基于非線性干擾觀測(cè)器的模糊自適應(yīng)滑模控制

馬振九,夏春明,2,趙彤彤,章 悅,曹港生,康高峰

(1.華東理工大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院,上海 200237; 2.上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院,上海 201620;3.南通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 南通 226019)

0 引言

據(jù)《中國(guó)卒中報(bào)告2019》最新數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示,卒中已經(jīng)超越心血管疾病成為我國(guó)致死致殘的首要原因,并呈現(xiàn)年輕化的趨勢(shì)[1]。偏癱患者需要對(duì)患肢進(jìn)行康復(fù)訓(xùn)練。傳統(tǒng)的康復(fù)訓(xùn)練會(huì)耗費(fèi)醫(yī)師大量時(shí)間和精力[2]。康復(fù)外骨骼機(jī)器人作為結(jié)合了康復(fù)醫(yī)學(xué)、智能制造與人工智能等前沿科技的產(chǎn)物,為解決當(dāng)下存在的問題提供了新的思路,已成為研究熱點(diǎn)[3]。

在康復(fù)外骨骼機(jī)器人的相關(guān)研究中,控制是重要的研究?jī)?nèi)容。控制效果的優(yōu)劣直接影響著康復(fù)訓(xùn)練的效果。穿戴式上肢康復(fù)外骨骼機(jī)器人各自由度之間高度耦合,具有很強(qiáng)的非線性,并受到建模誤差、傳感器信號(hào)誤差、內(nèi)外界干擾等多種因素的影響。這給精確跟蹤期望運(yùn)動(dòng)軌跡帶來了極大的挑戰(zhàn)[4]。針對(duì)這些問題,近年來國(guó)內(nèi)外的學(xué)者也提出了不同的解決方案。

初期患者肌肉殘余力量不足,需要外骨骼提供完全的助力。此時(shí)宜采用軌跡跟蹤的被動(dòng)控制方法,由外骨骼帶動(dòng)患側(cè)完成醫(yī)師規(guī)劃好路徑的康復(fù)動(dòng)作。目前,被動(dòng)控制策略主要針對(duì)比例積分微分(proportional integral differential,PID)控制[5]、滑模控制[6]和模糊控制[7]等方法進(jìn)行研究。Ahmed等[8]設(shè)計(jì)了名為SREx的七自由度上肢外骨骼機(jī)器人,采用PID控制器為不同受試者提供各種上肢鍛煉方法。該方法控制結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)固定,如果考慮系統(tǒng)非線性不確定性,控制效果會(huì)下降。Riani等[9]提出了1種終端滑模控制策略。該策略的跟蹤誤差可以在有限時(shí)間收斂至零,具有極強(qiáng)的魯棒性;此外,通過Lyapunov證明了其穩(wěn)定性和收斂性,但抖振問題仍然存在。Li等[10]設(shè)計(jì)了模糊控制算法,將摩擦項(xiàng)和干擾項(xiàng)合并之后進(jìn)行逼近,但外骨骼機(jī)器人系統(tǒng)復(fù)雜,所設(shè)計(jì)的模糊規(guī)則過多會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過大,不利于實(shí)際控制方法的實(shí)現(xiàn)。

基于上述研究,本文針對(duì)外骨骼機(jī)器人存在多種干擾、控制系統(tǒng)抗干擾性能差、傳統(tǒng)滑模控制抖振較大以及軌跡追蹤精確性低的問題,提出了1種基于干擾觀測(cè)器的模糊自適應(yīng)滑模控制方法。本文設(shè)計(jì)了模糊自適應(yīng)方法對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中的摩擦項(xiàng)進(jìn)行估計(jì),并設(shè)計(jì)了非線性干擾觀測(cè)器補(bǔ)償外界慢時(shí)變干擾的力矩。在此基礎(chǔ)上,本文結(jié)合利用雙曲正切函數(shù)、特殊非線性fal函數(shù)設(shè)計(jì)的新型趨近律,設(shè)計(jì)了基于非線性干擾觀測(cè)器的模糊自適應(yīng)滑模控制器,對(duì)上肢康復(fù)外骨骼機(jī)器人系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了期望運(yùn)動(dòng)軌跡的準(zhǔn)確追蹤。仿真試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性。

