考慮相位分布特征的多諧波源疊加方法

高 敏，朱明星，汪 清，焦亞東，丁 同

（1. 安徽大學電氣工程與自動化學院，合肥 230601；2. 南方電網公司新型智慧城市高品質供電聯合實驗室（深圳供電局有限公司），深圳 518020）

隨著光伏電站、風電場、電氣化鐵路、高壓直流換流站等規?；⒕W，電力系統的“雙高”特征凸顯[1]，加劇了電網的波形畸變[2-3]。同時，輸配電線路電纜化率的不斷提升[4]，電纜對地電容[5-6]和治理裝置[7]等引起的諧波諧振問題頻現，威脅電力系統的安全穩定運行。因此，加強對非線性負載并網前后的諧波管控是保障電網安全穩定運行的重要手段。然而，并網前預評估過程中的諧波發生量計算，以及并網后測試評估過程中的諧波限值分配，均會涉及多諧波源疊加問題[8]。

目前，多諧波源疊加方法主要有兩種實現路徑：①通過建立配電網節點模型，模擬在不同節點注入諧波源，采用蒙特卡羅等方法對關注節點的諧波電流疊加結果進行越限概率或畸變水平的統計分析[9-10]，該類方法不關注具體的諧波疊加過程，需建立網絡阻抗模型，在實際應用中實施難度較大；②國標《GB/T 14549—1993 電能質量 公用電網諧波》推薦在無相位條件下采用諧波電流疊加方法，并給出了諧波電流疊加公式和諧波電流疊加系數推薦值，為多諧波源疊加的工程應用提供了方法指導。但該標準中疊加系數是在一定的分布假設下得到的[11]，不同類型的非線性負荷諧波電流分布特征均存在差異，采用統一的諧波電流疊加系數會增大諧波電流疊加計算誤差[10]，增大諧波管控難度及成本。為獲取實際應用場景下諧波電流疊加系數，文獻[12]基于核密度估計與重要抽樣的蒙特卡羅方法，對兩個諧波電流源相位差的余弦值進行期望估算，得到諧波電流疊加系數，進而實現多諧波源疊加的準確計算，但該方法需要對參與疊加的兩個諧波源進行同步采樣。文獻[8]基于多通道同步采樣計算多諧波源電流疊加系數的分布，再通過置信區間估計得到諧波電流疊加系數的取值，但該方法也需多通道同步采樣。可見，目前關于諧波電流疊加系數的計算主要是基于同步采樣和概率統計法解決多隨機變量矢量求和問題。在實際應用中，由于測試條件限制，很多場景無法滿足同步采樣需求。此外，對相位差余弦值的概率分析只能反映兩個諧波源的疊加特性，當電網中存在多個不同類型的諧波源時，需對各諧波源的不同組合分別同步采樣。

諧波源的相位分布往往表現為在小于2π的扇形分布或橢圓分布[13-15]，通過數據篩選諧波電流較大工況時的相位分布近似呈正態分布[16-18]。為此，本文針對上述諧波源相位角分布特征，提出考慮相位角分布特征參數的諧波電流疊加系數計算方法。該方法通過獲取各諧波源相位角分布的期望值和標準差，即可實現任意諧波源之間疊加系數的準確計算，無需同步采樣，有利于實際應用。

1 多諧波源疊加模型

多諧波源疊加模型如圖1[19-20]所示。其中，為背景h次諧波電壓時序數列；ZS,h,t為等效的系統h次諧波阻抗時序數列；為公共連接點PCC（point of common coupling）處h次諧波電壓時序數列；為PCC 處h次諧波電流時序數列；，分別為負荷1，2，…，m注入電網的h次諧波電流時序數列；分別為負荷1，2，…，m中h次諧波電流源時序數列；Z1,h,t，Z2,h,t，…，Zm,h,t分別為負荷1，2，…，m的h次諧波阻抗時序數列；h為諧波次數；t為各時序數列的時間維度。

圖1 多諧波源疊加模型Fig.1 Multi-harmonic source superposition model

不考慮背景諧波影響時，M個諧波電流源注入PCC形成的總h次諧波電流時序數列可表示為

考慮背景諧波影響下，各諧波源注入PCC處的總h次諧波電流時序數列可表示為

式中，Zh,t為PCC 處所有負荷等效諧波阻抗的時序數列?？梢?，多諧波源同次諧波電流疊加是指多諧波源諧波相量時序數列的疊加。根據各諧波源諧波電流的幅值和相位變化信息，采用相量時序數列疊加的方式進行疊加計算，如圖2所示。

