固定翼無(wú)人機(jī)集群分布式固定時(shí)間編隊(duì)跟蹤控制

田 霖, 孫 亮

(1.民政部一零一研究所,北京 100070; 2.北京科技大學(xué) 智能科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,北京 100083)

近年來(lái),隨著控制理論、導(dǎo)航技術(shù)、材料科學(xué)的發(fā)展,無(wú)人機(jī)技術(shù)得到了較快發(fā)展,無(wú)人機(jī)也在應(yīng)急救援、農(nóng)林植保、電力巡線等民用領(lǐng)域以及偵察、干擾、打擊等軍事領(lǐng)域得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。隨著無(wú)人機(jī)技術(shù)研究的深入,無(wú)人機(jī)呈現(xiàn)出了成本高、研制周期長(zhǎng)、系統(tǒng)復(fù)雜等特點(diǎn),嚴(yán)重限制了其在更廣泛領(lǐng)域和場(chǎng)景的應(yīng)用。針對(duì)這些特點(diǎn),無(wú)人機(jī)集群概念應(yīng)運(yùn)而生,其通過(guò)多架低成本小型無(wú)人機(jī)相互協(xié)同配合完成任務(wù),可以解決單架無(wú)人機(jī)魯棒性、容錯(cuò)性差等問(wèn)題,同時(shí)降低了無(wú)人機(jī)研制成本,縮短了研制周期,因此受到了各國(guó)研究人員的廣泛關(guān)注[1-4]。

編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題是無(wú)人機(jī)集群領(lǐng)域的一類重要問(wèn)題,主要控制方法包括一致性方法和領(lǐng)航跟隨法。文獻(xiàn)[5]考慮了無(wú)人機(jī)的外部擾動(dòng)和狀態(tài)受限問(wèn)題,利用一致性方法解決了多架無(wú)人機(jī)編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[6]基于領(lǐng)航跟隨架構(gòu)設(shè)計(jì)了無(wú)人機(jī)集群的分布式自適應(yīng)有限時(shí)間控制算法,實(shí)現(xiàn)了在擾動(dòng)條件下集群的協(xié)同編隊(duì)跟蹤控制。針對(duì)無(wú)人機(jī)集群編隊(duì)重構(gòu)問(wèn)題,文獻(xiàn)[7]基于自適應(yīng)終端滑模和干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)了分布式編隊(duì)跟蹤控制器,實(shí)現(xiàn)了有限時(shí)間編隊(duì)跟蹤控制。文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]都實(shí)現(xiàn)了有限時(shí)間編隊(duì)控制,但是收斂時(shí)間上限均與系統(tǒng)初始狀態(tài)相關(guān),如果系統(tǒng)初始狀態(tài)距離平衡點(diǎn)較遠(yuǎn),那么收斂時(shí)間就會(huì)很長(zhǎng),嚴(yán)重限制了其在工程中的應(yīng)用。例如,集群發(fā)現(xiàn)障礙物需要緊急變換陣型進(jìn)行避障,那么集群必須在碰撞障礙物前的規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成陣型變換,因此其完成任務(wù)的時(shí)間有固定上限。為了解決這個(gè)問(wèn)題,文獻(xiàn)[8]提出了固定時(shí)間概念,明確了系統(tǒng)收斂時(shí)間與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)而只與設(shè)計(jì)參數(shù)相關(guān)。基于固定時(shí)間概念,文獻(xiàn)[9]利用終端滑模方法解決了一類非線性系統(tǒng)的固定時(shí)間鎮(zhèn)定問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上將終端滑模方法推廣到多智能體系統(tǒng)中,針對(duì)一階積分器多智能體系統(tǒng)設(shè)計(jì)了非線性一致性控制律,實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性。文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)了一致性控制律,解決了二階積分器多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問(wèn)題。針對(duì)由多個(gè)諧波振蕩器組成的多智能體系統(tǒng),文獻(xiàn)[13]利用非奇異固定時(shí)間終端滑模設(shè)計(jì)了非線性控制律,實(shí)現(xiàn)了多智能體對(duì)領(lǐng)航者的一致性跟蹤。針對(duì)高階積分器多智能體系統(tǒng),文獻(xiàn)[14]基于領(lǐng)航跟隨架構(gòu)設(shè)計(jì)了固定時(shí)間一致性控制器,將固定時(shí)間滑模方法擴(kuò)展到了高階積分器多智能體系統(tǒng)上,解決了任意階多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問(wèn)題。以上研究只集中在由積分器模型組成的多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問(wèn)題上,而針對(duì)無(wú)人機(jī)集群的固定時(shí)間編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題目前還沒(méi)有研究成果,因此本文針對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了研究。