1 康復(fù)機(jī)器人結(jié)構(gòu)及其動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)人體結(jié)構(gòu)以及上肢運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)[11],本文設(shè)計(jì)了四自由度上肢康復(fù)外骨骼機(jī)器人。

四自由度上肢康復(fù)外骨骼機(jī)器人的4個(gè)關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)于肩關(guān)節(jié)屈曲/伸展(關(guān)節(jié)3)、 肩關(guān)節(jié)外展/內(nèi)收(關(guān)節(jié)1)、大臂內(nèi)旋/外旋(關(guān)節(jié)2)以及肘關(guān)節(jié)屈曲/伸展(關(guān)節(jié)4)。考慮到傳統(tǒng)上肢康復(fù)外骨骼機(jī)器人只能針對(duì)或左或右固定一側(cè)進(jìn)行康復(fù)訓(xùn)練,本文所設(shè)計(jì)的外骨骼結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性,可以通過拆卸和組裝轉(zhuǎn)換康復(fù)訓(xùn)練的方向,使1臺(tái)設(shè)備適配左右兩側(cè)手臂,以滿足不同患者的需求。四自由度上肢康復(fù)外骨骼機(jī)器人結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 四自由度上肢康復(fù)外骨骼機(jī)器人結(jié)構(gòu)

在完成運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)上,本文采用拉格朗日方法建立動(dòng)力學(xué)模型,對(duì)外骨骼機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算。拉格朗日算子計(jì)算式為:

L=K-P

(1)

式中:K為外骨骼機(jī)器人系統(tǒng)的總動(dòng)能;P為系統(tǒng)的總勢(shì)能。

關(guān)于總動(dòng)能以及總勢(shì)能的計(jì)算可參考文獻(xiàn)[12],本文中不再贅述。

本文將拉格朗日算子代入拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程,則:

(2)

根據(jù)所求力矩可以得到四自由度上肢康復(fù)外骨骼機(jī)器人的理想動(dòng)力學(xué)模型:

(3)

本文機(jī)器人關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié),因此τ∈R4。

結(jié)合工程實(shí)際,由于關(guān)節(jié)副之間存在多種摩擦力矩,同時(shí)外骨骼受到來自外界的慢時(shí)變干擾力矩,本文在理想動(dòng)力學(xué)模型中加入摩擦項(xiàng)以及慢時(shí)變干擾項(xiàng)。動(dòng)力學(xué)模型如下。

(4)

所建立的外骨骼機(jī)器人模型為之后控制的試驗(yàn)仿真奠定了理論基礎(chǔ)。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型具有以下性質(zhì)。

①性質(zhì)1M(q)矩陣有上下界:

(5)

式中:λmin、λmax分別為M(q)的最小特征值和最大特征值。

(6)

2 新型復(fù)合控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)第1節(jié)計(jì)算獲得的外骨骼機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型,本文提出結(jié)合模糊自適應(yīng)控制、非線性干擾觀測(cè)器以及滑模控制的新型復(fù)合控制方法,設(shè)計(jì)了基于非線性干擾觀測(cè)器的模糊自適應(yīng)滑模控制。該控制方法由干擾補(bǔ)償項(xiàng)和滑模控制項(xiàng)構(gòu)成。干擾補(bǔ)償采用主動(dòng)抗干擾的策略對(duì)系統(tǒng)存在的干擾進(jìn)行估計(jì)并加以抑制。與傳統(tǒng)的反饋控制相比,加入干擾補(bǔ)償?shù)目刂品椒軌蛴行б种茢_動(dòng)。

