSM 的電流方程、轉(zhuǎn)矩方程和運(yùn)動(dòng)方程，便可建立PMSM 控制系統(tǒng)的速度環(huán)和電流環(huán)仿真模型，如圖3 所示。圖3 中，Lq為q軸電感分量，s 為s 域算子，R為定子電阻，J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，B為阻尼系數(shù)，轉(zhuǎn)矩系數(shù)KL為1.5 倍的磁極對(duì)數(shù)Pn，總延遲時(shí)間Tc在控制中近似表示為一階慣性環(huán)節(jié)，30/π為速度單位rad/s 轉(zhuǎn)換為r/min 的單位換算系數(shù)。因?yàn)楦檭x的負(fù)載是固定不變且質(zhì)心對(duì)稱的，所以運(yùn)動(dòng)方程不用考慮負(fù)載轉(zhuǎn)矩；并且使用有功阻尼方式對(duì)速度環(huán)進(jìn)行PⅠ調(diào)節(jié)[6-7]，所以在速度環(huán)中添加了有功阻尼系數(shù)Ba。

圖3 PMSM 控制系統(tǒng)的速度環(huán)和電流環(huán)仿真模型

PMSM 控制系統(tǒng)的速度環(huán)和電流環(huán)都是采用PⅠ調(diào)節(jié)方式，因此，兩環(huán)整合在一起的閉環(huán)傳遞函數(shù)可以等效為一階低通濾波器（即使整合在一起的閉環(huán)傳遞函數(shù)不為一階低通濾波器形式，通過調(diào)整兩環(huán)的PⅠ調(diào)節(jié)器，也可將其變?yōu)橐浑A低通濾波器形式），該一階低通濾波器離散域（z變換）形式為：

式中：A為放大系數(shù)；a為負(fù)的極點(diǎn)值。

一階低通濾波器形式的響應(yīng)類似過阻尼響應(yīng)，響應(yīng)中沒有振蕩響應(yīng)變化。從激光跟蹤儀的實(shí)際測(cè)量角度來說，因?yàn)殡姍C(jī)運(yùn)動(dòng)控制過程中的跟蹤的抖動(dòng)振蕩會(huì)使干涉光斑重疊度變小或使光斑位置在其精確測(cè)量區(qū)域外，這會(huì)導(dǎo)致激光跟蹤儀中斷其測(cè)量并使位移測(cè)量誤差變大，因此激光跟蹤儀的運(yùn)動(dòng)控制只允許有微小振蕩，所以速度環(huán)和電流環(huán)整合在一起的閉環(huán)傳遞函數(shù)最適合整定為一階低通濾波器形式。由此可得PMSM 離散控制系統(tǒng)整體模型，如圖4 所示。

圖4 PMSM 離散控制系統(tǒng)

對(duì)比圖4 和圖2，可看出位置環(huán)控制器P（z）就是圖2 中的D（z），Gvi（z）、I（z）就是圖2 中的G（z），其中I（z）為積分環(huán)節(jié)，I（z）=（30/π）/（1－z-1），通過設(shè)計(jì)P（z）就能實(shí)現(xiàn)PMSM 無紋波最少拍控制。

激光跟蹤儀的跟蹤的任意運(yùn)動(dòng)軌跡可看成許多非常微小段線性位移的集合，在某時(shí)刻一個(gè)微小線性段中軌跡速度不變（該速度為軌跡在此刻對(duì)應(yīng)切線方向速度），在不同時(shí)刻不同運(yùn)動(dòng)速度的微小線段可以看成是不同斜率Kslope的斜坡函數(shù)。所設(shè)計(jì)的無紋波最少拍控制系統(tǒng)就是要實(shí)現(xiàn)在該線性段對(duì)應(yīng)的采樣時(shí)間內(nèi)使PMSM 跟蹤上實(shí)際軌跡位置點(diǎn)。取PMSM 離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)，分別為：

由式（10）、式（11）和式（3）可求出對(duì)應(yīng)的位置環(huán)控制器P（z），即：

此時(shí)E1（z）和E2（z）為：

由式（13）可看出控制系統(tǒng)第二拍后值為0，即表示跟蹤上了目標(biāo)；由式（14）可看出控制系統(tǒng)第三拍后變成固定值，即表示此時(shí)控制系統(tǒng)無紋波。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

