新工科背景下高等數學案例教學設計

周曉杰

（大連大學信息工程學院 遼寧 大連 116622）

2017 年以來，教育部積極推進新工科建設，奏響“復旦共識、天大行動、北京指南”三部曲。新工科建設以立德樹人為引領，培養面向未來的創新型卓越工程人才[1]。作為理工科的一門重要基礎課，高等數學不但是很多工科專業課程的知識基礎，也承擔著培養學生科學精神、提升其分析問題和解決問題能力的重要任務。因此，面對新工科建設的機遇與挑戰，高等數學教學應做出適當的改革。

教育部2015 年發布的《關于加強專業學位研究生案例教學和聯合培養基地建設的意見》文件指出，案例教學是以學生為中心，以案例為基礎，通過呈現案例情境，將理論與實踐緊密結合，引導學生發現問題、分析問題、解決問題，從而掌握理論、形成觀點、提高能力的一種教學方式[2]。案例教學法在法律、醫學、工商管理等學科教學中的成功促使我們探索其在大學高等數學教學中的應用[3-4]。

1 案例法引入高等數學教學的意義

1.1 案例教學法能激發學生的學習興趣

作為地方性普通本科院校，大連大學學生的高考數學成績普遍不高。以2022 年某理工科專業為例，忽略各省高考試卷的不同，單從分數來看，該專業高考數學平均分僅為91.3 分，不及格率為41.5%，相當一部分同學反映數學是其弱勢科目，多年的數學學習以及長期學習受挫的經歷磨滅了學生的學習興趣。通過引入案例教學法，將抽象的理論和專業問題以及生活實際結合起來，讓學生認識到數學的應用價值，更能激發學生的學習興趣。

1.2 案例教學法是以學生為中心理念的體現

傳統的高等數學教學側重講授概念、性質、定理等理論知識，以及幫助學生理解這些理論的例題及習題。在這個過程中，以教師為主體，學生處于被動接受的地位。而采用案例教學法，通過創設情境，學生主動思考，參與其中，在“做中學”，更能體現以學生為中心的教學理念。在案例教學的過程中，培養學生分析問題、解決問題的能力及創新能力，使學生掌握面向未來的本領，這也是以學生發展為中心教學理念的體現。

1.3 案例教學法有利于課程思政目標的實現

在當前“大思政”的背景下，如何將“全過程育人，全方位育人”的思政元素融入具體的教學設計當中，是每門課程都面臨的問題。課程思政講求“潤物細無聲”，如“鹽溶于水”，在潛移默化中對學生進行正確的價值引導。而如果為了思政而思政，生硬地展示思政元素則可能產生適得其反的效果。采用案例教學，可將思政元素融于案例中、融入故事中，進而相對更好地實現課程思政的育人目標。

2 高等數學案例的整體教學設計

在充分分析高等數學課程的內容及教學要求的基礎上，我們收集整理了教學案例庫，主要包含概念引入型案例和數學應用型案例，并將思政教學目標融入其中。教材采用大連理工大學出版的《工科數學分析》，全書共九章，案例教學整體實施方案見表1。

表1 案例教學整體實施方案

3 案例教學舉例

本節以高等數學第一章極限部分單調有界原理內容為例，介紹案例教學法的具體實施過程。

3.1 教學分析

經過前面內容的學習，學生已經能夠理解極限概念的思想及定義，會用極限的四則運算法則及復合函數極限運算法則計算簡單的極限。單調有界原理是一個重要的極限存在準則，也是證明第二重要極限的基礎，需要學生理解其內涵并會應用其解決實際問題。剛入大學的學生容易延續高中數學的學習方法，注意力主要放在如何做題上，因此教師宜多培養學生主動思考及分析問題的能力。本節內容的教學重點是對單調有界原理的理解及運用，教學難點是通過案例培養學生分析問題和解決問題的能力。

3.2 教學目標

知識目標：理解單調有界原理的內容，會用單調有界原理解決數列極限問題。能力目標：培養學生分析問題、解決問題的能力。素質目標：培養學生的數學思維和嚴謹的作風，提高學生的數學素養，引導學生養成孜孜以求的奮斗精神。