本節(jié)對(duì)外骨骼的補(bǔ)償分為2個(gè)部分,分別為模糊自適應(yīng)補(bǔ)償和非線性干擾觀測(cè)器補(bǔ)償。由于外骨骼機(jī)器人受到多種干擾,傳統(tǒng)控制方法無法對(duì)預(yù)期運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行準(zhǔn)確跟蹤,從而無法保證外骨骼控制系統(tǒng)的魯棒性。因此,考慮到多種不確定因素,本文先通過模糊自適應(yīng)補(bǔ)償器對(duì)庫(kù)倫摩擦、粘性摩擦等摩擦部分進(jìn)行估計(jì),再利用干擾觀測(cè)器對(duì)外部慢時(shí)變干擾進(jìn)行估計(jì),并分別進(jìn)行力矩補(bǔ)償。此外,滑模控制是1種非線性控制方法,具有較強(qiáng)的抗參數(shù)攝動(dòng)性,對(duì)于外骨骼建模精度要求不高,但存在抖振嚴(yán)重的問題。因此,本文通過設(shè)計(jì)新型趨近律以及滑模控制器,減小抖振并提高控制器的響應(yīng)速度。

2.1 針對(duì)摩擦項(xiàng)的模糊自適應(yīng)補(bǔ)償

Chen[13]提出1種非線性干擾觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法。但該方法針對(duì)的慣性矩陣必須滿足特殊形式,因此有很大的局限性。Mohammadi[14]對(duì)該方法進(jìn)行改進(jìn),提出1種可以同時(shí)逼近摩擦干擾以及外界慢干擾的方法。本文外骨骼機(jī)器人有4個(gè)關(guān)節(jié),每個(gè)關(guān)節(jié)輸入量為3,每個(gè)輸入變量設(shè)計(jì)5條隸屬度函數(shù),共有512=244 140 625條規(guī)則。計(jì)算量過大不利于控制器的實(shí)際運(yùn)用。為減少模糊規(guī)則總數(shù)、提高運(yùn)算效率,本文分別對(duì)摩擦干擾部分和外界干擾部分進(jìn)行補(bǔ)償。此外,機(jī)器人系統(tǒng)中摩擦干擾不屬于慢時(shí)變干擾,通過非線性干擾觀測(cè)器逼近效果不佳[15],因此在設(shè)計(jì)非線性干擾觀測(cè)器前必須通過模糊補(bǔ)償來逼近摩擦項(xiàng)干擾,以減少模糊規(guī)則的數(shù)量、提高運(yùn)算效率,并增強(qiáng)系統(tǒng)的抗干擾能力。

模糊系統(tǒng)具有萬能逼近特性,通常情況下定義其輸出形式如下。

Y=ξT(x)Θ

(7)

式中:x、Y分別為輸入與輸出;ξ(x)為回歸向量;Θ為參數(shù)向量。

回歸向量表示為ξ(x)=[ξl(x),…,ξm(x)]T。l、m分別為隸屬度函數(shù)數(shù)量以及模糊規(guī)則數(shù)目。ξl(x)又稱基函數(shù)。本文中,回歸向量表示為:

(8)

常見的隸屬度函數(shù)有高斯型、梯形以及三角形等。本文選取高斯型隸屬度函數(shù)。高斯形隸屬度函數(shù)曲線如圖2所示。

圖2 高斯型隸屬度函數(shù)曲線

本文定義qd為期望軌跡關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)角度,則軌跡跟蹤誤差為:

e=q-qd

(9)

本文定義滑模函數(shù)為:

(10)

式中:Λ=diag(Λ1,Λ2,Λ3,Λ4),且Λ為正定矩陣。

為求解輸出值,必須對(duì)模糊推理得到的模糊矢量進(jìn)行解模糊化。本文采用乘積推理機(jī)、單質(zhì)模糊器以及中心平均解模糊器,得到4個(gè)關(guān)節(jié)的摩擦補(bǔ)償值:

