線性再生散度模型的極大Lq-似然估計的漸近性質

胡宏昌,吳喬艷

(湖北師范大學 數學與統計學院,湖北 黃石 435002)

0 引言

自Jorgensen[1](1997)在其專著中定義了再生散度模型(RDM),并且提出廣義線性模型的理論可以推廣到以RDM為隨機誤差的模型之后,唐年勝等[2～4]從2000年開始研究非線性再生散度模型(NRDM)的相關性質,并于2006年在Fahrmeir和Kaufmann[5]的基礎上將廣義線性模型的極大似然估計(MLE)結果推廣到線性再生散度模型(LRDM),得到了該模型MLE的相合性和漸近正態性。Ferrari和Yang[6](2010)研究了基于非廣義熵的極大Lq-似然估計(MLqE),得到了指數分布族MLqE的弱相合性和漸近正態性,并通過 Monte Carlo模擬得到:對于中小樣本量來說,MLqE比MLE有更好的穩健效果。近年來,不少學者也研究各種模型的MLqE的各種性質,如:極大Lq-似然估計的穩健性[7],Gamma分布的極大Lq似然估計[8],Marshall-Olkin拓展伯爾分布的極大Lq-似然估計[9]。然而,到目前為止還沒有學者研究RDLM的MLqE,本文基于Fahrmeir和Kaufmann[10]提出的條件,得到了 RDLM的MLqE的相合性和漸近正態性,通過模擬算例得到:隨著n的增大,參數估計值越接近參數真值。

1 預備知識及其假設條件

記yi為響應變量的觀測值,xi=(xi1,xi2,…,xim)T為第i個解釋變量觀測的向量,如果

1)存在一個嚴格可微的函數g(聯系函數),使得

(1)

2)y1,y2,…,yn相互獨立,且隨機變量yi的概率密度函數為

(2)

其中θi=θi(β),β=(β1,β2,…,βm)T(m

由文獻[7]可知,線性再生散度模型的極大Lq似然函數為

(3)

為了研究β的相關性質,我們需要如下假設:

假設條件A:

i)對?xi∈χ?Rm,χ為定義在Rm上的緊子集,?β∈B?Rm, B為定義在Rm上的凸緊集;

iii)β為B的未知真參數,且β0為B的內點;

iv)f為二次連續可微函數且f的一階、二階導數均有界,df/dη≠0;

v)d(y;θ)關于θ是可微的,對?θi∈Θ,i=1,2,…,n有0

0

vi)qn為一序列,且qn→1(n→∞).

假設條件B:

2 相合性和漸近正態性

在證明定理之前,先不加證明地給出一些引理。

引理1[11]令Ψn是一個隨機向量值函數,Ψ為一固定的向量值函數,若對?ε>0滿足

(4)

其中

因此,為了證明定理1,我們只需要去證明:對于任意的β∈B,Ψn(β)依概率收斂到Ψ(β).

顯然

(5)

則

(6)

下面只需要證明

(7)

注意到

且由條件A(i)(iv)(v)得

其中C為有限常數,全文不同處的C表示不同值。

(8)

因此由式(7),式(8)可知我們只需證明如下式(9)成立即可。

由于

故若證明式(10)成立,只需要證明如下式(11)及式(12)成立即可。

由a(yi;σ2)有界知

對于r=1,2,有

(13)

由于β0為內點,當條件A(vi)成立時,由控制定理可知

于是當n→∞時,有

(14)

(15)

定理2 如果假設條件A(i)～(iii)和B成立,則

(16)

其中

(17)

(19)

從而由Lindeberg-Levy中心極限定理有

(20)

(21)

故

(22)

(23)

(24)

3 模擬算例

本節采用I型極值分布來進行模擬,其密度函數為

由表1及表2可以得到以下結論:

表1 β在不同n下MLE的結果

表2 β在不同n下MLqE的結果

1)當q越趨近于1時,極大Lq-似然估計的參數估計值越接近于極大似然估計;

2)隨著n的增大,參數估計值越接近于真值,均方誤差也越小;

3)當q<1時,極大Lq-似然估計參數的均方誤差大于極大似然估計的均方誤差;當q>1時,極大Lq-似然估計參數的均方誤差小于極大似然估計的均方誤差。