空間機器人在軌雙臂輔助航天器對接力/位置嵌套雙層滑模阻抗控制

朱 安， 陳 力

（1. 江西理工大學 能源與機械工程學院，江西 南昌 330013；2. 福州大學 機械工程及自動化學院，福建 福州 350108）

1 引 言

太空中失效的航天器占用了有限的軌道資源，將影響各國后續的太空布局，另外航天器失效的主要原因是攜帶的燃料耗盡或某一部件被損壞，若能加注燃料或替換部件，它們仍能繼續工作，將極大地節約太空探索成本［1-3］。因此，對空間機器人捕獲航天器及輔助對接操作的研究受到了學者的廣泛關注。雙臂空間機器人由于具有更大的負載能力、更高的靈活性、可同時執行多任務，已成為此項研究的重點［4-7］。然而，雙臂系統在捕獲操作時存在閉環接觸幾何學、運動學約束［8］；在對接操作時需考慮雙臂的協調操作問題［9］，且為了防止劇烈的接觸、碰撞導致機器人的損壞，需同時對航天器對接裝置的姿態及輸出力進行精確控制［10］，故對雙臂系統的研究相對困難。

針對雙臂系統捕獲操作的問題，Liu 等［11］利用Hertz 接觸理論建立了空間機器人與航天器之間的接觸力模型，并分析了捕獲接觸力對整個系統控制過程的影響。Wu 等［12］研究了空間機器人捕獲快速翻滾目標的接觸動力學建模和控制問題，并開發了一種通用的摩擦接觸模型來描述末端執行器和目標之間的接觸力，該模型可模擬復雜構型接觸面間多點接觸的間歇摩擦接觸情況。Ge 等［13］開發了一種強制阻抗模型，其通過強制執行參考阻抗，使得碰撞過程中末端執行器可適配任何接觸力。Murad［14］等綜合考慮了接觸的運動學、動力學、線動量與角動量約束，提出了一種面向統一控制的建模方法，對碰撞產生的相互作用力進行調節。通過上述成果可知，大多數研究人員對捕獲操作研究的關注點在碰撞分析及接觸力調節上。然而，由于捕獲操作時航天器仍有一定的速度，使得碰撞過程中將在關節處產生較大的沖擊力矩，若該力矩超過關節所能承受的極限值，可能造成關節的損壞。在機械臂關節處添加柔順機構實現機械臂與外界環境發生碰撞保護關節是一種行之有效的方法［15-17］，因此本文在關節電機與機械臂之間添加了一種彈簧阻尼緩沖裝置（Spring Damper Buffer Device， SDBD），其中彈簧用于沖擊能量的緩沖，阻尼器則用于沖擊能量的卸載及彈簧引起的柔性振動的抑制。

針對輔助對接操作的研究，為了保證航天器對接裝置順利的與載體對接，設計的控制器需同時實現對接裝置的位姿與輸出力的高精度控制，以減小對接裝置與載體接觸、碰撞時產生的沖擊載荷。Hogan［18］提出的阻抗控制可通過調整阻抗參數建立末端位姿和接觸力之間的動態關系，已被廣泛的應用于機器人與外界環境的接觸、碰撞問題分析［19-21］。因此，本文結合阻抗控制原理，對空間機器人輔助對接的力/力矩進行控制。在對接裝置的位姿控制方面，考慮到滑模控制（Sliding Mode Control， SMC）結構簡單、魯棒性強，對各類系統的控制已趨于成熟，而空間機器人的控制對穩定性要求較高，因此擬設計一種SMC 用于位姿控制。然而，SMC 的滑模函數是一階的，其需要通過高增益才能保證系統收斂到滑模面的速度和精度［22］，這將導致控制器輸出力矩過大，且會帶來嚴重的抖振問題。為此，Shtessel［23］通過超扭算法構建了一種二階滑模控制（Second-order Sliding Mode Control， SSMC），然后通過自適應增益在一定程度上緩解了抖振問題。但該方案在系統參數存在誤差時需要提高自適應系數才能保證控制精度［24-25］，過大的系數將導致抖振問題重新出現。基于此，本文提出一種魯棒自適應雙層滑模控制（Adaptive Dual Layer Sliding Mode Control， ADLSMC）策略，該策略引入了等效控制技術保證自適應增益的最小化，然后通過兩個增益的自適應調節，可同時保證控制精度與抑制抖振。

