“強(qiáng)基計(jì)劃”視域下玻爾氫原子理論考點(diǎn)例析

徐烈劍

【摘要】自2020年始，“強(qiáng)基計(jì)劃”列入高校基礎(chǔ)學(xué)科招生計(jì)劃，物理學(xué)科試題難度超越高考．在近代物理學(xué)的考查中，玻爾氫原子理論考題頻出．為此拓展相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)分析考題、研究解題方略，以期為復(fù)習(xí)備考提供助益．

【關(guān)鍵詞】玻爾氫原子理論；高中物理；解題

自2020年始，“強(qiáng)基計(jì)劃”列入高校基礎(chǔ)學(xué)科招生計(jì)劃．“強(qiáng)基計(jì)劃”校測(cè)命題難度高于高考．在近代物理學(xué)的考查中，玻爾氫原子理論考題頻出．那么如何分析這方面的考題呢？

1 兩點(diǎn)拓展

1.1 拓展1 軌道量子化條件

原子的不同能量狀態(tài)對(duì)應(yīng)于電子的不同運(yùn)行軌道，由于原子的能量狀態(tài)是不連續(xù)的，因此電子的軌道可能是不連續(xù)的，即電子不能在任意半徑的軌道上運(yùn)行，只有滿足下列條件的軌道才是可能的．軌道半徑r跟電子的動(dòng)量mv的乘積等于h/2π的整數(shù)倍，即mv·r=nh/2π? （ n=1，2，3，…），式中，n是正整數(shù)，叫做量子數(shù)[1]．

1.2 拓展2 氫原子軌道半徑、能級(jí)公式

1.2.1 軌道半徑公式

設(shè)電子電荷量為e，質(zhì)量為m，電子繞核運(yùn)動(dòng)的軌道半徑rn，運(yùn)行速率為vn．

由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有 ke2/r2n=mv2n/rn.

結(jié)合玻爾軌道量子化條件，解得rn=n2r1（ n=1，2，3，…）式中，r1為基態(tài)軌道半徑．

1.2.2 能級(jí)公式

取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，氫原子系統(tǒng)具有的電勢(shì)能Ep=－ke2/rn．

電子和氫原子核系統(tǒng)具有的總能量（能級(jí)）為

En=1/2mv2n－ke2/rn=－1/2ke2/rn，

將rn代入上式中，有

En=－π2mk2e4/n2h2=－13.6/n2eV（ n=1，2，3，…）.

2 考題分析

2.1 通過(guò)能級(jí)圖及光電效應(yīng)，考查理解能力

例1 （2019年中科大試題）一群氫原子由n=3的能級(jí)向低能級(jí)躍遷發(fā)出光子．若發(fā)出的光子打到金屬鈉的表面上打出了光電子，已知鈉的逸出功為2.29eV，求能從鈉表面打出光電子的入射光的最小頻率？

解析 發(fā)生光電效應(yīng)時(shí)，入射光子的能量必須大于鈉的逸出功．氫原子從n=3的能級(jí)向低能級(jí)躍遷，共產(chǎn)生3種不同頻率的光子，結(jié)合氫原子能級(jí)圖可以判斷，由n=2的能級(jí)向基態(tài)躍遷時(shí)，在能發(fā)生光電效應(yīng)的前提下所輻射光子的頻率最小，即 ν=E2－E1/h=13.6－3.4×1.6×10－19/6.63×10－34Hz≈2.46×1015Hz．

點(diǎn)評(píng) 考查氫原子能級(jí)圖的理解及光電效應(yīng)發(fā)生的條件，主要考查考生的理解能力．

2.2 通過(guò)原子碰撞躍遷，考查推理能力

例2 （2008年上海交大試題）根據(jù)玻爾的氫原子理論，可以推出原子的能級(jí)公式為E=－13.6/n2eV（n取正整數(shù)）．求用動(dòng)能為12.6eV的電子流去轟擊氫原子氣體，則從發(fā)光光譜中可能觀測(cè)到多少條譜線？

