一道教材習(xí)題引發(fā)的深度學(xué)習(xí)

熊 利

? 湖北省武漢市楊園學(xué)校

1 深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)是課程改革以來對(duì)課程理解和課堂實(shí)踐的深化,它既是一種理念也是一種實(shí)踐指導(dǎo)策略.深度學(xué)習(xí)是指在教師引領(lǐng)下,學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題,全身心積極參與,體驗(yàn)成功,獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是學(xué)生圍繞學(xué)習(xí)內(nèi)容展開的活動(dòng)過程,初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的特點(diǎn)是學(xué)生能夠全身心投入具有挑戰(zhàn)性的富有思維含量的學(xué)習(xí)活動(dòng).

筆者在一節(jié)習(xí)題課中設(shè)計(jì)了三個(gè)具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)活動(dòng):一是發(fā)現(xiàn)習(xí)題的多個(gè)不同的證明方法;二是通過不同證明方法的對(duì)比,發(fā)現(xiàn)并確認(rèn)題中多余的條件;三是將多余條件結(jié)論化,進(jìn)而探求習(xí)題的結(jié)構(gòu).三個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)銜接自然,過程流暢,思維含量一個(gè)比一個(gè)高,逐步將課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)推向高潮.整節(jié)課學(xué)生自主、自發(fā)地參與到課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)中來,不斷體驗(yàn)到發(fā)現(xiàn)和證明出結(jié)論帶來的快樂,這也正是深度學(xué)習(xí)理念指導(dǎo)下的課堂實(shí)踐的最好展現(xiàn).

2 教學(xué)紀(jì)實(shí)

2.1 展示習(xí)題,指明目標(biāo)

教師:很多時(shí)候我們只顧埋頭做題,一題做完緊接下一題,很少停下腳步去深入研究一道題,今天老師帶領(lǐng)大家對(duì)課本上一道習(xí)題進(jìn)行深入探究,希望大家從中能有所收獲.(展示習(xí)題)本節(jié)課我們只研究這一道題,請(qǐng)大家開動(dòng)腦筋積極思考.

題目(人民教育出版社八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第25頁習(xí)題第10題)如圖1,六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等,∠DAB=60°,AB與DE有怎樣的位置關(guān)系?BC與EF有這種位置關(guān)系嗎?這些結(jié)論是怎樣得出的?

圖1

教師:做完的同學(xué)寫一下過程,然后再看看整道題,你有沒有什么發(fā)現(xiàn)?沒做出來的同學(xué),盡可能地算出圖中所有的角,并給出證明.

過程回顧:首先指明這節(jié)課的目標(biāo)是對(duì)一道題進(jìn)行深入研究.讓學(xué)生用不同的方法解答,激發(fā)學(xué)生的探究欲,同時(shí),希望學(xué)生通過各種不同方法的對(duì)比,發(fā)現(xiàn)“∠DAB=60°”是多余條件,讓接下來的學(xué)習(xí)過程銜接更自然.

2.2 一題多解,拓寬思路

教師:老師已經(jīng)看到了不同的證明方法,大家開動(dòng)腦筋,用盡可能多的方法來證明你的結(jié)論.

教師:會(huì)做這道題的同學(xué)請(qǐng)舉手.好,有超過一半的同學(xué)舉手了.請(qǐng)一位同學(xué)說一下你的證明過程.

學(xué)生1:AB∥DE,且BC∥EF.

證明：由∠DAB=60°,得∠FAD=∠DAB=60°.由∠E+∠F+∠FAD+∠EDA=360°,且∠E=∠F=120°,可知∠EDA=60°,所以∠EDA=∠DAB,故AB∥DE.又∠F+∠FAD=∠B+∠DAB=180°,所以EF∥AD,BC∥AD,于是BC∥EF.

教師:對(duì)于DE∥AB,同學(xué)們還有其他證明方法嗎?

學(xué)生2:如圖2,過點(diǎn)F作FH∥ED.由∠1+∠E=180°,得∠1=60°,則∠2=120°-∠1=60°,所以∠2+∠FAB=180°,所以FH∥AB.故DE∥AB.

學(xué)生3:如圖3,延長EF,和BA的延長線交于點(diǎn)H.

圖3

由∠1=180°-∠EFA=60°,∠2=180°-∠FAB=60°,又∠H+∠1+∠2=180°,得∠H=60°,所以∠E+∠H=180°,故DE∥AB.

學(xué)生4:如圖4,連接AE.由∠1+∠2+∠F+∠3+∠4=360°,∠1+∠F+∠3=180°,可知∠2+∠4=180°,所以DE∥AB.

圖4

教師:對(duì)于DE∥AB,同學(xué)們給出了四種不同的證明方法,大家再觀察一下,看你有沒有什么發(fā)現(xiàn)?

學(xué)生5:除了第一種方法,其余三種都作了輔助線.

學(xué)生6:后三種方法都沒有用到“∠DAB=60°”這個(gè)條件.

教師:這兩個(gè)同學(xué)的證明方法都很好!請(qǐng)問條件“∠DAB=60°”能否去掉?

過程回顧:讓學(xué)生盡情展示,在一個(gè)個(gè)證明方法中逐漸打開思路,過程自然流暢,學(xué)生都沉浸在思維的海洋里.

2.3 導(dǎo)向深入,抓住關(guān)鍵

學(xué)生7:從做題過程來看,條件“∠DAB=60°”可以去掉.DA這條線段也可以去掉.