2 動力學模型與碰撞分析

2.1 動力學模型

空間機器人與航天器系統如圖1 所示。圖中O0，Os，Oi(i=1，2，…，6)分別為載體質心、航天器質心與各關節鉸中心；PL，PR分別為機械臂左、右末端執行器的捕獲點；PL'，PR'分別為航天器左、右把手的被捕獲點；B，B'分別為載體與航天器對接裝置上的點。系統中的坐標系定義如下：XOY為系統隨軌道平動的慣性參考坐標系；x0O0y0，xsOsys分別為固定在載體質心、航天器質心上的坐標系；xiOi yi為固定在關節鉸中心的坐標系。系統中的符號定義如下：m0，I0，θ0分別為載體的質量、轉動慣量與姿態角，mi，Li，Ii，θi分別為機械臂的質量、長度、轉動慣量與轉角，ms，Is，θs分別為航天器的質量、轉動慣量與姿態角，θmi為關節電機轉子轉角，L0，Ls，LB'分別為O0到O1，Os到PL'，Os到B'的距離，ψ1，ψ2分別為O0O1，O0O4與x0軸的夾角。

圖1 雙臂空間機器人與航天器系統Fig.1 Dual-arm space robot and target spacecraft systems

為了防止機器人捕獲航天器與輔助對接的過程中，因碰撞產生的巨大沖擊載荷造成關節的損壞，在關節電機與機械臂之間添加一種SDBD，其結構如圖2 所示。

圖2 SDBD 的結構Fig.2 Structure of SDBD

SDBD 主要由彈簧（Spring）、阻尼器（Damper）、輸入圓盤（Input disc）、負載軸（Load shaft）及擋塊（Block）組成，其中輸入圓盤與電機相連、負載軸與機械臂相連。碰撞時在關節處產生的沖擊能量將由彈簧緩沖，隨后被阻尼器卸載。但彈簧的加入會增加關節的柔性，導致機械臂在運動時發生柔性振動，不利于機械臂的穩定控制。因此將阻尼器嵌套在彈簧的內部，實現阻尼器與彈簧的同步運動以實時抑制柔性振動。SDBD 中彈簧的剛度為ki，阻尼器的阻尼系數為Dti，為了描述機械臂與電機端的阻力，將它們等效為由阻尼器產生，定義機械臂端與電機端的等效阻尼系數分別為DLi，Dmi。

參考文獻［26］可得捕獲操作前的空間機器人與航天器動力學模型為：

其中：Mr∈R9×9，Ms∈R3×3分別為機器人與航天器的慣量矩陣，Hrq?r∈R9×1為科氏力、離心力列向量，DL∈R9×9為機械臂端增廣的等效阻尼系數矩陣，Dmg∈R6×6為電機端等效阻尼系數矩陣，Dtg∈R6×6為阻尼器的阻尼系數矩陣，Ks∈R6×6為彈簧的剛度矩陣，Im∈R6×6為電機轉子轉動慣量矩陣；qr∈R9×1為載體位姿與機械臂關節角列向量，qm∈R6×1為電機轉子轉角列向量，qg∈R6×1為機械臂轉角列向量，qs∈R3×1為航天器位姿列向量；τr=[τB，τ0，τg]T，τB∈R2×1，τ0分別為載體位置、姿態控制力矩，τg∈R6×1為機械臂控制力矩列向量，τm∈R6×1為電機輸出力矩列向量；Jr∈R6×9，Js∈R6×3分別為捕獲點與被捕獲點的運動雅克比矩陣，FP，FP'∈R6×1分別為捕獲點與被捕獲點的作用力/力矩（碰撞前FP，FP'均為零向量，碰撞時FP+FP'=06×1）。