這里使用圖4 模型進(jìn)行跟蹤仿真。其中，Lq=12 mH，R=0.958 Ω，J=0.003 kg·m2，B=0.008 N·s/m，KL=6，Pn=4，Tc=0.5 ms，Ba=0.013，另外磁鏈值為0.182 7 Wb，電流環(huán)的比例調(diào)節(jié)系數(shù)取31.68，積分調(diào)節(jié)系數(shù)取1 053.8，速度環(huán)的比例調(diào)節(jié)系數(shù)取0.058 8，積分調(diào)節(jié)系數(shù)取2.66。

在仿真之前要先確定輸入的斜坡函數(shù)最大斜率（即確定最大跟蹤速度）。如果輸入為單位斜坡函數(shù)，對(duì)應(yīng)激光跟蹤儀跟蹤速度為360°/s，對(duì)應(yīng)的在1 m 處的跟蹤線速度約為6.3 m/s，在10 m 處跟蹤線速度約為63 m/s，該速度已經(jīng)可以滿足現(xiàn)有的測(cè)量跟蹤場(chǎng)景。所以，這里確定仿真時(shí)所輸入斜坡函數(shù)的最大斜率為1。

圖5 為3 種斜率輸入時(shí)對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)及紋波情況（采樣時(shí)間為0.001 s）。由圖5 可看出，當(dāng)?shù)诙臅r(shí)輸出跟上了輸入響應(yīng)，并在第三拍后紋波消失，這與第二小節(jié)推導(dǎo)的最終結(jié)論一致。在跟蹤儀測(cè)量時(shí)，PMSM 旋轉(zhuǎn)多少角度（位置命令）是由光斑位置探測(cè)器測(cè)量決定的，光斑位置探測(cè)器采樣時(shí)間TPSD內(nèi)可認(rèn)為是速度不變的微小段線性位移。

圖5 3 種斜率輸入時(shí)對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)及紋波情況

另外，由圖5 可知，只要光斑位置探測(cè)器的采樣時(shí)間TPSD大于等于3 倍的控制系統(tǒng)采樣時(shí)間Tcon，就可以實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的無紋波最少拍狀態(tài)。

圖6 為單位頻率正弦軌跡跟蹤效果圖。由圖6 可看出，軌跡跟蹤效果很好，在采樣點(diǎn)（采樣時(shí)間TPSD=0.003 s）上完全地跟蹤上了命令。目前，PMSM控制系統(tǒng)中的位置環(huán)一般為比例調(diào)節(jié)器，如果將圖4模型的P（z）（公式（12））換成比例調(diào)節(jié)器，其3 種不同比例值對(duì)應(yīng)的單位頻率正弦軌跡跟蹤效果如圖7 所示。相較圖6，圖7 的跟蹤效果明顯較差，當(dāng)比例較小時(shí)會(huì)存在延遲跟蹤現(xiàn)象，比例較大時(shí)會(huì)出現(xiàn)超量和欠量跟蹤交替出現(xiàn)的振蕩式跟蹤效果。如果是一般的PMSM 控制應(yīng)用，小幅度振蕩式的跟蹤現(xiàn)象是可以接受的，但是在激光跟蹤儀應(yīng)用中，這種情況極易引起跟蹤測(cè)量中斷并干涉測(cè)量誤差。

圖6 單位頻率正弦軌跡跟蹤圖

圖7 3 種不同比例值對(duì)應(yīng)的單位頻率正弦軌跡跟蹤圖

3 結(jié)束語

針對(duì)激光跟蹤儀測(cè)量跟蹤時(shí)快速性和高精度的要求，筆者設(shè)計(jì)了一種能實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)無紋波最少拍狀態(tài)的位置環(huán)控制器，改進(jìn)了常規(guī)的PMSM 三閉環(huán)控制系統(tǒng)，使PMSM 控制系統(tǒng)能以最少采樣周期跟蹤上運(yùn)動(dòng)軌跡，而且能避免紋波干擾造成系統(tǒng)損耗。通過仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該系統(tǒng)相較常規(guī)的PMSM 三閉環(huán)控制系統(tǒng)具有明顯的跟蹤優(yōu)越性。