基于改進蝙蝠算法的齒槽轉矩優化

趙均業， 劉云攀， 吳林峰

（三峽大學 電氣與新能源學院，湖北宜昌 443000）

0 引言

隨著永磁材料的性能日益增強，高性能控制系統里的永磁電機被使用頻率越來越高。永磁同步電機跟傳統的電勵磁電機相比，它有重量較輕、體積較小、能量密度高、效率更高、功率因數高等優點。然而永磁體和電樞鐵芯相互作用產生的齒槽轉矩是永磁電機特有的問題，導致轉矩波動，引起振動和噪聲，影響系統的控制精度。因此減小永磁電機的齒槽轉矩尤為重要。

關于齒槽轉矩的抑制方法，已經有許多專家學者對其進行了研究。文獻[1]在給出齒槽轉矩表達式的基礎上，提出了最佳的極弧系數可以有效削弱齒槽轉矩，但會影響電機的空載電動勢。采用轉子斜極能有效降低齒槽轉矩[2]，但制造難度較大，成本較高。文獻[3]提出對永磁體進行磁極偏心設置可有效削弱齒槽轉矩，但會對每極磁通產生影響。文獻[4]提出了一種相鄰兩極極弧系數不等的方法來削弱齒槽轉矩。文獻[5]研究了定子齒開輔助槽對齒槽轉矩的影響，但其也會影響齒面磁場的飽和程度。

上述方法所進行優化的參數是單一結構，雖然可以使齒槽轉矩的影響降低，但是也會出現轉矩密度降低、齒槽損耗增大等問題。所以設置多個參數，對其同時優化可以更好地降低齒槽轉矩和提升電機性能。文獻[6-7]提出采用田口法實現對永磁電機的多目標優化，但是無法得到最優目標下各優化參數的精確值。文獻[8]采用響應面法和最大-最小蟻群算法實現對V 型異步啟動永磁同步的多目標優化，但是該算法收斂速度慢，易陷入局部最優。文獻[9]采用粒子群算法實現對永磁直流電機的多目標優化，同樣存在易早熟收斂的問題。相較于蟻群算法和粒子群算法，蝙蝠算法（BA）具有很高的適用性、較強的尋優性能以及較高的準確性和計算效率，但也存在后期易陷入局部最優的缺點[10]，在算法中引入Lévy飛行可有效克服該缺點。

磁極偏心結構在極數與極槽最大公約數比值盡可能小的永磁電機中能對齒槽轉矩達到最好的削弱效果，24 槽4 極電機滿足上述極數與極槽最大公約數比值最小的條件。綜合以上，本研究以24槽4 極表貼式永磁同步電機為例，首先通過田口法對永磁同步電機的定轉子結構參數進行優化，篩選出對優化目標影響比重較大的參數，利用響應面擬合出齒槽轉矩與相關優化參數的數學模型，最后通過具有Lévy 飛行特征的BA 對上述模型進行尋優，確定最小齒槽轉矩下的參數最優值，從而削弱電機齒槽的轉矩。

1 齒槽轉矩的解析分析和電機的主要參數

齒槽轉矩定義為電機不通電時的磁場能量W相對于位置角α的負導數，即

如果忽略飽和的影響，電樞鐵芯的磁導率是無限的，所以它的電磁能力就可被簡單地表述為來自于電機氣隙與永磁體的電磁，即

式中：μ0是空氣磁導率。氣隙磁密沿永磁電機電樞表面的分布可近似表示為

式中：α為某一指定永磁體中心線和某一指定齒中心線之間的夾角；θ=0 位置設在磁極中心線上；Br為剩磁；hm為永磁體厚度；δ為有效氣隙長度。將（3）式代入到（2）式中，得

對B2r(θ)和進行傅里葉分解，有

式中：αp為極弧系數；p為極對數；G0、Gn為相對氣隙磁導平方的傅里葉分解系數；q為電樞槽數；θs0表示定子槽口寬度對應的弧度值。

若不考慮斜槽，齒槽轉矩的表達式為

式中：LFe為電樞鐵芯的軸向長度；R1為轉子外徑；R2為定子內徑；n為使為整數的整數。

綜合上述公式，選取極弧系數αp、氣隙長度δ、磁極偏心距h、永磁體厚度hm、槽開口寬度bs0五個參數作為最終優化參數，電機初始參數如表1所示，在有限元中建立初始參數的電機模型，其齒槽轉矩為268.67 mN·m。

表1 PMSM主要尺寸參數

2 電機優化流程

2.1 基于田口法的正交實驗設計及結果

田口法是為提高產品質量而提出的一種降低各種干擾影響的局部優化方法，對應于不同的行業，有時可以優化一些選項。利用正交仿真實驗，大大減少試驗次數，便于快速找到最優參數組合[11]。根據電機設計手冊[12]，優化參數的水平值如表2所示。