捕獲后空間機器人與航天器鎖緊固連形成閉鏈混合體系統，則在載體質心坐標系下，左鏈的捕獲點與被捕獲點滿足如下速度約束：

對式（4）求導可得閉鏈系統的加速度為：

捕獲后在慣性參考坐標系下，左鏈的捕獲點與被捕獲點滿足速度約束：

由式（6）可通過左鏈速度表示航天器速度：

對式（7）求導可得航天器的加速度為：

將式（4）、式（5）、式（8）代入式（1）和式（2），且結合牛頓第三定律可得閉鏈混合體系統的動力學模型為：

捕獲操作完成后，機械臂末端執行器與航天器把手鎖緊，因此內力項對閉鏈混合體系統運動無影響。由于Hh，DLh的前兩列元素均為零，且碰撞過程中系統處于無控狀態，故式（9）可轉換為完全能控形式的閉鏈混合體系統動力學模型：

2.2 碰撞分析

若忽略空間機器人捕獲航天器過程中的微重力影響，則整個系統滿足動量守恒。假設碰撞時間為Δt，由于Δt很短，在這一時段可認為系統的廣義坐標未發生突變，僅有廣義速度和廣義加速度發生突變［7］。通常為了保護電機，碰撞過程中電機處于關機狀態，則對式（1）和式（2）在Δt內積分可得：

其中：t0為碰撞時刻，為碰撞沖量。

結合式（4）、式（7）和式（11）可解得碰撞沖擊效應與沖擊力分別為：

3 阻抗模型

捕獲后空間機器人與航天器固連形成閉鏈混合體系統，因此輔助對接操作只需要考慮航天器對接裝置在載體質心坐標系內的軌跡運動情況。將航天器對接裝置B'點在載體質心坐標系上投影可得：

式中，θB'=θ1+θ2+θ3。

對式（14）求導可得B'點在載體質心坐標系下的相對運動學關系為：

阻抗控制可通過給定適當的阻抗參數來調節機械臂位姿和接觸力之間的關系，由于空間機器人在輔助對接過程中需精確控制對接裝置的位姿與輸出力，因此將阻抗控制應用于輔助對接操作。根據文獻［18］，機器人的阻抗關系可被描述為：

其中：Xe=X-Xd，Xd航天器為對接裝置的期望位姿；分別為慣量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；FB'∈R4×1，Fe∈R4×1分別為航天器對接裝置的輸出力/力矩、接觸力/力矩。

由于對混合體系統鎮定控制過程中不涉及接觸、碰撞問題，故輔助對接中根據是否需要控制對接裝置的輸出力/力矩，可將阻抗控制可分為兩個階段：自由階段和接觸階段。在自由階段中，對接裝置的接觸力/力矩為零，此時Fe=FB'=04×1；在接觸階段中，對接裝置前部受到環境力/力矩作用，其運動狀態受到限制。基于以上分析，對接過程中阻抗關系可描述為：

4 控制器設計

4.1 動力學模型轉換

由于輔助對接過程中控制的是航天器對接裝置在載體坐標系下的位姿，為了方便后續控制器的設計，將關節空間的動力學方程轉換到慣性空間。通過式（15）可得：

結合式（10）和式（18）可得慣性空間的動力學方程為：

考慮到空間機器人載體位姿調節將消耗燃料使載體質量不可知，且對航天器質量的估計難免存在誤差，因此捕獲后的混合體系統參數往往難以確定。為了精確的控制混合體系統，需將系統的不確定參數進行分離。一般的，機器人系統參數可被分解為：