3.3 教學方法

以案例教學法為主導，通過案例問題，采用啟發式的教學模式，引導學生分析問題，對實際問題進行建模，將其轉化為一個數學問題。采用“數形結合”的思想幫助學生理解。

3.4 教學過程

3.4.1 案例引入

心理學研究指出，任何一種新技能的獲得和提高都要經過一定時間的學習。我們經常有這樣的經歷，兩人學習某項技能，經過相同時間的學習后，他們對該技能的掌握程度可能有較大的差異，這種現象是如何產生的呢？能否用數學方法加以解釋[5]？

3.4.2 案例分析

學習是一個積累的過程，技能的掌握程度不但與學習者的初始掌握程度及學習時間有關，也與其自身的學習效率密切相關。假設b0為開始學習時的技能掌握程度，A 表示經過一次學習之后所掌握的程度，即每次學習所掌握的內容占未掌握內容的百分比。

下面探究數學模型的建立，通過啟發式教學與學生共同建立模型。

記bn為經過n次學習后所掌握的程度。則1b0就是第一次學習時尚未掌握的新內容，經過一次學習掌握的新內容為A1b0，于是b1b0=A1=b0，類似有b2b1=A1b1。以此類推，得到經過n次學習后所掌握的程度為bn+1bn=A1bn,n=0，1，2，…，即

bn+1= 1A bn+A，n=0，1，2，

于是，將該技能掌握程度表示成一個數列，通過分析數列，即可得到想要的結論。

3.4.3 案例求解

探究數列特點，可以首先用數形結合的方法，將數列可視化來進行觀察。不妨假設b0=0，分別取A為不同值，觀察數列的情況如圖1。

圖1 數列元素圖示

從圖像觀察得知：無論A的取值如何，數列都是單調遞增的，而且隨n著的增大，無限趨近于1，即由此引出單調有界原理這個知識點，并通過數形結合的思想具體講解兩種情況：若數列單調遞增且有上界或單調遞減且有下界，則該數列必有極限。

回到原問題，從上述建立的數學模型可知，經過同樣時間的學習過程，不同的人技能掌握程度產生差異主要是因為學習效率的不同。若掌握95%以上的學習內容則認為該技能基本掌握，則學習效率A=0.8 的同學只需要兩次學習即可達到，而A=0.3 的同學則需要9 次學習才能達到。雖然過程不同，但只要通過足夠次數的學習都能達到掌握知識的目的，殊途同歸。由此我們還可以看出，隨著學習的進行，掌握速度越來越慢，入門容易，深入鉆研難，要追求卓越就要發揚孜孜以求的奮斗精神。

3.4.4 數學擴展

為了鍛煉學生的數學能力，可以用典型的極限問題來講解單調有界原理的應用。例如，1996 年高等數學考研題：設x1=10，，試證數列{xn}極限存在，并求此極限。做題的同時可以引導學生總結利用單調有界原理解決極限問題的常用情形及具體應用方法。

3.4.5 思考

最后給出兩個思考題：①在實際學習過程中，一般要考慮兩種機制：知識的獲得和知識的遺忘，在此機制下，模型又該如何建立？②若用模型刻畫知識的記憶程度，考慮艾賓浩斯記憶曲線，模型又該如何改進？思考題供有余力的同學進行鉆研，可進一步提升學生的創新能力。

3.5 教學反思

本小節的教學采用案例教學法，使學生聚焦于分析問題、解決問題的情境中，能夠在教師的引導下主動思考，在解決問題的過程中掌握單調有界原理這一知識，并能潛移默化地對學生進行價值引領，實現了預期的教學目標。

4 結語

在高等數學的教學中采用案例教學法，可以提升學生的學習興趣，培養學生的分析問題、解決問題的能力和創新能力。本文通過單調有界原理小節的教學具體闡述了案例教學的過程及效果。后續還將繼續收集教學案例，做好案例教學學時與講授學時的分配，編制基于案例教學的課程整體教學設計及教學單元設計，力爭實現案例教學成效最大化。