本文針對(duì)帶有執(zhí)行器未建模動(dòng)態(tài)和不確定性的無(wú)人機(jī)集群系統(tǒng),利用非奇異固定時(shí)間終端滑模方法,設(shè)計(jì)了集群編隊(duì)跟蹤控制器,實(shí)現(xiàn)了集群無(wú)人機(jī)在固定時(shí)間內(nèi)編隊(duì)成為理想構(gòu)型,且收斂時(shí)間上界與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。最后,通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

1 問(wèn)題描述

考慮一組由N個(gè)無(wú)人機(jī)組成的集群系統(tǒng),其在地面坐標(biāo)系(東北天坐標(biāo)系)下的三自由度(3DOF)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)模型[15]可以描述為

(1)

式中:i=1,2,…,N;xi、yi、zi分別為集群中第i個(gè)無(wú)人機(jī)在地面坐標(biāo)系下的三維位置坐標(biāo);Vi、γi、χi分別為第i個(gè)無(wú)人機(jī)的地速大小、航跡方位角和航跡傾角;Vci、γci、χci分別為Vi、γi和χi相應(yīng)的控制輸入;τV、τχ、τγ分別為Vi、γi、χi相應(yīng)的時(shí)間常數(shù)。

令pi=[xi,yi,zi]T為集群中第i個(gè)無(wú)人機(jī)的位置矢量,vi=[vxi,vyi,vzi]T為第i個(gè)無(wú)人機(jī)的速度矢量,ui=[uxi,uyi,uzi]T為第i個(gè)無(wú)人機(jī)在地面坐標(biāo)系3個(gè)軸向上的控制輸入矢量。同時(shí)考慮無(wú)人機(jī)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的未建模動(dòng)態(tài)和不確定性,則式(1)的模型可以轉(zhuǎn)換為[15]

(2)

式中:di=[dxi,dyi,dzi]T為第i個(gè)無(wú)人機(jī)的執(zhí)行器產(chǎn)生的未建模動(dòng)態(tài)和不確定性矢量。由文獻(xiàn)[15]可知,式(1)中第i個(gè)無(wú)人機(jī)的控制輸入Vci、γci、χci與式(2)中控制輸入矢量ui的關(guān)系可表示為

(3)

假設(shè)1:式(2)中的擾動(dòng)矢量di是有界的,上界已知且滿足‖di‖≤dmax,dmax為正常數(shù)。

假設(shè)2:領(lǐng)航者的位置pd、速度vd和速度的導(dǎo)數(shù)gd都是有界的,且上界已知。

假設(shè)3:理想編隊(duì)構(gòu)型的位置變量hpi、速度變量hvi和速度變量的導(dǎo)數(shù)gai都是有界的,且上界已知。

(4)

基于式(4),可以將式(2)的模型轉(zhuǎn)換為編隊(duì)誤差系統(tǒng),形式為

(5)

進(jìn)一步地,定義變量e1i和e2i為

(6)

(7)

針對(duì)無(wú)人機(jī)集群固定時(shí)間編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題,本文將設(shè)計(jì)跟蹤誤差系統(tǒng)中的ui,使得集群中每個(gè)無(wú)人機(jī)的跟蹤誤差epi和evi都在固定時(shí)間內(nèi)收斂到0。

2 控制器設(shè)計(jì)

為了設(shè)計(jì)控制器,首先引入一種滑模。

引理1[16]:考慮如下滑模:

(8)

式中:x∈R為連續(xù)變量;fs(x)形式為

(9)

(10)

(11)

(12)

s=H1[e2+fs(e1)]

(13)

基于固定時(shí)間滑模式(式(12)),設(shè)計(jì)集群中第i個(gè)無(wú)人機(jī)的控制律為

(14)

(15)

(16)

式中:m=1,2,3;ψi=[ψi1,ψi2,ψi3]T∈R3為擾動(dòng)補(bǔ)償項(xiàng),其形式為[17-18]