圖2 諧波電流相量疊加示意Fig.2 Schematic of superposition of harmonic current phasors

圖2中，I1,h,t和I2,h,t為兩個獨立隨機變量的h次諧波電流幅值的時序數列，φ1,h,t和φ2,h,t為兩個獨立隨機變量的h次諧波電流相位的時序數列，則兩個時序數列的相量疊加值的幅值計算公式為

對于相互獨立的兩個隨機變量，其乘積的期望值等于期望值的乘積，則對式（3）兩邊求數學期望可得到諧波電流疊加公式為

式中：Ih、I1,h和I2,h分別為Ih,t、I1,h,t和I2,h,t時序數列的期望值；E() 表示期望運算。當電網中含有多個諧波源時，先將諧波電流含量較大的諧波源進行疊加，再與諧波電流含量較小的諧波源疊加，依此類推。

根據式（4），令諧波電流時序數列的疊加系數Kh為

可見，確定諧波電流疊加系數Kh是多諧波源疊加的關鍵。在多諧波源系統中，若φ1,h,t和φ2,h,t保持恒定，則諧波電流疊加系數計算結果也是確定的。但在實際應用中，諧波電流相位分布在一定區間內隨機變化，而獲取φ1,h,t-φ2,h,t的時序數列時，需對兩個諧波源開展同步測量，不同時間的測試結果難以兼容，增大了諧波電流疊加系數的計算難度和工作量。因此，如何僅通過獲取單個諧波源相位時序數列的分布特征，準確計算不同諧波源的疊加系數，是當前急需解決的技術難題。

2 考慮相位分布特征的諧波疊加方法

2.1 疊加原理及影響因素

根據對典型負荷諧波電流相位分布特征的研究，大多諧波源在諧波電流較大工況下的相位特征近似呈正態分布。正態分布概率密度函數為

式中，μ、σ分別為正態分布的期望值和標準差，μ、σ均為常數且σ> 0 。若隨機變量X滿足式（6）所示的概率密度函數，則稱X服從參數為μ、σ2的正態分布，記作X～N(μ,σ2)。設諧波源1和諧波源2的相位角正態分布參數分別為和，下標1 和2 表示諧波源編號，則相位差φh,t仍呈正態分布，φh,t=φ1,h,t-φ2,h,t，則相位差φh,t滿足

根據式（5）和式（7），疊加系數是對兩個諧波相位差余弦值的時序數列求期望，若不考慮標準差的影響，即令，則疊加系數可表示為

可見，不考慮標準差影響時，期望值μ1-μ2越小，疊加系數越大，兩者呈余弦關系。當期望值一定時，標準差越大，相位角分布的離散性越大，諧波疊加的不確定性越大，則疊加系數越小。因此，當標準差不為0 時，式（8）不成立。為驗證標準差對疊加系數的影響，利用蒙特卡羅法產生相位分布滿足φ1,h,t～N(30°,(20°)2) 和φ2,h,t～N(5°,(10°)2) 的兩組隨機數組，如圖3（a）和圖3（b）所示。將諧波源1與諧波源2 的相位求差值，即φh,t=φ1,h,t-φ2,h,t，得到φh,t的概率密度分布及疊加系數概率密度分布分別如圖3（c）和圖3（d）所示。

圖3 正態分布相量疊加的概率密度Fig.3 Probability density for superposition of normally distributed phasors

諧波源1與諧波源2相位差的期望值為25°，不考慮標準差影響時，疊加系數Kh= 2 cos 25°= 1.81，而根據疊加系數概率密度分布得到的疊加系數為1.68，因此，疊加系數受相位分布標準差的影響也較大。

綜上所述，疊加系數取決于諧波源相位分布的期望值和標準差。由于期望值與疊加系數呈余弦關系，因此如何量化標準差對疊加系數的影響是本文方法的關鍵。

2.2 影響量化分析

為量化分析諧波電流相位分布的標準差對疊加系數的影響，利用蒙特卡羅法，每次生成5 000組滿足指定正態分布特征參數的隨機數，計算出相位差在不同的數學期望和標準差下疊加系數的變化趨勢，如圖4 所示。當諧波源相位差的期望值為180°、標準差為0°時，疊加系數為-2，諧波電流疊加時相互削弱。以相位差的期望值等于180°為界限，當相位差的期望值從180°變化至360°，與從180°變化至0°時，兩者的疊加系數變化趨勢相互對稱。當諧波源的相位差為0°（或360°）、標準差為0°時，諧波電流疊加系數為2，諧波電流疊加時可采用線性疊加。