(11)

通過以上模糊自適應(yīng)補(bǔ)償器的設(shè)計(jì),可以抵消摩擦項(xiàng)對(duì)于外骨骼機(jī)器人的干擾,從而提高系統(tǒng)的抗干擾性能。

2.2 針對(duì)慢時(shí)變干擾項(xiàng)的干擾觀測(cè)器

(12)

本文將干擾估計(jì)導(dǎo)數(shù)值寫成以下形式:

(13)

對(duì)式(12)求導(dǎo),得:

(14)

誤差方程為:

(15)

(16)

非線性函數(shù)向量p為:

(17)

式中:X為可逆矩陣,可通過線性矩陣不等式求解。

(18)

本文對(duì)式(17)求導(dǎo)后,結(jié)合式(16)、式(18)可得:

(19)

因此,本文設(shè)計(jì)以下非線性干擾觀測(cè)器。

(20)

由第1節(jié)可知,慣性矩陣M(q)為正定矩陣。為了判定非線性觀測(cè)器的穩(wěn)定性,取Lyapunov函數(shù)為:

V0=KTXTM(q)XK

(21)

對(duì)式(21)求導(dǎo),得:

(22)

線性不等式為:

(23)

式中:Γ為正定矩陣,Γ>0。

因此,式(22)可轉(zhuǎn)換為:

(24)

K(t)=K(t0)exp[-L(q)·t]

(25)

由式(25)可知,外骨骼機(jī)器人受到外界干擾時(shí),非線性干擾觀測(cè)器是穩(wěn)定的,并可有效、快速收斂。

2.3 滑模控制器的設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)的滑模控制在一定程度上能夠追蹤期望軌跡,但其本質(zhì)上存在的動(dòng)態(tài)非線性會(huì)使得控制量存在很強(qiáng)的抖振。這一問題增加了能量的消耗,且對(duì)于硬件系統(tǒng)的安全以及控制系統(tǒng)的控制精度都不利。因此,需要設(shè)計(jì)新的非線性滑模趨近律來改善傳統(tǒng)滑模控制在受到干擾的情況下抖振嚴(yán)重的問題。

(26)

非線性函數(shù)為:

(27)

式中:0<α<1;δ為影響趨近速度的常數(shù),又稱為邊界層寬度。

本文提出的新型滑模趨近律為:

(28)

2.4 控制律設(shè)計(jì)及其穩(wěn)定性分析

結(jié)合計(jì)算力矩法、模糊自適應(yīng)補(bǔ)償器、非線性干擾觀測(cè)器以及新型滑模趨近律,本文設(shè)計(jì)的控制律為:

(29)

對(duì)滑模函數(shù)求導(dǎo):

(30)

因此,有:

(31)

設(shè)計(jì)系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)為:

(32)

(33)

Lyapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)值小于等于0,為半負(fù)定。根據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)可知,如果輸入力矩為有界函數(shù),則控制器是穩(wěn)定的,系統(tǒng)誤差漸進(jìn)穩(wěn)定。通過對(duì)摩擦補(bǔ)償以及干擾觀測(cè)器對(duì)外界干擾的實(shí)時(shí)辨識(shí)估計(jì),能夠減小滑模控制中切換增益矩陣的值,且設(shè)計(jì)的新型趨近律可以進(jìn)一步降低機(jī)器人快速運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的抖振問題的影響,從而提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 控制系統(tǒng)仿真試驗(yàn)

3.1 控制仿真參數(shù)設(shè)定

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制方法的有效性,本文在Matlab/Simulink環(huán)境下對(duì)存在摩擦項(xiàng)以及外界慢時(shí)變干擾的上肢康復(fù)外骨骼機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行仿真。

根據(jù)人體上肢結(jié)構(gòu)以及尺寸,上肢康復(fù)外骨骼機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 上肢康復(fù)外骨骼機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)