(17)

式中:m=1,2,3;ku和κi為正常數(shù)且滿足κi≥dmax+‖udi‖,ζ為正常數(shù)。由文獻(xiàn)[17]和文獻(xiàn)[18]可知,擾動(dòng)補(bǔ)償項(xiàng)ψi滿足如下關(guān)系:

(18)

在給出定理和證明之前,首先引入以下引理。

定理1:考慮無(wú)人機(jī)集群系統(tǒng)(式(1)),無(wú)人機(jī)間的通信拓?fù)錇闊o(wú)向連通圖,理想的編隊(duì)位置和速度構(gòu)型為hp和hv,那么針對(duì)相應(yīng)的編隊(duì)誤差系統(tǒng)(式(5)),設(shè)計(jì)控制律形式如式(14),那么可以得到如下結(jié)論。

(1) 滑模s在固定時(shí)間T1內(nèi)收斂到區(qū)域Ω1內(nèi)。收斂時(shí)間上界T1為

(19)

(2) 跟蹤誤差epi和evi在固定時(shí)間Tt內(nèi)收斂到區(qū)域Ω2內(nèi)。其中時(shí)間Tt=T1+T2,其中

(20)

證明:首先證明滑模到達(dá)段的收斂性,選取Lyapunov函數(shù)為

(21)

對(duì)V求導(dǎo)可得:

(22)

由控制律式(14)和式(18)可得:

(23)

式(23)可以表示為以下兩種形式:

(24)

(25)

然后證明滑?；瑒?dòng)段的收斂性,基于結(jié)論(1)可以得到‖H2s‖≤‖H2‖Δ1,進(jìn)一步可以得到evim+fs(epim)≤‖H2‖Δ1。利用文獻(xiàn)[16]中的分析方法對(duì)跟蹤誤差epi和evi的特性進(jìn)行分析可知,滑動(dòng)模態(tài)s進(jìn)入滑模面附近的小區(qū)域后會(huì)出現(xiàn)3種情況:

綜上所述,跟蹤誤差epi和evi最終在固定時(shí)間Tt內(nèi)收斂到區(qū)域Ω2內(nèi)。結(jié)論(2)得證。

注1:控制器(式(14))實(shí)現(xiàn)了集群系統(tǒng)(式(1))的固定時(shí)間編隊(duì)跟蹤控制。相較于文獻(xiàn)[7]的集群有限時(shí)間編隊(duì)控制,給出了明確的收斂時(shí)間上界,該上界與初始狀態(tài)無(wú)關(guān),只與控制器參數(shù)相關(guān),因此可以根據(jù)任務(wù)指標(biāo)調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù),在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成任務(wù),更具有工程應(yīng)用價(jià)值。

注2:基于滑模(式(12))所設(shè)計(jì)的控制器(式(14))針對(duì)的模型是編隊(duì)誤差系統(tǒng)(式(7)),目的是使系統(tǒng)(式(7))中的變量e1和e2在固定時(shí)間內(nèi)收斂到小區(qū)域內(nèi),進(jìn)而根據(jù)式(7)中e1和e2與ep和ev的關(guān)系得出跟蹤誤差epi和evi在固定時(shí)間Tt內(nèi)收斂到區(qū)域Ω2內(nèi),即集群中各無(wú)人機(jī)的速度和位置與其在編隊(duì)構(gòu)型中相應(yīng)的理想的速度和位置的誤差收斂到區(qū)域Ω2內(nèi),最終達(dá)到集群無(wú)人機(jī)在固定時(shí)間內(nèi)完成理想編隊(duì)構(gòu)型的目的。

注3:所設(shè)計(jì)的控制器(式(14))基于滑模方法,首先證明了滑動(dòng)模態(tài)在到達(dá)段的收斂性,即滑動(dòng)模態(tài)在固定時(shí)間T1內(nèi)可從空間任意位置到達(dá)滑模面s=0的附近小區(qū)域Ω1內(nèi)。然后證明了滑動(dòng)模態(tài)在到達(dá)段的收斂性,即滑動(dòng)模態(tài)到達(dá)小區(qū)域Ω1后會(huì)在固定時(shí)間T2內(nèi)收斂到原點(diǎn)附近的小區(qū)域Ω2內(nèi)。因此,跟蹤誤差epi和evi最終在Tt內(nèi)收斂到Ω2內(nèi),這意味著每個(gè)無(wú)人機(jī)的位置和速度與其在編隊(duì)構(gòu)型中理想位置和速度之間的誤差在范圍Ω2內(nèi),完成了理想的編隊(duì)構(gòu)型。

