SIR傳染病模型在網絡信息傳播中的應用

楊以恒

關鍵詞：SIR傳染病模型；動力學模型；網絡信息傳播；傳播效果；傳播機理

中圖分類號：O29 文獻標識碼：A 文章編號：1006-8228（2023）11-68-03

0 引言

網絡在人們的生活中扮演著越來越重要的角色。網絡信息傳播也越來越受到學者的重視并得到廣泛的研究。目前，在對網絡信息傳播的研究中，有很大一部分是基于網絡學的理論。如霍英等人[1]和崔增樂等人[2]分別使用Ucinet 和區塊鏈技術進行分析，一定程度解決了網絡信息傳播的預測問題，但是在應用時受到節點數量的限制，難以應用到規模比較龐大的網絡通信模型中；張凌等人[3]從情感角度出發，給出了不同情感類型的網絡信息在傳播時的不同特性，但是由于網絡信息傳播的復雜性，難以完全解釋網絡信息傳播全部影響因素；范偉等人[4-5]利用卷積神經網絡和隨機森林等方法對網絡信息傳播進行研究，在用戶信息轉發和信息傳播預測等方面得出了準確的結果，但是由于神經網絡的黑箱性質，未能對網絡信息傳播的機理給出解釋；方勁皓等人[6-9]從動力學角度出發，以SIR 等傳染病模型為基礎進行研究，解釋了網絡信息傳播的機理，但是沒有考慮到熱度對于“傳染因子”的影響，從而失去了一部分準確性。

由于網絡信息傳播的過程具有三個特點：①以計算機網絡為載體，通過人與人之間進行網絡上的接觸進行傳播；②人們對網絡信息的興趣會逐漸減小直到消失，當再次遇到相同的網絡信息時不再產生興趣；③熱度更高的網絡信息更容易被人們傳播。因此網絡信息傳播過程與傳染病傳播的具有很高的相似性。

從傳播方式來看，傳染病的傳播需要通過人與人之間物理意義上的接觸來實現；而網絡信息的傳播也同樣需要人與人之間在網絡上的接觸來實現。從感染的形式來看，傳染病的感染者是指攜帶病毒的人群；網絡信息感染者可以理解為對某一網絡信息產生了興趣。從感染人群的移出角度考慮，疾病傳染時的移除者是康復者與死亡者之和；網絡信息傳播的移出者是指對網絡信息的興趣消失。并且網絡信息傳播和傳染病傳播的移出者都幾乎不可能第二次成為感染者（傳染病的移出者已死亡或產生抗體，大部分人群不會對同一信息產生二次興趣）。

基于以上考慮，將SIR 傳染病模型應用到網絡信息傳播的領域是完全可行的。本文在SIR 傳染病模型基礎上考慮了熱度與“傳染因子”之間的關系，得到了改進的網絡信息傳播模型。最后，本文通過實例進行驗證，證明了改進模型的有效性。

1 SIR 傳染病模型

1.1 模型假設

在本模型中，將所有人分為三類：易感者S（Susceptible），感染者I（Infected）和恢復者R（Removed）（恢復者中包括了死亡者）。顯然SIR 三者的數量是隨著時間變化而變化的。因此，可以建立S（t）、I（t）、R（t）三個關于時間的函數。

模型假設：⑴ 單位時間內，被感染人數與當前時刻易感者的數量正相關，與當前時刻感染者的數量也正相關。

⑵ 單位時間內，恢復的人數與當前時刻的感染者數量正相關，且恢復者不會二次感染。

1.2 模型原理

根據上述條件可以建立微分方程模型：

其中，α 稱為“感染因子”，α 的值越大，說明該病毒的傳播性越強；β 為“移出率”，β 的值為該傳染病的死亡率與康復率之和。

在SIR 模型中，取S（0）=980，I（0）=20，α=0.001，β=0.01 時的各個人群的數量變化趨勢如圖1 所示。

當人群中最開始出現感染者時，由于易感者人群數量龐大，因此感染者人數會快速上升。隨著易感人群人數的減少和移除人數增加，會導致感染者人數的增速逐漸減緩，直到同一時間被感染的人數與移出的人數相等，此時感染者的人數達到最大值。之后感染者人數開始減少，并且隨著感染者的減少，減少的速度也逐漸放緩，直到感染者減少到零，此傳染病的一輪傳播結束。

2 基于SIR 的網絡信息傳播

想要對網絡信息是如何傳播的進行分析，首先要對網絡信息傳播過程的特性進行分析。我們發現，在SIR 模型中，網絡信息傳播的第三個特點沒得到很好的體現，因此我們對原有模型加以修正。從特性出發，可以看出在網絡信息傳播模型中，感染因子α 的值應該是與感染者的數量正相關的。因此，我們將原有方程修正為：

下面以wordle 網站（https：//wordle-game.co/）2022年的數據（來自2023 年國際數學建模比賽C 題）為案例進行實例分析。該網站提供了358 條數據（2022 年1 月7 日到2022 年12 月31 日）。表1 為該數據集中的前五條，其中參與人數是指在對應日期在該網站提交結果的人數。

取S（0）=5 ×10⁶，I（0）=80630（為參考數據第一天的值），α₀=1.2 ×10^-6，β=1.4 ×10^-7時，可以得出模型結果如圖2 所示。

改進后的SIR 模型生成的預測數據與真實數據的誤差均值為13.37%，特別是在網絡信息傳播的后期（從第160 天以后直至結束），這一誤差降低到5.46%，較為精準地對網絡信息的感染人數進行了預測。

3 結束語

本文針對網絡信息是如何進行傳播的這一問題，提出了采用SIR 傳染病動力學模型進行分析研究的方法，并且根據網絡信息傳播的特性對SIR 模型進行了一定的改良。得到的改進后的SIR 模型可以較好的預測網絡信息的傳播情況。該模型可以在謠言輿情的控制、網絡通信系統信道建設等方向發揮作用。下一步，作者準備考慮不同類型的網絡信息是如何對“感染因子”產生影響的，從而得出更加準確地對網絡信息的傳播做出預測。