新工科背景下Matlab對高等數學課堂教學輔助作用的探討

許云霞 雷學紅

摘要：文章主要針對新工科背景下將Matlab軟件輔助高等數學的教學課堂的必要性進行分析。并結合實例，闡明將Matlab軟件引入高等數學課堂教學，有助于提高學生的參與性，激發學生的學習興趣，提高教學效率。

關鍵詞：Matlab軟件；程序代碼；命令程序

中圖分類號：O175.1? ? ?文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2023）31-0163-03

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）

0 引言

隨著時代的發展，大數據時代以及國內外教育新形勢的變化，2017年2月和4月，教育部在復旦大學和天津大學相繼召開了高校的新工科研討會，依次形成新工科建設的“復旦共識”“天大行動”[1]，要求人才培養具備學科的實用性、交叉性與綜合性，且具備較強的工科實踐能力和創新能力。高等數學是本科院校工科專業的一門必修課程，也是學生后續學習專業課的基礎，且對培養學生的數學思維方法、認知結構能力、應用能力以及創新能力都有重要的作用[2]。但高等數學這門課程具有理論性比較強，抽象性比較高等特點。因此，在傳統的高等數學的教學過程中，因單一的教師邊板書邊講解以老師的教為主的傳統教學模式，導致高等數學普遍存在“教師難教，學生難學；上課不聽，下課不學，考試不會”的現狀。如何調動學生的積極性，激發學生學習高等數學的興趣，提高教師的教學效率和教學水平，是目前亟待解決的首要問題。隨著計算機的日益普及，傳統單一的以教師為主的教學方式已經無法滿足新時代的需要，因此，必須對高等數學教學進行改革，以適應新工科背景下人才培養方案的要求和新時代的需要。在高等數學教學改革探索過程中，教師可以使用信息化的教學方式，讓學生參與課堂教學中，變以“教師的教”為中心為以“學生的學”為中心的人才培養的要求，而且可以幫助學生更好地理解高等數學一些知識點的幾何意義、性質等相關特性。在新工科背景下，使用數學軟件Matlab高效的數值計算和符號計算功能，來直接通過完整圖像處理工具和函數命令實現計算結果和圖形的可視化過程，體現高等數學由靜態到動態過程。這樣既可以節約老師大量畫圖的時間，克服了高等數學學時少任務繁重的棘手問題，也可以降低學生學習時證明計算的難度。另外，還可以提高學生應用高等數學知識解決實際問題的應用能力和創新能力，也改變教師滿堂灌，學生充耳不聞的單一教學模式，從而激發學生的學習興趣，提升高等數學課堂教學的質量與水平。

1? 高等數學課程應用Matlab軟件的必要性

新工科背景下，對工科人才培養提出的新要求，驅動著高等數學基礎課程教學不斷地改革，以提升高等數學的課堂教學效果。對高等數學這門課程來說，它內容相當豐富、概念多、定理多理論性強以及知識的循序漸進且學時比較緊張，因此在課堂上，傳統教學模式教師講授的內容比較多，且深度與廣度可能都比較深，沒有足夠的時間練習，導致部分學生無法跟上進度，下課題目不會做，不愿意去預習新課等惡性循環，最終導致失去學習的積極性和主動性。另外，在高等數學的教學上，教師比較注重學生對概念的理解和掌握，因此在抽象的概念花費一定的時間，而這部分內容讓學生感覺到乏力無味。新工科背景下，要求老師在講解概念的同時，還要注重以學生為中心，培養學生的解決實際問題的能力和創新能力。

從學生層面上來說，他們剛剛從高中題海戰術中解脫出來，仍然停留在中學階段關注解題技巧的訓練模式，缺乏數學思維的邏輯性、嚴謹性；對老師的依賴較多，習慣中學重復做題、訓練、講解，來完成對知識的認知，缺乏主動學習和自主學習的能力，這樣很難適應高等數學的學習。沒用做到提前預習，課后復習的習慣，再加上高等數學這門課本身高度的抽象性，嚴格的邏輯性的特點，久而久之學生對高等數學知識理解不透徹，接受比較慢，從而產生厭學與恐懼的心理。有些學生甚至干脆放棄高等數學課程的學習。隨著時代發展，智能手機的普及給人們的生活帶來便利的同時也能讓大學生搜索自己需要的有助于學習的信息，開闊眼界，擴展學生的知識面，但也讓不能自律的學生深陷層出不窮的游戲和短視頻，導致學生上課時成為“低頭族”，嚴重影響課堂效果。

