基于運動波方程的道面水膜厚度動態演變研究

黃琴龍 吳鳴濤 蔡爵威

(1.同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室 上海 201804; 2.上海市建筑科學研究院有限公司 上海 201108)

道面濕滑嚴重影響飛機的制動能力和轉彎性能,極易造成飛機“漂滑”現象[1],對飛機起降的安全性構成極大威脅。由于飛機滑跑速度高,機場道面抗滑性能對水膜厚度的變化非常敏感,有效獲取道面水膜厚度的動態演變信息,有助于識別與預警濕滑狀態下飛機滑跑安全風險,是機場安全運營工作和“四型機場”建設的重要內容。

近年來,國內外許多學者通過理論推導和試驗數據擬合等手段,對道面水膜厚度分布開展研究。張理等[2]采用謝才公式和曼寧公式進行理論推導,得到了不同降雨強度和道路橫縱坡條件下的水膜厚度公式。李光元等[3]采用極差分析法得到水膜厚度影響因素的主次順序,回歸分析了人工降雨試驗數據,得到了水泥混凝土道面的水膜厚度預測模型。尚彥宇等[4]通過零縱坡軸推導了路面徑流特征,建立了超高漸變段路面模型。總體而言,上述模型適用于降雨強度穩定不變的情況,但無法實時、動態求解道面水膜厚度。

本文基于運動波方程和水力學基礎理論,擬結合道面紋理,橫、縱坡排水,以及實時降雨強度,提出道面水膜厚度求解的基本控制方程;采用Preissmann法和MacCormack法對模型進行動態求解,并在恒定降雨強度和變化降雨強度2種條件下進行模型驗證。

1 模型構建

道面水膜厚度的動態演變,可采用一維模型和二維模型進行計算。二維模型采用有限元方法,精細化模擬道面的真實紋理狀態和水流的運動,從而精確求解道面水膜厚度,但計算耗費時間較長、概化困難,且需要高分辨率高程數據進行支撐,二維模型過大的計算量會極大增加系統負擔。而一維模型根據道面高程數據和計算網格密度,提取道面內水流流線,并計算各流線上水膜厚度;通過各流線的匯流關系,計算道面各網格的水膜厚度值,最終獲取道面水膜厚度的動態演變,具有計算效率高、計算時間短、所需邊界信息及高程數據較少等優點[5]。因此本研究采用一維模型對道面水膜厚度的動態演變進行求解。

1.1 道面徑流流線提取

為了獲取道面水膜厚度動態演變,首先需要確定道面徑流的流線。在網格單元劃分的基礎上,假定網格單元內最大坡降方向與坡度均為定值,區域內最大坡降方向即為流線方向,由此可計算出網格邊界任意點起始的流線軌跡。對于不同網格間流線軌跡的銜接,上游網格單元內的流線終點即為下游網格單元內的流線起點,由此可將流線從跑道中線逐步推算到道肩。

通過對網格進行編號(Xj,Yk)確定單元及其對應位置,提取道面的流線,網格間流線組合示意圖見圖1。

圖1 道面網格劃分與網格間組合流線示意圖

流線與坡降方向平行,對于流線經過的任意網格,起點不同的流線不會相交;對于任意起點在單元內的流線終點,均可以通過其在單元內的位置和坡降方向信息計算得到,并代入下一單元內繼續計算。

在任意網格單元(Xj,Yk)內,流線起點位置為(x0,y0),流線終點位置為(x1,y1)。當流線起點在x方向時(即x0≥0,y0=0),對于不同起點和坡度的網格單元,流線終點可能在坡降方向所指向的2條邊界(即y方向邊界、x方向邊界)及其交點(x方向邊界和y方向邊界的交點)處,其所對應下一個單元的網格編號分別為(Xj+1,Yk)、(Xj,Yk+1)、(Xj+1,Yk+1)。圖1右側圖為流線起點在x方向時的示意圖,計算方法如式(1)所示。