圖4 相位分布特征與諧波電流疊加系數的量化關系Fig.4 Quantitative relationship between phase distribution characteristics and Kh

為量化標準差σ對疊加系數的影響，定義諧波電流疊加衰減系數Kσ等于標準差為σ時的諧波電流疊加系數與標準差為0 時的諧波電流疊加系數的比值。在不同期望值下，Kσ隨σ的變化趨勢如圖5（a）所示?？梢?，在不同期望值下，Kσ與σ的變化趨勢均一致，說明Kσ僅受標準差的影響，不受期望值的影響。由圖5（a）中各條曲線擬合得到Kσ與σ的對應關系如圖5（b）所示。

圖5 諧波電流疊加衰減系數Kσ擬合結果Fig.5 Fitting results of Kσ

因此，基于蒙特卡羅擬合結果，可得出兩個諧波相位呈正態分布的諧波電流疊加系數的計算公式為

這里諧波電流疊加衰減系數Kσ僅與兩個諧波源相位差的標準差有關。由式（9）可知，只要獲取各諧波源相位角的期望值和標準差，即可準確計算任意諧波源之間的疊加系數。

3 測試數據驗證

3.1 居民負荷諧波疊加驗證

某居民負荷臺區有兩條饋出線，為便于對疊加效果進行驗證，采用多通道測試儀器對兩路饋出線和低壓臺區總進線的電流信號及供電母線電壓信號進行同步采樣。以A相3次諧波電流為例，測得饋線1、饋線2的3次諧波電流變化趨勢分別如圖6（a）和圖6（c）所示，兩條居民用電負荷饋線的3次諧波電流相位分布特性如圖6（b）和圖6（d）所示。

圖6 居民用電負荷3 次諧波電流趨勢及相位概率密度Fig.6 Trend and phase probability density of 3rd harmonic current of residential electric load

從圖6 可以看出，由于居民負荷用電具有隨機特征，不同時段的用電設備不同，導致測試時間內的諧波電流相位分布呈現非標準的正態分布。但是，根據兩條居民負荷饋線3次諧波電流相位差的正態分布特征參數，饋線1 的3 次諧波電流相位角分布的數學期望和標準差分別為54.36°和9.49°，饋線2的3次諧波電流相位角分布的數學期望和標準差分別為31.48°和4.17°。兩者相位差分布的數學期望μ= 54.36°- 31.48°= 22.88° ，相位差分布的標準差。根據圖5得到標準差σ= 10.37° 對應的諧波電流疊加衰減系數Kσ= 0.98 ，根據式（9）計算出的諧波電流疊加系數期望值為Kh= 2 cos 22.8°× 0.98 = 1.805 8 。

根據本文方法計算得到的諧波電流疊加系數和國標《GB/T 14549—1993 電能質量 公用電網諧波》中提供的3次諧波電流疊加系數（即1.62），分別計算兩條居民負荷饋線的諧波電流疊加值，并與實測的居民負荷總進線3次諧波電流進行對比，結果如圖7 所示。可見，實測的居民負荷總進線3 次諧波電流最大值、95%概率值和平均值分別為31.80 A、30.81 A 和27.63 A；而根據國標推薦的疊加方法計算的居民負荷總進線3次諧波電流最大值、95%概率值和平均值分別為31.42 A、29.94 A和27.03 A；本文方法計算的居民負荷總進線3次諧波電流最大值、95%概率值和平均值分別為32.19 A、30.66 A 和27.66 A。以95%概率值進行評估時，國標推薦的疊加方法和本文方法的計算誤差分別為2.8%和0.5%，本文方法計算誤差降低了82.1%，與國標要求的A級諧波測量儀允許誤差（≤5%）相比，本文方法計算誤差降低顯著。

圖7 不同方法疊加結果與實際測試結果對比Fig.7 Comparison between superimposed results calculated bydifferent methods and actual test results