欲走出此困境，借助數學軟件進行高等數學教學顯得尤為重要。在新工科背景下，數學軟件如何有效地作為一種新型的教學模式應用于課堂教學，有待教育工作者不斷地探討，發揮其實際意義。以矩陣為基本元素的Matlab軟件，是目前國內外高校和研究部門的專家學者進行科學研究的重要工具之一，其本身包含主程序和各種功能的工具箱，主程序又包含很多核心函數，用Matlab的語句編寫各種程序，可以解決某些專門問題或者實現一種新的算法。因此，它也具有強大的計算功能和繪畫功能、容易操作等優勢[3]，無疑是學習高等數學課程的一個最優的數學軟件。首先，使用Matlab軟件協助高等數學教學，可以幫助學生更好地理解高等數學中某些概念和復雜的計算，并且培養學生利用已學的數學知識、Matlab的基本語句、命令符號鍛煉動手操作能力，充分體現學生的自我價值和實踐能力。此外，使用Matlab軟件時，需要每位學生根據高等數學課堂上老師的具體要求，嘗試在計算機上的Matlab命令窗口動手輸入相應內容，并運行觀察其結果或者動態的展示過程，從而提高學生在課堂上的參與度，激發學生的學習興趣，提高動手能力，大大地提高教學效果和學生學習掌握理解的效果。其次，使用Matlab軟件，因軟件本身的程序，學生只需要簡單輸入命令，Matlab將自動計算結果，這樣可以讓學生從煩瑣的數值計算里解放出來，也可以作為學生計算結果的驗證。Matlab的計算可以為老師的講課節約更多的時間，這樣高等數學課堂教師就可以花費更多精力和時間投入數學思想方法等更實質、更難學的內容之中。再者，Matlab軟件有強大的繪畫功能，可以把一些抽象的幾何問題通過繪圖形式變得更直觀化、形象化、動態化。從而激發學生學習高等數學的積極性，提高學生學習的主動性，拓展高等數學的應用性。

2? 利用Matlab可以提高學生的主動性

高等數學是一門理論性強，內容抽象學科，一般教學按照數學自身的相關知識點進行順序授課，這樣的授課方式偏重教學內容的嚴謹性和邏輯性，方法單一，并不能根據學生的特點做到“因材施教”。傳統的高等數學教學方式過多地強調概念和證明過程，忽略背后所隱藏的知識背景和數學文化思想的介紹。知識背景能幫助學生更好地理解知識的內涵和脈絡，有助于學生理解定義和掌握定理的應用。例如在介紹割圓術時，借助Matlab體現靜態的極限到動態的變化過程，同時介紹數學家劉徽的故事能更好地激發學生學習的熱情和愛國情操。這樣數學課堂不再是枯燥無味的數學符號和數學公式，而是具體生動的圖像、動畫和生動有趣的數學家的數學故事。

學生在學習數學的過程中也能發現數學的美，例如對稱美、黃金分割比例等很多高等數學的立體圖形，因其獨特而美妙的線條成為建筑藝術設計師創作靈感的來源，比如在多元函數中，介紹單葉雙曲線、雙葉雙曲線面、橢圓拋物面等幾何圖形的性質時，很多學生根本無法想象、理解其圖形形狀。用Matlab把抽象的方程形成動態的立體幾何圖形，將高等數學和工科專業有機地結合在一起。學生在Matlab展示這些圖形時，不僅可以深刻地清楚圖形的形狀，掌握其性質，還能激發學生的學習積極性和主動性，使其更好地運用數學知識去解決實際問題。如橢圓拋物面[z=x24+y29]，通過Matlab就很容易畫出其圖像見圖1。通過圖形，很容易了解其性質。

具體程序：

u=-20：0.1：20;

v=-20：0.1：20;

[x，y]=meshgrid（u，v）;

z=x.^2/4+y.^2/9;

Xlabel（‘x（t）’）; ylabel（‘y（t）’）; zlabel（‘z（t）’）;

meshc（x，y，z）

因此，借助Matlab學習高等數學，讓學生必須動手去做，這樣既能激發學生的學習積極性，也能讓學生感受到高等數學知識和Matlab軟件的強大功能，使學生能主動地掌握高等數學知識并應用數學知識解決生活實際問題，真正做到學以致用。

3 利用Matlab計算可以提高課堂教學效果

高等數學主要包含微積分、級數、向量代數與空間解析幾何等方面的內容。有些章節的內容含有復雜的計算過程，而且易出錯，比如求導數、積分、極值和最值等。然而Matlab在此方面因其龐大的計算功能，具有得天獨厚的優勢，快捷的計算方式能夠節省大量的計算時間，只需學習一些基礎的Matlab命令符號所表示的含義，在具體應用時只須直接調用命令名稱或函數名稱即可。