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出的無(wú)人機(jī)集群分布式固定時(shí)間編隊(duì)跟蹤控制算法的有效性,進(jìn)行如下數(shù)值仿真。考慮一組由3個(gè)無(wú)人機(jī)和1個(gè)虛擬領(lǐng)航者組成的集群系統(tǒng),3個(gè)無(wú)人機(jī)間均可以進(jìn)行雙工通信。無(wú)人機(jī)模型(式(1))中的各狀態(tài)變量的初始值取表1中的值,時(shí)間常數(shù)τV、τχ和τγ分別取值為3、1.5和1.5。集群中3個(gè)無(wú)人機(jī)都存在相互的機(jī)間通信,無(wú)人機(jī)2與虛擬領(lǐng)航者進(jìn)行通信。虛擬領(lǐng)航者的初始位置為[0,0,100]T,速度為[22.63,22.63,0]T。編隊(duì)的理想位置構(gòu)型和理想速度構(gòu)型分別取表1中的值。式(2)中的di=0.001×[sin(t),cos(t),-sin(t)]T。

表1 編隊(duì)初始狀態(tài)和參數(shù)

數(shù)值仿真中控制器取式(14)的形式,式(14)中的滑模面取式(12)的形式,其中的參數(shù)選取為α1=β1=0.15,l1=l2=0.5,p1=p2=0.6,g1=g2=9/7,μ=0.1,ku=0.278 5。

數(shù)值仿真結(jié)果如圖1～圖6所示。

圖1 集群中無(wú)人機(jī)的速度、航跡方位角和航跡傾角

圖1為集群中3架無(wú)人機(jī)的速度、航跡方位角和航跡傾角的變化曲線,可以看出集群中各無(wú)人機(jī)的速度在7.5 s內(nèi)與理想值保持一致,航跡方位角和航跡傾角在14 s內(nèi)與理想值保持一致,說(shuō)明無(wú)人機(jī)在固定時(shí)間內(nèi)完成對(duì)虛擬領(lǐng)航者的跟蹤。圖2和圖3分別為式(4)中定義的位置跟蹤誤差epi和速度跟蹤誤差evi的變化曲線,可以看出這2種誤差均在14 s內(nèi)收斂到0,說(shuō)明集群中無(wú)人機(jī)在固定時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)了理想的編隊(duì)構(gòu)型。圖4為3架無(wú)人機(jī)從初始時(shí)刻0 s到最終時(shí)刻100 s的三維飛行軌跡,圖5為3架無(wú)人機(jī)在最終時(shí)刻的航跡俯視圖。由圖4和圖5可以看出集群中的無(wú)人機(jī)由初始時(shí)刻的分散位置形成了最終理想的三角形編隊(duì)。圖6為集群的3架無(wú)人機(jī)在最終時(shí)刻形成的三角形編隊(duì)陣型的俯視圖。

圖2 集群中無(wú)人機(jī)的位置跟蹤誤差

圖3 集群中無(wú)人機(jī)的速度跟蹤誤差

圖4 集群中無(wú)人機(jī)的飛行軌跡

圖5 集群中無(wú)人機(jī)最終時(shí)刻的航跡(俯視圖)

圖6 集群中無(wú)人機(jī)的最終編隊(duì)陣型(俯視圖)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了無(wú)人機(jī)集群的分布式固定時(shí)間編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題。針對(duì)帶有執(zhí)行器未建模動(dòng)態(tài)和不確定性的無(wú)人機(jī)集群系統(tǒng),基于收斂時(shí)間獨(dú)立于初始狀態(tài)的固定時(shí)間終端滑模設(shè)計(jì)了分布式編隊(duì)協(xié)同跟蹤控制器,實(shí)現(xiàn)了無(wú)人機(jī)集群在固定時(shí)間內(nèi)對(duì)理想編隊(duì)構(gòu)型的跟蹤。同時(shí)設(shè)計(jì)了補(bǔ)償外部擾動(dòng)的魯棒項(xiàng),增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。通過(guò)數(shù)值仿真,驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性。