基于Lankarani赫茲接觸模型的弓網動力學仿真研究

摘" 要：該文通過有限元方法建立簡單鏈型懸掛接觸網模型并對其進行模態分析，通過使用Lankarani赫茲接觸模型，運用顯式中心差分法對弓網耦合動力學方程進行求解，基于上述理論創建弓網動力學仿真平臺，采用模塊化的思想進行弓網動力學的仿真分析。在此基礎上，采用EN50318標準對弓網仿真平臺的正確性進行驗證。最后，通過對考慮遲滯阻尼效應的Lankarani赫茲接觸模型進行動力學仿真，分析Lankarani赫茲接觸模型中重要參數對仿真結果的影響。

關鍵詞：中心差分法；弓網仿真平臺；Lankarani赫茲接觸模型；接觸剛度指數；彈性恢復系數；弓網初始碰撞速度

中圖分類號：U225" " " "文獻標志碼：A" " " " " 文章編號：2095-2945（2023）16-0053-05

Abstract： In this paper， the catenary model of simple chain suspension is established by finite element method and its modal analysis is carried out. By using Lankarani Hertz contact model and explicit central difference method， the pantograph-catenary coupling dynamics equation is solved. Based on the above theory， the pantograph-catenary dynamics simulation platform is established， and the modular idea is used to simulate and analyze the pantograph-catenary dynamics. On this basis， the correctness of the pantograph simulation platform is verified by EN50318 standard. Finally， through the dynamic simulation of the Lankarani Hertz contact model considering the hysteresis damping effect， the influence of the important parameters of the Lankarani Hertz contact model on the simulation results is analyzed.

Keywords： central difference method; pantograph-catenary simulation platform; Lankarani Hertz contact model; contact stiffness index; elastic coefficient of restitution; initial collision speed of pantograph and catenary

隨著我國高速鐵路的快速發展，弓網關系對列車運行的安全性與可靠性尤為重要。由于弓網關系較為復雜，計算機仿真憑借其可重復性、代價低廉的特點已經成為弓網系統動力學的主要研究方法。為了生產研發的需要，目前德國、意大利、日本等國都已開發了各自的弓網仿真軟件和平臺[1-2]。我國在弓網系統動力學方面的研究起步較晚，但隨著我國鐵路事業的快速發展，國內關于弓網方面的研究發展迅速，逐步形成了具有自主知識產權的弓網仿真平臺和配套仿真軟件[3-4]。然而，隨著我國高鐵發展的進程加快，在高速條件下暴露出了一系列新的弓網關系問題，亟待采用新的模型進行弓網動力學仿真計算。本文基于Lankarani赫茲接觸模型，采用有限元法建立了簡單鏈型懸掛接觸網模型，并采用模態分析提取了接觸網模態信息，受電弓采用質量塊模型，建立了基于Lankarani赫茲接觸模型的弓網動力學仿真平臺，通過EN50318對本平臺正確性進行了驗證，并在此基礎上分析Lankarani赫茲接觸模型中重要參量對仿真結果的影響。

1" 弓網仿真平臺的建立

1.1" 接觸網模型的建立

本平臺采用有限元法建立接觸網結構模型。針對如圖1所示的一錨段內接觸網結構圖，在進行有限元建模時，將接觸網結構簡化成歐拉梁模型，其中接觸線和承力索采用梁單元進行模擬，吊弦、線夾及附加零件采用彈簧質量單元進行模擬，將限位器和支撐桿簡化為單質量塊彈簧系統，并選用質量和彈簧單元來模擬簡化系統。

