SIR傳染病模型在網(wǎng)絡(luò)信息傳播中的應(yīng)用

楊以恒

關(guān)鍵詞：SIR傳染病模型；動(dòng)力學(xué)模型；網(wǎng)絡(luò)信息傳播；傳播效果；傳播機(jī)理

中圖分類號(hào)：O29 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-8228（2023）11-68-03

0 引言

網(wǎng)絡(luò)在人們的生活中扮演著越來(lái)越重要的角色。網(wǎng)絡(luò)信息傳播也越來(lái)越受到學(xué)者的重視并得到廣泛的研究。目前，在對(duì)網(wǎng)絡(luò)信息傳播的研究中，有很大一部分是基于網(wǎng)絡(luò)學(xué)的理論。如霍英等人[1]和崔增樂等人[2]分別使用Ucinet 和區(qū)塊鏈技術(shù)進(jìn)行分析，一定程度解決了網(wǎng)絡(luò)信息傳播的預(yù)測(cè)問題，但是在應(yīng)用時(shí)受到節(jié)點(diǎn)數(shù)量的限制，難以應(yīng)用到規(guī)模比較龐大的網(wǎng)絡(luò)通信模型中；張凌等人[3]從情感角度出發(fā)，給出了不同情感類型的網(wǎng)絡(luò)信息在傳播時(shí)的不同特性，但是由于網(wǎng)絡(luò)信息傳播的復(fù)雜性，難以完全解釋網(wǎng)絡(luò)信息傳播全部影響因素；范偉等人[4-5]利用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)森林等方法對(duì)網(wǎng)絡(luò)信息傳播進(jìn)行研究，在用戶信息轉(zhuǎn)發(fā)和信息傳播預(yù)測(cè)等方面得出了準(zhǔn)確的結(jié)果，但是由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的黑箱性質(zhì)，未能對(duì)網(wǎng)絡(luò)信息傳播的機(jī)理給出解釋；方勁皓等人[6-9]從動(dòng)力學(xué)角度出發(fā)，以SIR 等傳染病模型為基礎(chǔ)進(jìn)行研究，解釋了網(wǎng)絡(luò)信息傳播的機(jī)理，但是沒有考慮到熱度對(duì)于“傳染因子”的影響，從而失去了一部分準(zhǔn)確性。

由于網(wǎng)絡(luò)信息傳播的過程具有三個(gè)特點(diǎn)：①以計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)為載體，通過人與人之間進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)上的接觸進(jìn)行傳播；②人們對(duì)網(wǎng)絡(luò)信息的興趣會(huì)逐漸減小直到消失，當(dāng)再次遇到相同的網(wǎng)絡(luò)信息時(shí)不再產(chǎn)生興趣；③熱度更高的網(wǎng)絡(luò)信息更容易被人們傳播。因此網(wǎng)絡(luò)信息傳播過程與傳染病傳播的具有很高的相似性。

從傳播方式來(lái)看，傳染病的傳播需要通過人與人之間物理意義上的接觸來(lái)實(shí)現(xiàn)；而網(wǎng)絡(luò)信息的傳播也同樣需要人與人之間在網(wǎng)絡(luò)上的接觸來(lái)實(shí)現(xiàn)。從感染的形式來(lái)看，傳染病的感染者是指攜帶病毒的人群；網(wǎng)絡(luò)信息感染者可以理解為對(duì)某一網(wǎng)絡(luò)信息產(chǎn)生了興趣。從感染人群的移出角度考慮，疾病傳染時(shí)的移除者是康復(fù)者與死亡者之和；網(wǎng)絡(luò)信息傳播的移出者是指對(duì)網(wǎng)絡(luò)信息的興趣消失。并且網(wǎng)絡(luò)信息傳播和傳染病傳播的移出者都幾乎不可能第二次成為感染者（傳染病的移出者已死亡或產(chǎn)生抗體，大部分人群不會(huì)對(duì)同一信息產(chǎn)生二次興趣）。

基于以上考慮，將SIR 傳染病模型應(yīng)用到網(wǎng)絡(luò)信息傳播的領(lǐng)域是完全可行的。本文在SIR 傳染病模型基礎(chǔ)上考慮了熱度與“傳染因子”之間的關(guān)系，得到了改進(jìn)的網(wǎng)絡(luò)信息傳播模型。最后，本文通過實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證，證明了改進(jìn)模型的有效性。

1 SIR 傳染病模型

1.1 模型假設(shè)