根據(jù)前文所述:模糊自適應(yīng)補(bǔ)償器中,Λ=diag(10,10,10,10)、ρi=[0.000 1,0.000 5,0.002 3,0.000 4]′;非線性干擾觀測(cè)器中,可逆矩陣X=diag(0.538 2,0.592 1,0.618 3,0.632 6);滑模控制器中,α=0.25、δ=0.10、W=diag(6,6,6,6)、η=2、β=0.015、K=diag(500,500,500,500)。

4個(gè)關(guān)節(jié)的初始位置參數(shù)為q=[q1,q2,q3,q4]′=[0.5,0.2,0.4,-0.2]′。

本文設(shè)系統(tǒng)期望運(yùn)動(dòng)軌跡為qd1=0.3cos(t)、qd2=0.3sin(t)、qd3=0.3cos(t)、qd4=0.3sin(t)。其中,qd1、qd2、qd3、qd4分別為4個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角度。

3.2 仿真結(jié)果及分析

為驗(yàn)證本文所提控制方法的有效性,本文增添對(duì)照組。控制器1通過傳統(tǒng)線性滑模控制方法對(duì)期望運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行跟蹤仿真,在控制器中不采用模糊自適應(yīng)控制器、非線性干擾觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)中的不確定項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)。控制器2為在線性滑模控制器中加入模糊自適應(yīng)補(bǔ)償器以及非線性干擾觀測(cè)器。控制器3采用本文所設(shè)計(jì)的復(fù)合控制方法。

①位置追蹤分析。

為驗(yàn)證本文控制方法的有效性以及優(yōu)越性,對(duì)比控制器1、控制器2、控制器3這3種控制方法,對(duì)其分別進(jìn)行軌跡追蹤仿真。

軌跡追蹤位置曲線仿真結(jié)果如圖 3所示。

圖3 軌跡追蹤位置曲線仿真結(jié)果

圖3中展示的3種控制方法都能夠在一定程度上完成軌跡追蹤的任務(wù)。由圖3可知,在控制器中加入模糊自適應(yīng)補(bǔ)償以及非線性干擾觀測(cè)器補(bǔ)償后,關(guān)節(jié)能夠準(zhǔn)確地跟蹤期望軌跡,誤差非常小,幾乎為0;而沒有加入補(bǔ)償?shù)姆椒ㄔ谲壽E跟蹤中存在一定的跟蹤誤差以及相位誤差。

為進(jìn)一步比較3種控制器的控制結(jié)果,本文繪制軌跡跟蹤誤差曲線。不同控制方法下的軌跡跟蹤誤差曲線如圖4所示。

圖4 不同控制方法下的軌跡跟蹤誤差曲線

由圖 4可知,基于非線性干擾觀測(cè)器的模糊自適應(yīng)滑模控制方法可以有效地提高控制系統(tǒng)的魯棒性。當(dāng)外界存在多種摩擦以及慢時(shí)變干擾,相比于其他2種傳統(tǒng)控制方法,本文提出的控制方法可以使外骨骼機(jī)器人以較快速度從初始位置趨近期望軌跡,從而提高響應(yīng)速度。采用新型復(fù)合控制方法減小了干擾對(duì)于軌跡跟蹤的影響,大幅提高了軌跡追蹤的精度,并改善了傳統(tǒng)滑模控制抖振嚴(yán)重的現(xiàn)象。這能夠滿足上肢康復(fù)外骨骼機(jī)器人的高精度軌跡追蹤的控制要求。

②摩擦項(xiàng)的模糊自適應(yīng)補(bǔ)償分析。

本文采用模糊自適應(yīng)補(bǔ)償?shù)姆椒?對(duì)系統(tǒng)受到的摩擦進(jìn)行估計(jì),并將估計(jì)值反饋給控制系統(tǒng),以降低系統(tǒng)受到摩擦的干擾。4個(gè)關(guān)節(jié)的摩擦項(xiàng)補(bǔ)償曲線如圖5所示。