如求下面極限[limx→∞x（1+ax）xsinbx]，顯然此題主要考查兩個重要極限。如果直接計算，必須構造兩個重要極限，此題中[x→∞]，對[sinbx]來說必須轉化成[□→0]形式，再使用重要極限去求解，對學生來說已經相當復雜，看到這樣的題目往往感覺到無從下手。當然也可以應用Matlab中limit命令程序來操作。具體程序代碼為 syms x a b; f=x*（1+a/x）^x*sin（b/x）;? limit（f， x， inf）.? ans =b*exp（a）。這樣減少了構造重要極限的過程，其運算也很簡便，對學生學習高等數學有很大的幫助，同時也增強學生的動手能力和程序實現的應用能力。再如計算定積分[01x1+4x2dx]，此積分主要考查積分的湊微分法，直接計算時要把[xdx]湊微分為[18d（4x2+1）]，然后用換元積分法求原函數，再代入上下限解值，計算比較煩瑣，如果學生第一步湊微分出錯，會導致后面的步驟全部出錯。若應用Matlab中int命令程序來計算就更簡明扼要。具體程序為：syms x; int（x*sqrt（1+4*x^2）， x， 0，1）。運算結果， ans =（5*5^（1/2））/12 - 1/12。

由以上發現應用Matlab軟件進行運算，只須輸入命令程序或者直接調用函數名稱即可求解得到答案，可以大大地節省運算時間，同時也有效避免對學生大量復雜運算和巧妙技巧的要求，也為后續專業課程中應用高等數學打下扎實的基礎；更有助于鍛煉學生的動手能力，激發學生學習高等數學的興趣，從而提高教學效率[4]和學習的應用能力。

4 利用Matlab可以提高學生的數學思維能力

眾所周知，高等數學這門課程有大量的定義、計算，且概念是非常抽象的、計算比較繁雜。新工科背景下，對學生們的高等數學的應用能力有了更高的要求，利用Matlab協助高等數學課堂教學，可以增強學生對基本概念的理解能力、提高學生的數學邏輯思維能力、增強其數學應用能力。積分在高等數學中占比相當大，包括不定積分、定積分、二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分。定積分概念理解得透徹，有助于學生更好地學習后續的其他積分的概念，顯然定積分的概念的講解為后的其他積分的概念奠定了基礎，因此定積分顯得非常重要。如在講解高等數學中的一個重要概念——定積分的定義，可以分為“分割、近似、求和、取極限”四個步驟進行介紹。其概念比較抽象，一般學生難以理解這四個步驟。在講解定積分概念的過程中，如果有效地借助于Matlab軟件，將四個步驟進行動畫演示，可以很好地展現“化整為零、以直代曲、以不變帶變、積零為整”[5]的數學思想，幫助學生更好地理解定積分概念的四個步驟、可以增加課堂的趣味性、直觀性，可以輕輕松松地突破難點，同時也提高了學生的理解能力、數學思維能力和空間想象能力。

另外在分析函數的單調性、極值、最值等問題時，可以使用Matlab軟件中的fplot命令程序直接繪圖，從而有效避免求函數的一階導數和二階導數的計算量大問題。如判斷函數[y=x3+3x2-2x]在區間[[-2，2]]的單調性、極值和最值情況。在進行直接計算時往往需要求出所給定函數的一階導數、駐點、二階導數，其過程相當復雜，計算量比較大。如果調用Matlab軟件中的fplot命令程序就一目了然，具體程序為：

fplot（'x^3+3*x^2-2*x'，[-2，2]）;

hold? on ;

ezplot（'0'，[-2，2]） ;

xlabel（‘x’） ; ylabel（‘y’）;

grid on;

運行程序得到的結果如圖2：

5 結束語

在新工科背景下，利用Matlab軟件協助高等數學的課堂教學，能夠大大地提高學生課堂參與性，能夠讓學生從復雜煩瑣的數學計算中解放出來；同時，利用Matlab軟件可以將抽象、枯燥的數學理論變得直觀、形象，從而有效地激發學生的學習興趣，提高學生學習的積極性和學習效率。通過借助Matlab進行高等數學教學，將理論和實踐相結合，學生通過參與課堂教學，提升學生應用數學知識去分析問題、解決問題的能力和創新能力，進而成為合格的新工科專業人才。未來根據Matlab在高等數學課堂教學效果的實際反饋將更進一步研究利用Matlab軟件對高等數學實際案例的教學改革探討，能夠更好地適應新工科創新型下人才培養的新要求，體現數學在不同工科專業中的工具性，進一步激發學生學習高等數學的興趣，提高高等數學的教學效果。

參考文獻：

[1] 畢學慧，劉華明，李懷敏.新工科背景下Matlab在計算機專業數學教學中的應用[J].寧德師范學院學報，2021，33（3）：329-336.

[2] 桂占吉，陳修煥，楊亞輝.基于Matlab高等數學實驗[M].武漢：華中科技大學出版社，2010.

[3] 蒙春.基于Matlab數學實驗的教學反思 一以二重積分為例[J].柳州師專學報，2012，27（2）： 120-124.

[4] 鄒靈靈.基于數學軟件基礎上提升高等數學課堂教學研究[J].江西電力職業技術學院學報，2020，33（10）：20-21.

[5] 陳成剛.新工科背景下大學數學教學改革的探索[J].天津城建大學學報，2021，27（4）：295-298，304.

【通聯編輯：李雅琪】