表2 優化參數及其水平值

由表2 的優化參數及其水平值，根據田口法的設計原理和正交表的構建原則來建立L25 正交表，僅需25次實驗就可以實現多變量優化設計，大幅度降低了實驗次數和計算程度[13]。通過有限元軟件建立與每組實驗參數水平相對應的25個電機模型，對每個電機模型進行仿真分析，其結果如表3所示。

2.2 實驗結果數據分析

為了得到優化參數的變化對優化目標的影響及比重，對表3 的數據結果進行方差分析。首先根據式（13）得到優化目標有限元分析結果的平均值，計算結果為95.84 mN·m。

式中：m為優化目標的平均值；Si為第i次實驗優化目標值。然后計算優化參數在不同水平值下優化目標的平均值，例如氣隙長度δ在水平2 下優化目標平均值計算公式如式（14）所示。

通過采用上述計算方法，可以獲得不同水平下齒槽轉矩的平均值，具體情況可參見表4。極弧系數在水平5下齒槽轉矩有最小的平均值，氣隙長度、磁極偏心距、永磁體厚度在水平2 下齒槽轉矩有最小的平均值，槽開口寬度在水平4 下齒槽轉矩有最小的平均值。綜合上述結果，田口法下齒槽轉矩最小的參數組合為αp(5)δ(2)h(2)hm(2)bs0(4)，即極弧系數取0.8、氣隙長度取0.75 mm、磁極偏心距取11.75 mm、永磁體厚度取4.75 mm、槽開口寬度2.4 mm，在有限元軟件中建立上述參數的電機模型并對其進行仿真分析，得到田口法優化后電機的齒槽轉矩為68.69 mN·m。相比于初始參數電機的齒槽轉矩，降低了74.43%，但通過表3 的仿真結果可以看出，田口法下優化組合得到的齒槽轉矩還有進一步的優化空間。

表4 各優化參數在不同水平下優化目標的平均值

通過式（15）計算方差值（SS），可以更好地了解各個優化參數對于最終目標的影響程度。計算結果如表5所示。

表5 優化參數改變對優化目標的影響比重

式中：x為優化參數；Tcog,avg,x,l為優化參數x在水平l下優化目標的平均值。

由表5 得，氣隙長度、磁極偏心距、永磁體厚度的變化會引起齒槽轉矩較大的變化，為了得到更小的齒槽轉矩，在田口法優化的基礎上，選取這三個參數進一步優化。

2.3 構建響應模型

響應面法開始是在1951 年由Box 和Wilson 提出的一種解決多變量的統計方法，它的兩種常見形式分別為：中央集成模式(Box-Behnken)與三水平模式(box-behnken)。與傳統的中央集成模式（Box-Behnken）不同，box-behnken 模式的實施更加簡單，因此選擇三水平的Box-Behnken 模式。由表4 可知，氣隙長度、磁極偏心距以及永磁體厚度分別在水平2 下齒槽轉矩的均值最小，因此在水平2 左右選取對稱的兩個值作為下一步的水平數對應值，重新劃定的參數水平如表6所示。

表6 優化參數水平

傳統的反饋面模型一般采用完整的線性回歸和二次多項式，其表達方式可以用式（16）～式（18）來表示。

線性型：

不含交叉項的二次項：

含交叉項的二次項：

式中：y為響應值；x為自變量；β為待定系數；ε為擬合誤差。響應值具有明顯的彎曲特性，因此選擇一種包括二次項的多項式模型，它可以準確地反映出實際的狀態。

模型建立后，利用Design-Expert.V8.0.6.1 軟件自動生成17個實驗點，通過有限元計算出每個實驗點齒槽轉矩的幅值，如表7所示，其中A、B、C分別代表氣隙長度、磁極偏心距以及永磁體厚度。

根據表7中的實驗數據計算得到的響應面模型如式（19）所示。

通過響應面軟件的方差分析，發現齒槽轉矩的響應面方程具有很好的擬合程度，具體可以參考表8（齒槽轉矩響應面分析）。此外，還使用R-Squared來估算總的判定系數，得出的值達到了0.9873，說明齒槽轉矩的響應面方程擬合程度較高。P和F表示模型的失擬項和檢驗系數，P一般小于0.001，可以認定所采用的樣本點滿足了模型的預期；而當F高于4 時，則可以認定所采用的模型達到了預期的準確性，即4.852。

表8 齒槽轉矩響應面分析

3 含Lévy飛行特征的蝙蝠算法尋優

3.1 基本的蝙蝠算法

蝙蝠算法（BA）是根據蝙蝠利用回聲定位覓食時，通過對種群中各蝙蝠的脈沖發射率、響度、速度、脈沖頻率進行迭代更新而設計的一種群體智能算法[14]。每只蝙蝠的脈沖頻率fi、位置xti以及速度vti迭代公式如下