將式（20）代入式（19）可得：

4.2 ADLSMC 控制器

本文旨在系統參數未知下，設計一種ADLSMC 控制器，實現輔助對接操作的高精度控制，即：

式中，tf為收斂時間。

基于式（23）的控制目標，設計如下形式的非線性滑模面：

式中，S1(t)=X?e+λXe，λ，β＞0。

對式（24）求導可得：

將式（22）代入式（25）可得：

基于以上分析，設計如下形式的超扭滑模策略：

若ω0已知，可根據文獻［24］選取k1j=使得在有限時間內收斂。然而在此情況下k1與k2均為常數矩陣，為了保證滑模切換項能抵消不確定參數項η(t)的影響，需保持k2的元素均大于ω0，這意味著滑模的抖振將會被放大，不利于對接操作的高精度控制。因此，需尋找出一種更好的方法重新設計k1與k2的值。

在SMC 中系統一旦到達了滑模面就會發生等效控制［25］，即：η(t)。等效控制可使系統在滑模面上移動，但滑模增益必須大于不確定參數項的上界，由于系統在滑模面上移動是不連續與切換的，導致滑模的抖振難以被消除。為了解決該問題，引入一個新的變量：

其中：0 ＜μ＜1?＜1，ε＞0 為很小的正常數。K(t)的自適應率可被設計為：

其中：K(0)為正常數矩陣，k(t)的更新率為：

式中，ξ(t)的自適應率為：

其中：r(0)為正常數矩陣，r(t)的更新率為：

式中，γ為正常數。

4.3 穩定性分析

為保證控制器使系統穩定，需滿足如下假設：

假設1：航天器對接裝置的位姿X與速度可被精確測量。

假設2：式（21）中的參數不確定項f(t)有界，即：。

為方便后續的穩定性證明，引入引理1[22]：

引理1：

對于如下時變系統：

考慮系統（23），若存在一個連續函數V(z)：D→R，定義在鄰域U?D內滿足如下條件：

（1）f(z)在D?Rn內是正定函數；

（2）存在實數κ＞0，λ∈(0，1)使得：

則系統（23）將局部有限時間內收斂；若D=Rn且V(z)是無界的，則系統（23）將全局有限時間內收斂。

定理1：對于不確定系統（21），設計如式（28）～式（32）形式的ADLSMC 函數，可確保非線性滑模面（24）在有限時間內收斂，且收斂時間小于：

且若增益k1與k2滿足：

證明：為了后續證明的方便，將式（29）分解為如下4 個子系統：

第1步：系統未到達滑模面時

當Kj(t)＜ω0時，由于，此時有：

結合式（32）和式（38）可知：

通過式（39）可知K(t)單調遞增，因此隨著時間的累積將有Kj(t)＞ω0。

當Kj(t)＞ω0時，可選取如下形式的Lyapunov 函數：

對式（40）求導可得：

由式（36）設計的k1與k2取值可知為正定矩陣，故?(t)＜0，即系統將收斂。進一步可得：

通過式（40）可知：

結合式（40）與式（44）可得：

通過式（43）與式（45）可得：

式（46）結合引理1 可知系統將有限時間收斂，且收斂時間小于。

第2 步：當系統到達滑模面時

為了后續分析的方便，引入一個新的誤差變量Δ(t)，其表達式為：

對式（47）求導且結合式（34）可得：

由于系統到達了滑模面，因此S2(t)=(t)=0，此時等效控制力矩Ueq(t)等于系統的不確定項η(t)。

對式（30）求導可得：

選取如下形式的Lyapunov 函數：

對式（50）求導可得：

由式（49）且結合0 ＜μ＜1?＜1，≤ω1可知：

由式（48）可知：

將式（52）和式（53）代入式（51）可得：

基于以上分析，所提的ADLSMC 的控制率可被設計為：

4.4 結合阻抗模型的ADLSMC

為了同時控制對接裝置的位姿與輸出力，參考文獻［27］設計的力/位伺服系統，本文設計了一種力加載隨動控制系統，其控制框圖如圖3所示。

圖3 力加載隨動系統控制框圖Fig.3 Control block diagram of force load servo system

