聚焦基礎知識 實現精準備考

名師簡介

廖國達

廣東梅縣東山中學教師，中學數學高級教師。熱愛教育事業，喜歡思考創新，教學上因材施教，喜歡用一題多解、一題多變的教學方式幫助學生尋找較簡的方法解決數學問題。數學教學理念是“教數學育思維”，即教數學不是簡單的教會學生解題，而是通過解題學會解決問題的思想和方法，培養學生學數學的興趣，培養學生的數學思維能力，因此，在數學教學過程中善于激發學生學習的潛能，注重培養學生的解題方法和數學思想，提高學生的綜合素質，為學生將來的學習和工作打下堅實基礎。

2023年新高考數學全國Ⅰ卷試題落實了高考內容改革的總體要求，突出了關鍵能力考查，體現了高考數學的科學選拔功能和育人導向。全卷容易題、中檔題比重適當，注重通性通法的考察，所有題目題干簡潔、自然、規范、優雅、綜合性強，考點覆蓋非常全面，這是高考數學試題的一個方向。

考查重心回歸基礎，題型設計巧妙

2023年新高考數學全國Ⅰ卷依據課程標準命題，突出主干知識，考查基本概念的理解，常規的基礎題型設計巧妙，發揮高考試題對中學教學改革的引導和促進作用。

特點一：各小題知識點分布簡要說明如右圖，考查內容簡潔（見右圖）

特點二：重點考查主干知識

這份試卷考查內容如下：函數與導數（第4、10、11、19題共27分）、立幾（第12、14、18題共22分）、解幾（第5、6、16、22題共27分）、三角（第8、15、17題共20分）、概率統計（第9、21題共17分）、數列（第7、20題共17分）。主干知識考查總分值為130分，占全卷的87%，剩下的20分分別是集合、復數、向量與組合各占5分，而不等式作為一條暗線，是解決數學問題的重要工具，融入了對應的考題之中。

特點三：考查基本概念的理解和常規的基礎題型

今年數學題對全體學生很友好！全卷整體難度與去年比較有所緩和。選擇、填空部分都沒有為難考生，且多選題后三題都是3個正確選項，明顯讓考生多得分，但得高分更難；重視回歸教材：如試卷第1-5題、第9-10題、第13-14題、第17-19題，都注重考查基礎知識，由教材的習題或例題改編。如第21題傳球問題，概率和數列結合，出自選擇性必修3課本第91頁的第10題。重視考查考生對數學本質的理解，從數學概念、數學方法入手：如第2題考查共軛復數的定義；如第7題以等差數列為材料，考查充要條件的推理證明；如第9題考查考生對樣本平均數、樣本標準差、樣本中位數、樣本極差概念的理解和掌握；第14題考查棱臺的體積公式；第18題考查二面角的概念。試卷近一半的題目都屬于常規題型：如第10題利用對數函數研究噪聲聲壓水平，通過對聲壓級的研究，全面考查了對數及其運算的基礎知識；第11題抽象函數，是考查函數性質最深刻和有力的工具；第15題三角，求w范圍，方法是卡根；第16題是考查雙曲線焦半徑和離心率，這題方法多樣，入口很寬，但不同的選擇在計算和耗時方面會有很大差距，有很好的區分度。從中我們發現，本試題重點考查數學基礎知識、基本概念的理解，是常規題型。如果學生平時只是一味刷題，不注重數學知識的理解和思維能力的培養，在很多基礎題目上也會“翻車”。

本試卷的考查內容范圍和比例、要求層次和課程標準保持一致，注重考查內容的全面性，引導教學依標施教。全卷大題和平時訓練順序有較大不同。前三個大題難度平緩，從第4題開始難度逐漸加大，但是各大題都有基礎的問，不同水平的學生都能有所得。

