基于多重網格法的齒輪熱彈流潤滑特性分析

摘" 要：該文基于多重網格法對齒輪的線接觸彈流潤滑問題進行求解，探討不同參數對計算結果的影響，發現油膜壓力及油膜厚度對于載荷和彈性模量的變化較為敏感；在對齒輪等溫彈流潤滑問題求解的基礎上，考慮熱效應、時變效應及壁面粗糙度對潤滑效果的影響。

關鍵詞：彈流潤滑；直齒圓柱齒輪；熱效應；粗糙度；時變效應

中圖分類號：TH132.41" " " 文獻標志碼：A" " " " " 文章編號：2095-2945（2023）13-0117-05

Abstract： In this paper， the problem of linear contact elastohydrodynamic lubrication of gears is solved based on multigrid method， and the influence of different parameters on the calculation results is discussed. It is found that oil film pressure and oil film thickness are sensitive to the change of load elastic modulus. On the basis of solving the problem of isothermal elastohydrodynamic lubrication of gears， the effects of thermal effect， time-varying effect and wall roughness on lubrication are considered.

Keywords： elastohydrodynamic lubrication; spur gear; thermal effect; roughness; time-varying effect

齒輪傳動依靠輪齒之間的嚙合來傳遞速度和力矩，是傳動系統中主要的承力部件。作為主要承力部件，齒輪失效的絕大多數情況都是潤滑問題導致。通過齒輪嚙合區域的潤滑油油膜厚度及油膜壓力的分布情況，判斷齒輪的潤滑情況進而有效防止齒輪發生失效。由于齒輪潤滑試驗難度大，且精度難以保證，尤其是難以獲取齒輪嚙合區的相關數據，因此通過彈流的數值計算來得到齒輪嚙合區域的潤滑情況是十分有必要的。

對于彈流潤滑問題主要是對基本方程進行求解，國內外研究學者主要圍繞著求解方法展開工作，主要的求解方法有直接迭代法、牛頓法、逆解法及多重網格法。

直接迭代法是根據初始壓力場計算得到潤滑油油膜厚度、粘度、密度，然后求解雷諾方程得到新的壓力場分布情況，如此反復迭代直至得到滿足收斂精度的潤滑油油膜壓力分布與油膜厚度分布。Petrusevich[1]于1951年首次借助直接迭代法得到了彈流潤滑問題的完整數值解。但是該方法收斂速度較慢，同時精度存在一定問題。1962年Stephenson等[2]利用低松弛迭代算法對直接迭代法進行了改進，大大提高了直接迭代法的收斂速度。Hamrock等[3]采用直接迭代法對點接觸彈流潤滑問題進行求解，并利用回歸得到了膜厚計算公式，為后續工程設計提供了參考。

牛頓法求解前需要對方程進行離散，根據離散方法的不同，可以分為牛頓有限元法及牛頓有限差分法。1977年，小野京右[4]利用牛頓法對線接觸彈流問題進行求解，獲得了輕、中載荷下的數值解。Houpert等[5]在此基礎上對該算法進行了改進，大大提升了計算速度，同時使其適用于重載荷條件。OH[6]利用牛頓法對非穩態變載荷工況下的點接觸彈流問題進行求解。Hughes等[7]對牛頓法進行了改進，大大提高了其在求解彈流問題時的收斂速度與收斂的穩定性。

逆解法首先根據初始壓力分布求解膜厚，根據膜厚對Reynold方程進行求解獲得新的膜厚分布情況，再對壓力分布進行修正，如此反復直至得到滿足收斂精度的潤滑油油膜壓力分布與油膜厚度分布。Dowson等[8]利用逆解法對彈流潤滑問題進行求解，結果發現該方法計算重載工況十分合適。同時基于計算結果通過推導得到了線接觸彈流問題的油膜最小厚度的計算公式。Cheng等[9]使用逆解法對線接觸熱彈流潤滑問題進行求解，結果發現該方法收斂速度較快且很穩定。Hou等[10]對逆解法進行了一定程度的改進，使得其收斂速度得到了一定程度的提高。之后又對考慮熱效應的點接觸熱彈流潤滑問題進行了求解。

多重網格法是將同一計算域劃分為多套疏密程度不同的網格，然后將待求解的方程在每一層網格上均按照相同格式進行離散，輪流在多套網格上進行迭代求解，最終得到滿足進度要求的結果。1986年，Lubrecht等[11]第一次利用多重網格法對點（線）接觸等溫彈流潤滑問題進行求解，發現多重網格法無論是在收斂速度還是計算精度上都有較好的表現。后續，Lubrecht針對膜厚方程中的彈性變形項提出了多重網格積分法，該方法大大提高了計算效率。Venner[12]同時使用多重網格積分法與多重網格法對彈流潤滑問題進行求解，計算速度大大加快的同時，在重載荷工況下表現也較為良好。Wang等[13]改進了Venner的求解算法，大大提高了計算速度，并且對極重載荷下的彈流問題進行求解獲得了最大赫茲接觸壓力為9.2 GPa工況下的數值解。