圖3 所示的控制系統可根據航天器對接裝置輸出力/力矩與末端接觸力/力矩的誤差，在線修正對接裝置的位姿，并實現對輸出力/力矩的跟蹤。

5 仿真分析

5.1 SDBD 的抗沖擊性能

采用圖1 所示的空間機器人與航天器系統進行仿真分析。

空間機器人系統參數如下：m0=200 kg，mp=10 kg (p=1，2，4，5)，mq=5 kg (q=3，6)，Lp=2 m，Lq=1 m，dp=1 m，dq=0.5 m，I0=128 kg·m2，Ip=15 kg·m2，Iq=2 kg·m2，Imi=0.05 kg·m2，ksi=1 000 N rad，Dmi=28.65 N·s rad，Dti=1 146 N·s rad，DLi=28.65 N·s rad，ψ1=2.791 rad，ψ2=0.349 rad。

航天器系統參數如下：ms=50 kg，Ls=0.5 m，LB'=0.9 m，Is=8.5 kg·m2。

為了驗證SDBD 在碰撞時的抗沖擊性能，在慣性參考系下對50 組不同航天器速度進行碰撞分析，其中航天器x，y方向速度取值范圍為0～0.05 m/s，旋轉速度取值范圍為0～8.6 （°）/s，且均采用蒙特卡洛模擬，結果如圖4～圖6 所示。

圖4 未添加SDBD 最大沖擊力矩Fig.4 Max impact torque without SDBD

通過圖4～圖5 可知，在所選取的速度中，航天器速度為［0.05 m/s，0.05 m/s，8.60 （°）/s］時關節受到的沖擊力矩最大，且有、無添加SDBD的最大值分別為112.54 Nm，186.75 Nm；通過圖6 可知，在所選取的速度中，SDBD 均能有效的降低關節受到的沖擊力矩，且航天器速度為［0.006 6 m/s，0.009 7 m/s，2.25 （°）/s］時最大降低的百分比為46.78%。因此，基于以上分析可認為SDBD 能在碰撞時對關節起到較好的保護作用。

圖5 添加SDBD 最大沖擊力矩Fig.5 Max impact torque with SDBD

圖6 最大沖擊力矩降低百分比Fig.6 Percentage reduction in max impact torque

5.2 輔助對接操作

為了盡量減小輔助對接操作中的接觸、碰撞給機器人關節帶來的沖擊力矩，載體對接裝置通常內置有彈簧，只有當航天器對接裝置輸出力大于彈簧彈力時才可進行對接操作，因此設置的期望輸出力應略大于彈簧的彈力。

假設空間機器人初始靜止，其位姿為q=[10°，120°，-60°，-60°，60°，60°，60°]T。航天器相對空間機器人的初始速度為q?s=[0.05 m/s， 0.05 m/s，10 (°)/s]T。為保護關節電機，假設碰撞1.5 s 后開始對接操作，通過式（12）計算的沖擊效應，可得閉鏈混合體系統的位姿、速度分別為：q=［10.81°，114.45°，-58.56°，-57.32°，56.43°，58.44°，64，69°］T，q?=［0.55 （°）/s，-0.38 （°）/s，-0.46 （°）/s，-0.42 （°）/s，-0.37 （°）/s，-0.40 （°）/s，-0.48 （°）/s］T。系統的控制器參數 為 ：K(0)=diag(30，30，30，30)，r(0)=diag(30，30，30，30)，λ=10，β=4，γ=6，μ=0.5，?=1.9，ε=0.01，MB'=diag(50，50，50，50)，BB'=diag(50，50，50，50)，KB'=diag(300，300，300，300)。

為減小輔助對接過程中碰撞產生的沖擊載荷，將該過程分為細分鎮定控制、預加載、對接控制3 個階段。文章通過與SMC 策略進行對比，以突出所設計ADLSMC 策略的優勢，SMC 的滑模函數為：