把握新高考命題新趨勢，實現精準備考

新高考主要考查考生的思維方式和探究技能，考查考生的邏輯推理能力、數學抽象能力、空間想象能力、快速準確運算能力。

策略一：重視回歸教材，反套路很明顯，淡化了特殊方法、技巧解題

針對基礎知識的備考，要做到以下兩點。第一，從教材到高考：平時訓練的試題要大多數來源于教材，以便更好地檢測學生在復習中對基本概念、原理、思想方法的掌握情況。第二，從基礎到能力：堅持以能力為重，注重掌握基礎知識體系的完整性，關注不同知識內容之間的聯系，注重通性通法，淡化特殊方法、技巧解題。

高三復習我們要加強以下知識點的往年高考真題訓練：集合、復數、數列、三角函數（單選與多選）、函數（抽象函數、函數圖象、函數零點、指對數運算及比較大?。⒘Ⅲw幾何（空間想象的多選）、向量的平行與垂直（圖形特殊化坐標法）、直線與圓、二項式定理（多選或填空）、排列組合與概率、圓錐曲線、導數切線線程。

策略二：重視鍛煉關鍵能力——考生的邏輯推理能力、數學抽象能力、直觀想象能力

以下，我們分為七大方面詳細解讀：

1.解三角形：正余弦定理和三角恒等變換的靈活運用，對圖形進行分解、組合能力

前年解三角形第19題：不是常規地利用正余弦定理與面積公式求解三角形，而是要利用正余弦定理建立方程組進行推理運算。去年第18題：考查了函數與方程思想，求最值轉化為角的函數，用基本不等式求最值或構造函數求解最值。兩年的題都不是單純地考查運算能力，還要求具有很強的分析問題的能力。今年第17題，第（1）問強調三角變換的技巧，第（2）問以正弦定理解三角形，考查數學運算素養。高考復習要注意內外角平分線定理的證明，加強正余弦定理三角恒等變換的靈活運用、加強圖形分解、組合能力培養。

2.立體幾何：考查推理能力，空間想象能力

前幾年的立體幾何解答題，建系過程都不是那么顯然，需要考生分析空間位置，找到合適的垂直關系來實現。今年的立體幾何用傳統法證平行，難倒了不少考生，用向量加減法證平行或用向量的坐標法容易得多。我們高考復習應該把握到近年來立體幾何命題的一些重要變化，要對以下兩個方面做詳細的梳理：一方面，提升幾何論證能力，傳統法先行，向量法要有建系過程的論證，需要嚴謹表達；巧用長方體、對稱建系。另一方面，過好運算關，要巧算，能熟練借用平行、垂直、對稱、特殊圖形的性質確定點的坐標和相關向量，注意巧用平行向量進行去分母、有理化、化單位向量等方法簡化相關向量后求法向量。對中檔生而言，多去研究往年立體幾何真題中最佳解題策略。

3.函數導數：考查獨立思考、探索、創造性地解決問題能力

前年導數第22題：極值點偏移或對數平均或雙變量合一都可解題，考查考生綜合應用能力。去年第22題：第（1）問求參數a的值需分類討論，第（2）問用同構法證明等差數列。今年第19題：入口很寬，可以直接求導、求最小值后再放縮，也可以移項后直接同構，這題導數屬于中檔題。今后導數復習需重點關注：求參數的取值范圍、分類討論、零點問題、單變量函數不等式的證明等，平時要多加訓練分離參數的方法、分類討論和假設反證的方法。

4.數列：從特殊到一般的研究方法（去年導數壓軸題是證明等差數列明示今年數列后移）

前年第17題是遞推數列與等差數列的結合及分奇偶討論，似乎也難倒了不少考生。去年第17題，第（1）問是等差數列的項與和的關系求通項，第（2）問裂項求和不等式放縮。今年第20題，頗具有計算量，且具有競賽味，題型較新，有一定的難度。今后數列大題的復習中，不求難，但求全。我們重點掌握數列求通項、求和的技巧與方法的同時，也要重視數列中從特殊到一般的研究方法，突出發現規律。