(1)

式中:LX為網格單元在x方向的長度,m;LY為網格單元在y方向的長度,m;i為網格單元內的綜合坡度,%;ix為網格單元內x方向的坡度,%;iy為網格單元內y方向的坡度,%。

當流線起點在y方向時(即x0=0,y0>0),只需將式(1)中的x與y、X與Y互換即可。

1.2 道面水膜厚度控制方程

水泥混凝土道面徑流可視為坡面流的匯流過程,可采用一維圣維南方程進行表征,其基本方程包括連續方程和動力方程,分別如式(2)、式(3)所示。

(2)

(3)

式中:t為時間;q為降雨強度;x為距道面徑流某固定斷面沿流程的距離;h、u、Q分別為x處過水斷面的水深(即水膜厚度)、斷面平均流速、斷面平均流量;g為重力加速度;S0、Sf分別為坡底源項和摩擦源項。

式(2)是連續方程,第一項為沿程流量的變化率,第二項為蓄量的變化率,第三項為降雨強度,反映了流線中的水量平衡;式(3)是動力方程,第一項為局部加速度項,第二項為對流加速度項,第三項為壓力梯度項,第四項為水流內部及邊界的摩阻損失,反映了水流克服壓力和摩阻引起的能量損失而獲得加速度。

道面徑流屬于地表漫流,可將其流動視為運動波,因此可以忽略動力方程中的局部加速度項、對流加速度項、壓力梯度項,將式(3)調整為式(4)。

g(Sf-S0)=0

(4)

曼寧公式作為一種經驗公式,常用于明渠流水力計算。道面上薄層水流狀態是紊流,具有自由表面,且重力是其流動的主導因素,因此將曼寧公式帶入謝才公式,可獲得流速u與糙率n、水力坡度J,以及水力半徑R的關系,如式(5)所示。

(5)

式中:水力半徑R為過水斷面面積A與濕周C的比值,其值約等于水膜厚度h,即R=A/C≈h;水力坡度J為比降,即道面橫坡i,即J=i。代入式(5)可得式(6)。

(6)

式(6)兩邊同乘h,得到流量Q與水膜厚度h、糙率n及道面橫坡i的關系,如式(7)所示。

(7)

由于道面橫坡i足夠小,tani近似與i相等。因此將式(7)調整為式(8)。

(8)

式中:m= 5/3;α= (tani)1/2/n;MH/T 5036-2017 《民用機場排水設計規范》中給出的瀝青混凝土或水泥混凝土道面的糙率為0.013,取n=0.013。

聯立式(8)與式(2),得到道面水膜厚度求解的基本控制方程,如式(9)所示。

(9)

2 模型求解

采用Preissmann四點隱式差分法和MacCormack差分法,將式(9)在時間和空間2個維度上,進行離散化并求解。

2.1 Preissmann四點隱式差分法

對于函數f(x,t),按式(10)計算各因變量對其導數的離散形式。

(10)

式中:θ為加權系數,0 <θ≤1。

將式(10)帶入式(9)可得

(11)

2.2 MacCormack差分法

MacCormack差分法按照預測-修正的方式,對式(9)進行求解。預測步、修正步分別如式(12)、式(13)所示。

(12)

(13)

2.3 邊界條件

在求解過程中,取未降雨(或剛開始降雨)的時刻為 0 時刻,且流線起點為道面高程的極大值點,整個模型的邊界條件滿足式(14)。

(14)

3 模型驗證

3.1 恒定降雨強度下水膜厚度計算

季天劍等[6]選取了AC-25、AC-20和SMA-13 3種典型道面結構,開展了道面水膜厚度試驗,建立了計算水膜厚度的回歸方程。本文參考其試驗條件,將其試驗數據作為實測值,對比分析本文模型的水膜厚度計算值,結果見圖2。