圖5 4個(gè)關(guān)節(jié)的摩擦項(xiàng)補(bǔ)償曲線

由圖5可知,模糊自適應(yīng)項(xiàng)逼近摩擦項(xiàng)設(shè)定值的速度較快,且逼近精度較高,極大程度地提高了控制系統(tǒng)的魯棒性。

③非線性干擾觀測(cè)器分析。

本文所設(shè)計(jì)的非線性干擾觀測(cè)器可以針對(duì)上肢康復(fù)外骨骼機(jī)器人慢時(shí)變擾動(dòng)進(jìn)行逼近。4個(gè)關(guān)節(jié)的非線性干擾觀測(cè)器補(bǔ)償曲線如圖 6所示。

圖6 4個(gè)關(guān)節(jié)的非線性干擾觀測(cè)器補(bǔ)償曲線

由圖6可知,所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器可以有效地對(duì)干擾進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì),并以較高的精度逼近系統(tǒng)干擾量。在機(jī)器人受到外界力矩干擾的情況下,控制系統(tǒng)將觀測(cè)器估計(jì)量作為補(bǔ)償值,反饋給控制器的觀測(cè)信號(hào)有效地克服了快速運(yùn)動(dòng)中的抖振問題,提高了系統(tǒng)控制精度,以及系統(tǒng)整體的抗干擾性。

為進(jìn)一步比較3種控制策略的結(jié)果,本文將控制結(jié)果數(shù)據(jù)化,統(tǒng)計(jì)上述3種方法能夠穩(wěn)定跟蹤曲線的時(shí)間(ts)以及穩(wěn)定之后的最大跟蹤誤差。不同控制策略數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。

表 2 不同控制策略數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

綜上所述,采用傳統(tǒng)滑模控制方法,且在控制器中不加入模糊自適應(yīng)控制器以及非線性干擾觀測(cè)器時(shí),收斂時(shí)間較長(zhǎng)且跟蹤誤差較大;加入力矩補(bǔ)償?shù)?個(gè)部分之后,跟蹤誤差明顯下降,收斂時(shí)間也有所縮短;采用基于非線性干擾觀測(cè)器的模糊自適應(yīng)滑模控制后,精度提高了1個(gè)數(shù)量級(jí)甚至更高,同時(shí)進(jìn)一步縮短了收斂時(shí)間,從而大大提高了整個(gè)康復(fù)外骨骼機(jī)器人控制系統(tǒng)的魯棒性。

4 結(jié)論

針對(duì)外骨骼機(jī)器人系統(tǒng)的不確定性,本文提出了1種新型的復(fù)合控制方法。本文主要結(jié)論如下。首先,本文在理論的動(dòng)力學(xué)建模中考慮到摩擦以及外界干擾項(xiàng),設(shè)計(jì)了模糊自適應(yīng)補(bǔ)償器以及非線性干擾觀測(cè)器對(duì)以上2種外界干擾進(jìn)行補(bǔ)償,減小了模糊規(guī)則的數(shù)量,并提高了控制系統(tǒng)的追蹤精度。然后,本文結(jié)合非線性fal函數(shù)設(shè)計(jì)了新型趨近律,能夠保證系統(tǒng)的快速收斂,并改善了抖振現(xiàn)象,進(jìn)一步提高了系統(tǒng)的控制精度和抗干擾性。最后,本文使用Lyapunov穩(wěn)定性理論分析本文設(shè)計(jì)的控制方法的可行性,并進(jìn)行控制試驗(yàn)仿真。試驗(yàn)結(jié)果證明,本文控制方法在控制精度、收斂速度方面都有顯著的優(yōu)勢(shì),具有較強(qiáng)的魯棒性。

綜上可知,本文控制方法應(yīng)用到康復(fù)外骨骼上能夠提供更精準(zhǔn)的康復(fù)訓(xùn)練,從而加快患者的康復(fù)進(jìn)程,具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。