5.概率統計題：考查閱讀能力與數據處理能力

一個典型——大數據技術和AI技術的迅猛發展，導致莖葉圖這種不合時宜的知識點退出課本，與此同時，條件概率和貝葉斯公式這種概率統計的重要基礎變得非常重要。前年概率統計在18題的位置，考查概率分布列，決策情境。去年第20題明顯有往年文科試題特色，現學現用地解決本題問題，但本題新穎，文字閱讀量大，并且偏離常規內容，條件概率和貝葉斯公式以前考查很少，也難倒不少考生。今年第21題，由于概率統計后移，難度加大，綜合性也增強，但是因為有三個問，所以梯度很好?？偟膩碚f，數列與概率統計結合也是概率題加大難度的不二選擇！求出遞推式后再進一步處理，思路其實還是簡潔的！重視基于數學素養的關鍵能力的考查，在數學知識、數學能力和創新思維層面都有所體現，具有較好的選拔功能。高考概率統計題，突出了使用互斥事件、獨立事件求概率，結合教材中的決策情境，學生一般會選擇期望進行決策，同時也要注意用概率進行決策的試題，要重視往年考查方向是經驗回歸方程相關的真題，能在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、建立模型、檢驗結果、改進模型。

6.解析幾何：考查分析問題，確定參數，建立模型證明不等式

前兩年，以雙曲線為考查背景的試題，全國卷的命題風格均是一些熟悉的模型，例如斜率和、斜率積、阿基米德三角形；今年22題把圓錐曲線作為最后一題，既打破了傳統圓錐曲線的地位，同時又不像往年那樣老考結論性問題，算是一種創新。為了公平、避免撞題，特意使拋物線頂點沒有放在原點，考生可以設線，也可以設點，可以用旋轉（加參數法），可以找到定點（基于熟悉結論）再處理，還可以完全用平面幾何方法，在處理最值時，可以轉化為函數后求導，也可以直接二次放縮，還可以從折線函數最值角度處理，實在精妙。圓錐曲線在高三備考中：第一，強調通法通性在解題中的應用；第二，加強對幾何問題代數化的方法歸納、總結和訓練；第三，加強學生運算能力的培養，注重運算教學示范和成效；第四，加強對解析幾何命題規律和命題特點的研究，特別是對往年高考試題的研究。

7.選填壓軸：考查化歸與轉化能力，發展直觀想象、邏輯推理等能力

很多教師都認為壓軸小題基本都是函數、數列、導數，考解析幾何、立體幾何的知識，然而在此提醒各位考生和老師，高考試題在各板塊的必備基礎知識中都有可能作為壓軸題來考。

從考查基礎知識的方向出發，以新穎背景為載體，體現從特殊到一般的研究方法，培養學生化歸與轉化能力，發展直觀想象、邏輯推理等素養，體現出素養導向的命題理念。

掌握一些選擇題、壓軸題或多選題的解題方法：排除法、特殊值檢驗法、極端性原則、順推破解法、逆推驗證法、正難則反法、數形結合法、遞推歸納法、特征分析法、估算法，以上方法要注意靈活運用，很多情況下都是需要穿插綜合運用，不可拘泥于一法。另外，大部分方法在做填空題時，也是同樣適用的，比如正難則反、數形結合、特征分析、遞推歸納等，考生們還是要靈活運用。

名師溫馨提示

說到高三備考，不能因為今年簡單，模考就做類似的簡單題，也不能因為去年難，試卷就只能更難，這些都會誤導學生。我們也不能單一地看當下高考考了什么就去預測，2022年整套試卷有7題與導數相關，有10題與不等式相關，數列相關偏少。今年倒好，導數干脆放19題，選填幾乎不考導數，一下子又把導數從高不可攀變成了觸手可及。故平時高考備考中多回歸課本，以課程標準為準；多研究往年高考真題，以高考評價體系為綱，才能主動、高效地學習，自信從容地應試。