式中：fi為蝙蝠i發出的脈沖頻率；頻率的最小值和最大值為fmin和fmax；β∈[0,1]，是均勻分布的隨機數；vti和xti分別表示蝙蝠i在t時刻的飛行速度和位置；x*代表當前最優位置。

在算法的局部搜索過程中，需在當前最優解附近進行隨機游走產生新解[15]：

式中：ε∈[-1,1]，是均勻分布隨機數；At為蝙蝠在第t代響度的平均值。

同時，脈沖發射率和響度的迭代公式為

式中：rt+1i和At+1i分別表示第t+ 1 代的脈沖發射率和響度；r0i為初始脈沖發射率；d和γ為調節系數。

3.2 含Lévy飛行特征的改進蝙蝠算法

由于傳統的BA 無法在解過程探索中發生突變，并且蝙蝠個體有一定概率陷入局部最佳位置，導致算法容易陷入局部最優；另外在迭代后期脈沖發射率趨于最大值[16]，響度趨于零，若產生的優良新解因不滿足條件而不能被接受，導致算法早熟。針對上述問題，本文引入Lévy飛行行為加強算法跳出局部最優和加強全局搜索能力[17]。

Lévy 飛行行為屬于隨機游走模型的一種。隨機游走模型是描述一系列不穩定移動構成軌跡的數學形式，在任意維度的空間里，一個點在任意方向上移動隨機步長的距離，然后重復這一步驟的過程。從數學角度看，Lévy 飛行特征的變化量服從Lévy 分布，是一種非正態隨機過程[16]。在全局最優解的搜索過程中使用Lévy 飛行特征來替代蝙蝠個體對最佳位置的探尋，可以提升算法的尋優范圍，最大程度地避免蝙蝠個體陷入局部最佳位置。改進蝙蝠算法速度和位置的更新如下

式中：Lévy(λ)為位置更新時步長服從Lévy分布的任意探尋向量；λ是[1,3]之間的尺度參數；?表示矢量運算。改進的蝙蝠算法流程如圖1所示。

圖1 改進的蝙蝠算法流程圖

3.3 尋優結果對比

根據響應面劃定的參數范圍，結合式（19）分別利用基本的BA 和具有Lévy 飛行特征的BA 求解響應面模型的最小值，從而確定氣隙長度、磁極偏心距以及永磁體厚度的精確值，其結果如表9 所示。基本的BA尋優后氣隙長度取0.72 mm，磁極偏心距取11.73 mm，永磁體厚度取4.71 mm，齒槽轉矩為52.74 mN·m；具有Lévy 飛行特征的BA 尋優后氣隙長度取0.68 mm，磁極偏心距取11.69 mm，永磁體厚度取4.74 mm，齒槽轉矩為47.21 mN·m。相較于優化前的齒槽轉矩268.67 mN·m，基本的BA優化后其幅值降低了80.37%，具有Lévy 飛行特征的BA 優化后其幅值降低了82.43%，且相比于基本的BA 優化后的幅值降低了10.49%。因此，采用響應面法與具有Lévy 飛行特征的BA 相結合的優化方法，可準確計算出PMSM的最小齒槽轉矩。

表9 齒槽轉矩的優化結果

4 仿真分析

通過Maxwell 建立的有限元模型的應用，可以有效地驗證上述方法的可行性，具體結果參見表10。通過基本BA 優化后的極弧系數取0.8、氣隙長度取0.72 mm、磁極偏心距取11.73 mm、永磁體厚度取4.71 mm，槽開口寬度取2.4 mm，有限元驗證結果為53.18 mN·m；通過具有Lévy 飛行特征的蝙蝠算法優化后的極弧系數取0.8、氣隙長度取0.68 mm、磁極偏心距取11.69 mm、永磁體厚度取4.74 mm、槽開口寬度取2.4 mm，有限元驗證結果為47.99 mN·m。優化后的齒槽轉矩與有限元驗證結果相近，說明建立的齒槽轉矩的響應面模型比較準確。

表10 有限元對比驗證結果

轉速達到1500 r/min 的情況下，通過優化電機參數，可以顯著降低齒槽轉矩，這是由于改變了氣隙之間的磁導率，有效地改善了氣隙磁路。通過削弱齒槽轉矩，可以有效地減少轉矩脈動，尤其是轉矩趨于40 ms 穩定的情況下，這種脈動的程度可以明顯降低，與初始轉矩脈動相比，可以減少8.2%，從而使電機的運行狀態更加穩定。在額定功率15 kW時電機的效率最高。經過有限元仿真分析，電機的初始效率從94.2%最終上升到95.8%，優化后齒槽轉矩降低的同時，電機的效率也得到了提升。

5 結論

通過有限元仿真驗證其有效性,優化后電機的齒槽轉矩明顯降低，電機的轉矩脈動也隨之減小，使電機的運行性能得到提升，同時電機的效率也有所提高。但針對單一目標的優化，無法保證其他性能最優，具有一定的局限性，對電機的多目標優化還需要進一步研究。