接觸網的模態分析實質上是求解系統無阻尼自由振動方程

， " （1）

式中：Mc和Kc分別為接觸網有限元模型的質量和剛度矩陣；x（t）為自由振動位移響應，當為簡諧振動時，即滿足x=？準sinωt，方程為

。 " " （2）

即可得到接觸網的固有圓頻率ωi和各階振型？準i，對？準i進行正則化處理，即可得到接觸網正則模態矩陣？椎。根據正則化模態矩陣的特點可得

式中：E為單位矩陣；？贅為對角矩陣。則接觸網運動微分方程可寫為

， （4）

式中：Mc、Cc、Kc分別為接觸網系統的質量、阻尼及剛度矩陣；x（t）為系統響應；Qc（t）為載荷向量。利用模態向量的正交性，可得

， （5）

若上式中阻尼為模態阻尼，且第i階振型阻尼比為ξi，則有

， （6）

從而實現了接觸網運動微分方程的解耦，求解模態空間下廣義坐標u（t）后，通過坐標反變換即可得到系統響應a（t）。為后續弓網耦合求解奠定了基礎。

1.2" 受電弓模型的建立

受電弓模型應用最廣泛的是歸算質量模型，歸算質量模型本質是對受電弓在某工作高度下進行等效參數測試，從而將受電弓等效成為質量塊、彈簧及阻尼相連的模型。本文主要采用二質量塊模型進行計算

式中：m1、c1、k1分別為弓頭的等效質量、等效阻尼和等效剛度；m２、c２、k２分別為受電弓框架的等效質量、等效阻尼和等效剛度；y1、y2分別為弓頭和框架的垂向位移；Fc和Fu分別為弓網間接觸壓力和受電弓靜態抬升力。

1.3" Lankarani赫茲接觸模型

傳統弓網接觸模型采用罰函數法，計算簡單效率高。然而從碰撞的角度分析，接觸力不僅與弓網相對位移有關，也與弓網相對速度相關。基于赫茲接觸理論，通過考慮遲滯阻尼效應，Lankarani提出一種連續接觸力模型，并推導了相關公式[5-6]，Rauter首先將該接觸模型引入弓網仿真分析[7]，其接觸力表達式為

式中：Kc為廣義接觸剛度；e為彈性恢復系數；？啄為弓網相對穿透量；n為接觸剛度指數；■為弓網相對運動速度；■（-）為接觸前相對碰撞速度。

令" " " " " " " " " "，代入式（8）可得

，" " " " " " " "（9）

式中：FK為彈性力；FD為阻尼力；其中Dc為阻尼系數。

1.4" 弓網耦合求解

聯立接觸網與受電弓運動微分方程可得

將弓網耦合之后的運動微分方程寫成如下形式

， （11）

式中：M、K、C分別為耦合之后的弓網系統的質量、剛度和阻尼矩陣；un和Qn分別為耦合系統的廣義位移向量和載荷向量，采用中心差分方法進行求解得

將式（12）代入到式（11）中，可得

通過求解式（13）計算■n，進而得到■n和un，即可得到弓網系統動力學響應。

1.5" 弓網仿真平臺的建立

根據1.1至1.4中的內容，將仿真過程進行模塊化處理并編程，仿真平臺主要流程如圖2所示，其中Ansys建模及求解部分為Ansys前處理部分，其余部分為自編程部分。

1.6" 仿真平臺驗證

為了對1.5中所建立的弓網仿真平臺的有效性進行驗證，采用EN50318標準中的受電弓與接觸網模型進行弓網動力學仿真分析，詳細參數見表1。

根據上述建模步驟，采用Ansys建立如表2、表3所示的接觸網有限元模型并進行模態分析，得到所計算接觸網的模態信息，其前二十階模態頻率見表4。

由于模態疊加法計算結果受截斷模態影響較大，為了在保證結果精確性的同時節省計算時間，本文選取400階模態進行計算，截斷模態為24.12 Hz。根據標準EN50318，采用本文所搭建的弓網仿真平臺，分別在時速250 km/h及300 km/h工況下進行弓網動力學仿真，并計算3～6跨弓網接觸壓力，所選取受電弓和接觸網參數分別見表2、表3和表4所示，所得接觸壓力里程曲線圖及統計結果分別如圖3和表5所示。