3.2 充電站負荷諧波疊加驗證

某充電樁負荷含兩條充電樁饋線，每條饋線有兩個直流充電樁，為便于對疊加效果進行驗證，采用多通道測試儀器對兩條充電樁饋線和總進線的電流信號及供電母線電壓信號進行同步采樣。以A相的5次諧波電流為例，測得饋線1、饋線2的5次諧波電流變化趨勢分別如圖8（a）和圖8（c）所示。充電樁存在明顯的運行周期，充電時段的諧波電流變化相對穩定，非工作時段的諧波電流含量很小。為排除充電樁非工作時段諧波電流相位分布對疊加系數計算結果的影響，通過數據篩選剔除充電樁非工作時段的諧波數據，數據篩選閾值為對應饋線最大諧波電流的0.3倍。數據篩選后兩條充電樁負荷饋線的5 次諧波電流相位分布特性的分析結果如圖8（b）和圖8（d）所示。

圖8 充電樁5 次諧波電流趨勢及相位概率密度Fig.8 Trend and phase probability density of 5th harmonic current of charging pile

從圖8 可以看出，對于充電樁負荷來說，充電過程中諧波電流相位穩定，相位分布近似呈正態分布。而根據兩條充電樁饋線5 次諧波電流相位差的正態分布特征參數，饋線1 的5 次諧波電流相位角分布的數學期望和標準差分別為-120.55°和6.07°，饋線2 的5 次諧波電流相位角分布的數學期望和標準差分別為-134.37°和6.07°，則兩者相位差分布的數學期望μ= 13.82° 、標準差σ= 8.58° 。根據圖5 可得到標準差σ= 8.58° 對應的諧波電流疊加衰減系數Kσ= 0.985 ，諧波電流疊加系數期望值Kh= 2 cos 13.82°× 0.985 = 1.913 。

根據本文方法計算的諧波電流疊加系數和國標中提供的5次諧波電流疊加系數（即1.28）分別計算兩條充電樁饋線的諧波電流疊加值，并與實測的兩條充電樁總進線5次諧波電流進行對比，結果如圖9所示?？梢钥闯?，實測的兩條充電樁總進線的5次諧波電流最大值、95%概率值和平均值分別為2.670 A、2.529 A 和1.822 A，而根據國標推薦的疊加方法計算的兩條充電樁總進線的5次諧波電流最大值、95%概率值和平均值分別為2.461 A、2.326 A和1.710 A，本文方法計算的兩條充電樁總進線的5 次諧波電流最大值、95%概率值和平均值分別為2.669 A、2.528 A和1.837 A。以95%概率值進行評估時，國標推薦的疊加方法和本文方法的計算誤差分別為8.03%和0.04%，本文方法的計算誤差降低了99.50%。

圖9 不同方法疊加結果與實際測試結果對比Fig.9 Comparison between superimposed results calculated by different methods and actual test result

4 結 論

本文提出了一種考慮諧波電流相位分布特征的多諧波源疊加方法，主要結論如下。

（1）諧波疊加是相量運算，在實際電網中由于諧波的幅值和相位均在一定區間內隨機變化，因此多諧波源疊加的本質是隨機矢量求和問題。

（2）疊加系數取決于諧波電流相位分布的數學期望和標準差。本文基于蒙特卡羅法量化了標準差對諧波電流疊加系數的影響，提出了基于數學期望和標準差的諧波電流疊加系數計算公式。通過在居民負荷和充電樁負荷兩種典型場景中的應用驗證，本文方法較國標推薦方法的計算誤差降低80%以上。

（3）實際應用中往往以諧波的95%概率值進行評估，當非線性負荷的諧波電流變化幅值較大時，篩選出諧波電流較大時刻的諧波電流相位分布特征進行計算，可以顯著降低計算誤差。

（4）本文方法以基波電壓上升沿過零點為諧波電流相位計算的參考基準，僅需計算或獲取各諧波源的相位分布特征參數，即可實現任意諧波源的疊加計算，具有計算量較小、計算誤差小、無需同步測量等優點，提高了多諧波源疊加的準確性和工程實用性。

本文方法在各諧波源相位角近似滿足正態分布的場景下取得了較好的疊加效果，但對于交流電弧爐等電弧類非線性負荷場景下，諧波電流相位角不滿足正態分布時，諧波電流疊加方法的適用性及改進是下一步需重點研究的方向。