教師:那為什么題目要多給條件呢?

(學(xué)生7沉默不語,課堂陷入沉默.)

教師:此題是“11.3多邊形及其內(nèi)角和”的一道習(xí)題,主要考查靈活運(yùn)用多邊形內(nèi)角和公式解決問題的能力.題目多給條件,一是為了讓大家往計(jì)算角這個(gè)方向思考,二是給大家留出探索發(fā)現(xiàn)的空間,這也是此題放在“拓廣探索”欄目中的原因.

教師:經(jīng)過大家的思考探索,可以把題目簡化為“凸六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等,求證:DE∥AB”.

學(xué)生8:老師,我又發(fā)現(xiàn)了新的證明方法.不用“∠DAB=60°”這個(gè)條件,連DA就可以證明.

教師:好的,你先不說過程,讓大家思考一下,這樣可不可以證明?

學(xué)生8:如圖5,因?yàn)椤?+∠3+∠E+∠F=360°,所以∠2+∠3=120°.

圖5

又∠1+∠2=120°,所以∠1=∠3.故DE∥AB.

教師:非常好,過程清楚,思路明確.要證明平行,但沒有截線,連DA后就有了截線,產(chǎn)生內(nèi)錯(cuò)角,證內(nèi)錯(cuò)角相等.大家回顧一下,以上幾種證明方法有沒有共同點(diǎn)?解答這題的關(guān)鍵是什么?

學(xué)生9:課本原題除學(xué)生1的證法外,其余證明方法都作了輔助線,作輔助線后才產(chǎn)生了截線,所以這道題的關(guān)鍵是要有截線.

教師:學(xué)生9總結(jié)得很好.大家能否歸納一下作截線的方法?

學(xué)生10:作截線有三種方式,即連接、延長和作平行線.

過程回顧:通過教師的引導(dǎo)、學(xué)生的積極參與,證明思路越來越清晰,最后點(diǎn)出了證明平行的關(guān)鍵是找截線,并歸納了作截線的三種方法.

2.4 拋出問題,探索結(jié)構(gòu)

教師:既然條件“∠DAB=60°”是多余的,老師有一個(gè)想法,能否把它放到結(jié)論中,也就是由每個(gè)內(nèi)角都相等能否得到∠DAB=60°.題目改編如下:

如圖6,六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等,∠DAB是否等于60°?給出你的判斷并說明理由.

圖6

教師:要解決上面這個(gè)問題,我們先解決另外一個(gè)問題,題中的六邊形是否是正六邊形?

(課堂陷入沉默,一分鐘后有學(xué)生舉手.)

學(xué)生11:不一定是正六邊形,可以將BC邊向上平移,如圖7,如果原圖是正六邊形,則平移后的圖形就不是.

圖7

教師:學(xué)生11舉出的反例很好地解釋了原圖不一定是正六邊形,通過平移邊,在不改變角度大小的情況下,改變了邊長.下面回到∠DAB是否等于60°這個(gè)問題上來,大家還同意∠DAB=60°嗎?

學(xué)生12:不一定是60°,將BA向上平移,∠DAB的度數(shù)會(huì)變小.

教師:你是如何判斷∠DAB變小的?

學(xué)生12沉默,學(xué)生13舉手.

學(xué)生13:如圖8,由AB∥GH,得∠DAB=∠2.又∠2>∠1,所以∠DAB>∠1.故向上平移∠DAB會(huì)變小.

圖8

教師:非常好!通過兩位同學(xué)的分析,我們可以看到∠DAB的度數(shù)不是一個(gè)確定的值,那“六個(gè)內(nèi)角都相等”這個(gè)條件能確定什么?不能確定什么?

學(xué)生14:可以確定DE∥AB,不能確定∠DAB.

學(xué)生15:還可以確定EF∥BC,還有CD∥AF.

教師:也就是可以確定六邊形正對(duì)著的三組邊平行,但不能確定六邊形的邊長,如果大家能夠看到這一層,那這個(gè)圖形在你眼里就是可以變化的,很多問題就可迎刃而解.

過程回顧:通過將多余的條件結(jié)論化,來探索試題的結(jié)構(gòu),將此題的研究進(jìn)一步推向深入.拋出問題“六個(gè)角相等的六邊形是否為正六邊形”,為問題的解決指明了方向.

3 教學(xué)感悟

課本的一道普通習(xí)題,如果不去深入研究,可能十分鐘就講完了,但沉下心來研究一番,結(jié)果發(fā)現(xiàn)它是一座思維的寶庫.筆者并不想直接將這里的寶藏呈現(xiàn)給學(xué)生,而是一步步引領(lǐng)學(xué)生看到發(fā)現(xiàn)寶藏的過程,在這個(gè)過程中,讓學(xué)生逐步體會(huì)到解完題后,我們還能怎樣去思考,教會(huì)學(xué)生思考問題的方法,一同經(jīng)歷一堂思維的盛宴.

教師能設(shè)計(jì)出具有挑戰(zhàn)性、富有思維含量的學(xué)習(xí)活動(dòng)是學(xué)生在課堂上開展深度學(xué)習(xí)的必要條件.這就需要教師多研究試題,而研究試題中最有意義的事情是研究教材習(xí)題.只有教師的深度學(xué)習(xí)和研究才有可能促成學(xué)生深度學(xué)習(xí)的產(chǎn)生.Z