由表5可知，采用所搭建的弓網仿真平臺進行弓網動力學仿真，仿真結果統計值能很好地符合EN50318標準中所規定的范圍，從而對仿真平臺的正確性進行了驗證。

2" Lankarani赫茲接觸模型關鍵參數影響分析

本文1.3中對考慮遲滯阻尼效應的Lankarani赫茲接觸模型進行了初步的介紹。實質上，傳統弓網接觸模型采用分段彈簧模擬對弓網接觸，僅考慮了弓網之間彈性作用力的影響，而實際弓網接觸過程中存在阻尼的作用，Lankarani赫茲接觸模型相當于是對傳統接觸模型的完善。基于1.3中接觸網與受電弓模型，采用Lankarani赫茲接觸模型進行弓網動力學仿真，并分別對公式中接觸剛度指數n、彈性恢復系數e及弓網初始碰撞速度■（-）對接觸壓力的影響進行分析。

2.1" 接觸剛度指數n的影響分析

為確定在弓網動力學仿真過程中接觸剛度指數n對接觸壓力結果的影響，本節中彈性恢復系數e取0.8，弓網初始碰撞速度■（-）取0.1 m/s，速度工況取為200 km/h，分析n取不同數值時接觸壓力的變化情況。表6所示，為接觸剛度指數n在1～1.5共6個工況下的接觸壓力統計值。

由表6可知，隨著接觸剛度指數的增加，接觸壓力均值和標準差會略微減小，接觸壓力波動會更為平緩，接觸壓力中彈性力會有小幅減小，其中阻尼力均值為負值，其絕對值會有所降低，平均阻尼系數也有所減小。

2.2" 彈性恢復系數e的影響分析

為確定在弓網動力學仿真過程中彈性恢復系數e對接觸壓力結果的影響，本節中接觸剛度指數n取為1.5，弓網初始碰撞速度■（-）取為0.1m/s，速度工況取為200km/h，分析e值取不同數值時接觸壓力的變化情況。表7所示為彈性恢復系數e在0.5～1共6個工況下的接觸壓力隨里程變化統計值。隨著彈性恢復系數e值的增加，接觸壓力均值基本保持不變，而標準差會有所增大，接觸壓力波動更為劇烈，但接觸壓力中彈性力和阻尼力均值均有所降低，平均阻尼系數會大幅降低。當彈性恢復系數e=1時，阻尼力均值及平均阻尼系數將減小至0，即不存在阻尼影響。

2.3" 弓網初始碰撞速度■（-）的影響分析

弓網初始碰撞速度■（-）為受電弓與接觸網分離到接觸時的碰撞速度，當弓與網未發生離線時，視為碰撞過程持續未結束，■（-）不變；當弓與網發生離線時，視為碰撞過程已結束，須對■（-）進行更新。為探究弓網碰撞速度初始值對接觸壓力的影響，本節中接觸剛度系數n取為1.5，彈性恢復系數e為0.8，速度工況取為200 km/h，分析弓網初始碰撞速度■（-）取不同數值時接觸壓力的變化情況，見表8，為弓網初始碰撞速度■（-）在不同取值情況下的接觸壓力相關參數的統計值。

由表8可知，隨著弓網初始碰撞速度■（-）的增加，接觸壓力均值基本保持不變，但標準差會有所增加，且隨著■（-）的增大，標準差會增加得越來越緩慢。而接觸壓力中彈性力和阻尼力均隨■（-）的增加有所減小，且彈性力均值逐漸逼近接觸壓力均值，而阻尼力及平均阻尼系數逐漸逼近至0。

3" 結論

本文通過采用Lankarani赫茲接觸模型進行弓網動力學仿真，對模型中相關參數的影響進行了分析，結果如下。

1）Lankarani赫茲接觸模型中，隨著接觸剛度指數的增大，接觸壓力均值和標準差會略微減小，接觸壓力波動會更為平緩，但這種影響并不大。

2）隨著彈性恢復系數的增大，接觸壓力均值基本保持不變，而標準差會有所增大，接觸壓力波動更為劇烈。

3）隨著弓網初始碰撞速度■（-）的增加，接觸壓力均值基本保持不變，但標準差會逐漸增大，弓網相對運動加劇，但隨著■（-）的進一步增大會趨于穩定。

通過本文所建立的基于Lankarani赫茲接觸模型的弓網動力學仿真平臺，可以將弓網動力學仿真模塊化，實現不同的受電弓和接觸網模型的仿真分析。同時，在本弓網動力學仿真平臺的基礎上，可以實現一系列弓網動力學問題的探索和研究。

參考文獻：

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