解析 由氫原子能級(jí)公式可得第1，2，3，4條軌道的能量分別為E1=－13.6eV，E2=－3.4eV，E3=－1.51eV，E4=－0.85eV．

根據(jù)玻爾的氫原子理論，氫原子發(fā)生能級(jí)躍遷時(shí)吸收或輻射的能量等于各能級(jí)之差．如前所述，當(dāng)高能量的電子與氫原子發(fā)生碰撞時(shí)，電子的動(dòng)能可以全部或部分地被氫原子所吸收，因此，只要電子的動(dòng)能大于或等于兩能級(jí)之差，氫原子就能發(fā)生躍遷．

由于ΔE12=10.2eV<12.6eV，

ΔE13=12.09eV<12.6eV，

ΔE14=12.75eV>12.6eV，

所以氫原子能從基態(tài)吸收電子的部分能量躍遷至n=3的激發(fā)態(tài)，共發(fā)出3條譜線．

點(diǎn)評(píng) 理解電子流轟擊氫原子，使氫原子發(fā)生躍遷的條件，會(huì)用氫原子能級(jí)公式求兩能級(jí)之差．

2.3 通過(guò)氫原子模型，考查模型建構(gòu)能力

例3 （2019年北大博雅計(jì)劃）在氫原子能級(jí)中，從n=4能級(jí)躍遷到n=1能級(jí)發(fā)出的電磁波及氫原子的反沖速度為（）（已知?dú)湓淤|(zhì)量為m， 里德伯常量為RH，普朗克常量為h）

解析 從n=4能級(jí)躍遷到n=1能級(jí)發(fā)出的譜線系是萊曼系，在紫外線區(qū)域．設(shè)氫原子的反沖速度大小為v，由動(dòng)量守恒定律，有 0=h/λ－mv；

由頻率條件，有 E4－E1=hc/λ，

解得 v=15/16RHh/m．選項(xiàng) （B） 正確．

點(diǎn)評(píng) 考查氫原子能級(jí)圖與譜線的關(guān)系、躍遷滿足的頻率條件、動(dòng)量守恒定律、里德伯常量等知識(shí)點(diǎn)，要求能綜合應(yīng)用玻爾氫原子理論處理問(wèn)題．

2.4 通過(guò)奇特原子，考查模型建構(gòu)與創(chuàng)新能力

例4 （2012清華保送生測(cè)試）物理學(xué)家在微觀領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)了“電子偶素”這一現(xiàn)象．所謂“電子偶素”就是由一個(gè)負(fù)電子和一個(gè)正電子繞它們的質(zhì)量中心旋轉(zhuǎn)形成的相對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)．已知正、負(fù)電子的質(zhì)量均為m，電荷量大小均為e，普朗克常量h，靜電力恒量k．用玻爾模型推算“電子偶素”的基態(tài)半徑．

解析 由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有 ke2/2rn2=mv2n/rn．

由玻爾軌跡量子化條件，有

點(diǎn)評(píng) 正、負(fù)電子及μ±，τ±，π±介子等粒子分別取代普通原子中的電子、原子核或取代兩者通過(guò)電磁作用形成的原子，該類原子被稱為奇特原子，其中原子核被取代的又稱為粒子素[3]．本題中的“電子偶素”屬粒子素．因奇特原子結(jié)構(gòu)與氫原子相似，玻爾的氫原子理論同樣適用．

3 結(jié)語(yǔ)

綜上，“強(qiáng)基計(jì)劃”視域下，涉及玻爾氫原子理論方面的試題，除了掌握課本要求的內(nèi)容之外，還必須掌握文中所述的兩點(diǎn)拓展內(nèi)容．從能力視角看，主要考查推理論證能力．文中所選例題，一定程度上折射出在近代物理學(xué)方面命題的方向，因此，對(duì)于今后的復(fù)習(xí)備考具有一定的引領(lǐng)與導(dǎo)向作用．

參考文獻(xiàn)：

[1]楊福家.原子物理學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2004：27－38．

[2]王文濤，黃晶.名牌大學(xué)學(xué)科營(yíng)與自主招生考試綠卡 物理真題篇 第2版[M]．合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2018：241－242．

[3]陳熙謀.大學(xué)物理通用教材 近代物理[M]．2版.北京：北京大學(xué)出版社，2011：74．