在本模型中，將所有人分為三類：易感者S（Susceptible），感染者I（Infected）和恢復(fù)者R（Removed）（恢復(fù)者中包括了死亡者）。顯然SIR 三者的數(shù)量是隨著時(shí)間變化而變化的。因此，可以建立S（t）、I（t）、R（t）三個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。

模型假設(shè)：⑴ 單位時(shí)間內(nèi)，被感染人數(shù)與當(dāng)前時(shí)刻易感者的數(shù)量正相關(guān)，與當(dāng)前時(shí)刻感染者的數(shù)量也正相關(guān)。

⑵ 單位時(shí)間內(nèi)，恢復(fù)的人數(shù)與當(dāng)前時(shí)刻的感染者數(shù)量正相關(guān)，且恢復(fù)者不會(huì)二次感染。

1.2 模型原理

根據(jù)上述條件可以建立微分方程模型：

其中，α 稱為“感染因子”，α 的值越大，說明該病毒的傳播性越強(qiáng)；β 為“移出率”，β 的值為該傳染病的死亡率與康復(fù)率之和。

在SIR 模型中，取S（0）=980，I（0）=20，α=0.001，β=0.01 時(shí)的各個(gè)人群的數(shù)量變化趨勢(shì)如圖1 所示。

當(dāng)人群中最開始出現(xiàn)感染者時(shí)，由于易感者人群數(shù)量龐大，因此感染者人數(shù)會(huì)快速上升。隨著易感人群人數(shù)的減少和移除人數(shù)增加，會(huì)導(dǎo)致感染者人數(shù)的增速逐漸減緩，直到同一時(shí)間被感染的人數(shù)與移出的人數(shù)相等，此時(shí)感染者的人數(shù)達(dá)到最大值。之后感染者人數(shù)開始減少，并且隨著感染者的減少，減少的速度也逐漸放緩，直到感染者減少到零，此傳染病的一輪傳播結(jié)束。

2 基于SIR 的網(wǎng)絡(luò)信息傳播

想要對(duì)網(wǎng)絡(luò)信息是如何傳播的進(jìn)行分析，首先要對(duì)網(wǎng)絡(luò)信息傳播過程的特性進(jìn)行分析。我們發(fā)現(xiàn)，在SIR 模型中，網(wǎng)絡(luò)信息傳播的第三個(gè)特點(diǎn)沒得到很好的體現(xiàn)，因此我們對(duì)原有模型加以修正。從特性出發(fā)，可以看出在網(wǎng)絡(luò)信息傳播模型中，感染因子α 的值應(yīng)該是與感染者的數(shù)量正相關(guān)的。因此，我們將原有方程修正為：

下面以wordle 網(wǎng)站（https：//wordle-game.co/）2022年的數(shù)據(jù)（來(lái)自2023 年國(guó)際數(shù)學(xué)建模比賽C 題）為案例進(jìn)行實(shí)例分析。該網(wǎng)站提供了358 條數(shù)據(jù)（2022 年1 月7 日到2022 年12 月31 日）。表1 為該數(shù)據(jù)集中的前五條，其中參與人數(shù)是指在對(duì)應(yīng)日期在該網(wǎng)站提交結(jié)果的人數(shù)。

取S（0）=5 ×10⁶，I（0）=80630（為參考數(shù)據(jù)第一天的值），α₀=1.2 ×10^-6，β=1.4 ×10^-7時(shí)，可以得出模型結(jié)果如圖2 所示。

改進(jìn)后的SIR 模型生成的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)的誤差均值為13.37%，特別是在網(wǎng)絡(luò)信息傳播的后期（從第160 天以后直至結(jié)束），這一誤差降低到5.46%，較為精準(zhǔn)地對(duì)網(wǎng)絡(luò)信息的感染人數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)網(wǎng)絡(luò)信息是如何進(jìn)行傳播的這一問題，提出了采用SIR 傳染病動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行分析研究的方法，并且根據(jù)網(wǎng)絡(luò)信息傳播的特性對(duì)SIR 模型進(jìn)行了一定的改良。得到的改進(jìn)后的SIR 模型可以較好的預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)信息的傳播情況。該模型可以在謠言輿情的控制、網(wǎng)絡(luò)通信系統(tǒng)信道建設(shè)等方向發(fā)揮作用。下一步，作者準(zhǔn)備考慮不同類型的網(wǎng)絡(luò)信息是如何對(duì)“感染因子”產(chǎn)生影響的，從而得出更加準(zhǔn)確地對(duì)網(wǎng)絡(luò)信息的傳播做出預(yù)測(cè)。