圖2 SMA-13改進型路面結構實測值與計算值對比

圖2a)選取恒定降雨強度5.4 mm/min,排水長度0～8 m共9種工況,對水膜厚度實測值與計算值進行比較,可以看出,在不同排水長度下,水膜厚度的計算值與實測值吻合度較高。圖2b)選取恒定降雨強度3.6,5.4,6.3 mm/min,排水長度0～8 m共27種工況,對水膜厚度實測值與計算值進行比較,可以看出,在不同排水長度、不同降雨強度下,水膜厚度的計算值與實測值仍保持較高吻合度,兩者的平均絕對誤差為0.54 mm,平均精度為85.1%。考慮到文獻[6]中水膜厚度測量分辨率為0.5 mm,因此可以認為,在恒定降雨強度下,本文提出的計算模型具有較高精度。

3.2 變化降雨強度下水膜厚度計算

采用本文提出的模型,計算變化降雨強度及坡度情況下的水膜厚度演變情況。隨機生成30 min的降雨強度序列,計算結果見圖3。由圖3可見,水膜厚度演變情況與降雨強度變化呈現出較好的一致性,模型很好地反映了在降雨強度改變時水膜厚度的演變情況,以及降雨停止后積水的消散,避免了回歸模型中的結果突變現象。

圖3 變化降雨強度下水膜厚度演變情況

獲取流線上每一點處的水膜厚度時空演變情況見圖4。

圖4 水膜厚度的時空演變特征

由圖4可見,流線上每一點處的水膜厚度隨時間的變化情況都被非常直觀地呈現了出來,相當于得到了該面域的水膜厚度時空演變情況。若將網格劃分地更細,得到的結果精度會更高,但與此同時消耗的計算力也越大,考慮到模型預測的實時性,需要根據實際情況在計算速度和精度之間取一定的平衡。

3.3 不同求解方法的對比

本文采用Pressimann四點隱式差分法和MacCormack差分法對控制方程進行求解。隨機生成30 min的降雨強度系列計算結果分別見圖5。

圖5 Preissmann法和MacCormack法的計算結果

由圖5可見,2種算法的計算結果基本一致,但在求解過程中,Preissmann四點隱式差分法的計算時間為64 s,MacCormack差分法的計算時間為36 s,后者耗時僅為前者56.25%。考慮到機場系統的數據體量巨大,MacCormack差分法更有助于快速處理并獲取道面水膜厚度的動態演變信息,有效提升風險預警的安全裕度。因此在后續研究中,可采用MacCormack差分法對模型進行求解。

3.4 實測驗證

北京首都國際機場安全預警平臺布設了水膜厚度感知系統,安裝了Vaisala MD30遙感式水膜厚度傳感器和脈沖式雨量計,實時監測跑道區域的水膜厚度和降雨強度。在安裝區域內,跑道橫坡和縱坡分別為1.2%和0.15%。

采用該系統2020年11月18日的降雨強度和水膜厚度監測數據,對本文模型進行實測驗證,計算結果見圖6。

圖6 模型計算值與實測值的結果

由圖6可見,模型的計算值與實測值具有很好的一致性,均方根誤差為0.17 mm。因此,在變化降雨強度下,本文模型具有較高精度,能夠精確、實時地描述道面水膜厚度的動態演變。

4 結語

1) 本文基于運動波方程,結合道面動態時空信息,建立了道面水膜厚度動態演變的求解模型,并通過實測數據驗證了模型的可靠性。

2) 在恒定降雨強度下,本文模型能夠精確計算出道面水膜厚度,平均絕對誤差為0.54 mm,平均相對誤差為14.9%。

3) 在變化降雨強度下,本文模型能夠很好地反映道面水膜厚度的演變特征,并且模型結果與實測數據一致性較好,均方根誤差為0.17 mm。

4) 采用了Preissmann四點隱式差分法和MacCormack差分法進行模型求解,后者在求解耗時僅為前者的56.25%,可在后續研究中優先考慮。