式中，Λ=diag(8，8，8，8)。SMC 結合計算力矩法設計的控制力矩為：

式中，Kc=diag(0.5，0.5，0.5，0.5)。

鎮定控制階段（0～5 s）：關閉力/位姿阻抗控制，對混合體系統進行鎮定控制，將載體姿態角與機械臂轉角調整至期望狀態：

預加載階段（5～15 s）：5～10 s 為自由階段，關閉阻抗控制僅進行位姿控制，調整航天器對接裝置的位姿，使其正對載體對接裝置；10～15 s 為接觸階段，開啟力/位姿阻抗控制進行輸出力的預加載，且將航天器對接裝置移動到載體對接裝置的正上方：

對接控制階段（15～25 s）：開啟力/位姿阻抗控制，航天器對接裝置沿期望軌跡克服載體對接裝置內的彈簧彈力完成輔助對接操作：

圖7 為機器人載體姿態角軌跡，圖8 和圖9 為機器人各關節轉角軌跡，由圖7～圖9 可知ADLSMC 的收斂速度快于SMC，且其控制精度遠高于SMC。圖10 為航天器對接裝置姿態角軌跡，圖11 為航天器對接裝置位置軌跡，由圖10 和圖11 可知在ADLSMC 策略下對接裝置的位姿實現了高精度控制，進一步結合圖12 的航天器對接裝置輸出力可知，高精度控制可有效地降低輔助對接過程中產生的沖擊載荷。由于ADLSMC策略實現了對抖振的抑制，因此航天器對接裝置的輸出力較SMC 策略更為穩定，這對輔助對接操作具有更重要的意義。圖13 為機器人載體姿態控制力矩，圖14～圖15 為機器人關節角控制力矩，通過圖13～圖15 可知ADLSMC 策略的輸出力矩較為平穩，可有效的降低對電機的性能要求，有利于控制算法的物理實現。（在實際的操作中，SMC 策略要達到仿真效果需讓空間機器人的控制力矩如圖13～圖15 所示，但通常載體的動量輪與關節輸出力矩難以達到如此高的切換頻率）

圖7 空間機器人載體姿態角軌跡Fig.7 Base attitude angle trajectory of space robot

圖8 空間機器人左鏈關節角軌跡Fig.8 Left link joint angles trajectory of space robot

圖9 空間機器人右鏈關節角軌跡Fig.9 Right link joint angles trajectory of space robot

圖10 航天器對接裝置姿態角軌跡Fig.10 Docking device attitude angle trajectory of spacecraft

圖11 航天器對接裝置位置軌跡Fig.11 Docking device position trajectory of spacecraft

圖12 航天器對接裝置輸出力Fig.12 Docking device output force of spacecraft

圖13 空間機器人載體姿態控制力矩Fig.13 Base attitude control torque of space robot

圖14 空間機器人左鏈關節控制力矩Fig.14 Left link joint control torques of space robot

圖15 空間機器人右鏈關節控制力矩Fig.15 Right link joint control torques of space robot

6 結 論

本文研究了雙臂空間機器人捕獲航天器及輔助對接操作；為了防止關節受沖擊破壞，在關節處添加了SDBD；建立了閉鏈混合體系統動力學模型與機器人的阻抗模型；提出了一種ADLSMC 策略實現對接裝置的力/位姿控制。通過仿真結果可看出，SDBD 可以實現沖擊載荷的快速卸載，且最大可將沖擊力矩減小46.78%；結合阻抗控制的ADLSMC 策略的力控制精度優于0.5 N，位姿控制精度優于10-3m，0.5o。

本文在捕獲、對接過程中考慮的末端執行器為結構相對簡單的抓手，使得機械臂的操控能力一般。但隨著捕獲、對接任務的復雜化，將靈巧手加入到機械臂末端以增加操控性能是必然的趨勢，因此有必要對添加了靈巧手的捕獲、對接操作進行研究。另外，本文考慮的雙臂機器人為小臂系統，其負載能力與工作空間有限，因此利用大臂或組合臂增加雙臂機器人的工作范圍，使空間機器人能在更大范圍、更復雜作業環境中完成捕獲、對接操作也是未來的發展趨勢。