多重網格法求解彈流問題收斂快，而且較為穩定，在極重載工況下也有較好的表現，被認為是彈流計算中最為高效穩定的方法，本文利用的方法就是基于多重網格法提出的。

1" 等溫線接觸彈流潤滑分析

對于彈性流體動力潤滑問題基本方程主要包括Reynolds方程、膜厚方程、載荷平衡方程、黏度-壓力方程和密度-壓力方程。

1.1" 基本方程

1.1.1" Reynolds方程

Reynolds方程用到了下列7個假設：①不考慮體積力對流體的作用；②固體表面處的流體速度為零；③認為流體壓力在膜厚方向上不發生變化；④接觸表面的曲率半徑遠大于膜厚；⑤流體為Newton流體；⑥流動狀態為層流；⑦流體慣性力與黏性力相比可以忽略不計。

根據上述，假設則對于穩態等溫線接觸條件下牛頓流體的雷諾方程為

（1）

式中：？籽為潤滑油密度（kg/m3）；h為潤滑油油膜厚度（m）；？滋為潤滑油動力黏度（Pa·s）；us為表面卷吸速度（m/s）。

邊界條件為

式中：xin，xout分別為計算域入口、出口。

1.1.2" 膜厚方程

對于不考慮壁面粗糙度的線接觸潤滑問題油膜厚度方程主要包括3項：中心膜厚、幾何膜厚、彈性變形

式中：δ（x）為接觸表面的彈性變形（m）。

式中：c為待定常數；E為彈性模量。

1.1.3" 載荷平衡方程

1.1.4" 黏度-壓力方程

式中：？滋0為初始工況下潤滑油黏度（Pa·s）。

1.1.5" 密度-壓力方程

式中：？籽0為初始工況下潤滑油密度（kg/m3）。

對上述方程進行無量綱化及離散化，然后再基于多重網格法求解。

1.2" 線接觸彈流潤滑特性分析

計算所采用的各項參數見表1。

通過多重網格法得到的線接觸彈流潤滑問題的壓力分布和油膜形狀如圖1所示。

由圖1可知，出口處間隙的形狀急劇擴大導致出口區域的油膜壓力急劇下降進而導致固體表面所產生的彈性形變量變小，引起了油膜厚度方向上的收縮，而油膜的收縮使得間隙中具有較大黏度的油液流動受阻，所以產生了第二壓力峰。

不同載荷下潤滑油油膜壓力分布情況與油膜厚度分布情況如圖2、圖3所示。隨著載荷的增加，第二壓力峰出現的位置不斷靠近出口區域；同時第二壓力峰的峰值變化量隨著載荷增加不斷減少；潤滑油油膜厚度也逐漸減小。最小油膜厚度出現的位置不斷靠近出口區域，同時區域中的最小油膜厚度也逐漸減小。

不同卷吸速度下的潤滑油油膜壓力分布情況與油膜厚度分布情況如圖4、圖5所示。卷吸速度對潤滑油壓力分布情況的影響表現在：隨著卷吸速度的增大，第二壓力峰出現的位置不斷遠離出口區域；同時第二壓力峰的峰值隨著卷吸速度的增大而不斷增大。卷吸速度對潤滑油油膜厚度分布的影響表現在：隨著卷吸速度的增大，潤滑油油膜厚度也逐漸增大，最小油膜厚度出現的位置不斷遠離出口區域，同時區域中的最小油膜厚度也逐漸增大。

不同彈性模量線接觸彈流潤滑問題進行計算，潤滑油油膜壓力分布情況與油膜厚度分布情況如圖6、圖7所示?？梢园l現彈性模量對潤滑油壓力分布情況的影響表現在：隨著彈性模量的增加，第二壓力峰出現的位置不斷遠離出口區域；第二壓力峰的峰值隨著彈性模量的增加不斷增大。彈性模量對潤滑油油膜厚度分布的影響表現在：隨著彈性模量的增加，接觸區域潤滑油油膜厚度逐漸減小，但變化不明顯，最小油膜厚度出現的位置不斷靠近出口區域，同時區域中的最小油膜厚度也逐漸減小。

2" 考慮粗糙度和時變效應熱彈流潤滑

在齒輪嚙合過程中，由于齒輪輪齒表面發生相對滑動引起大量的耗散熱，進而引起潤滑油及齒輪輪齒溫度的升高。潤滑油的黏度會隨著溫度的升高而降低，導致油膜承載力大幅度下降。因此齒輪的彈流計算中有必要考慮熱效應的影響。

2.1" 基本方程

在探討熱效應對齒輪潤滑情況的影響時，還需要引入能量方程，另外其余參數均要考慮溫度的影響。

2.1.1" 能量方程

。 （8）

式（8）中各項根據其物理意義從左到右依次代表了對流換熱項、導熱項、擠壓產熱項和粘性耗散熱項。

2.1.2" 黏度-溫度-壓力方程

式中：T0為環境溫度（K）。

2.1.3" 密度-溫度-壓力方程

。（10）

對式（8）、式（9）、式（10）進行無量綱化、離散化，參照等溫彈流處理方法，在此不再贅述。采用逐列掃描法對潤滑油的溫度分布進行求解。

2.2" 熱彈流潤滑特性分析

對齒輪熱彈流潤滑進行計算，可以得到齒輪節點處溫度的分布情況如圖8所示。

從圖8可以發現潤滑油油膜溫度隨著油膜壓力的增大而快速升高。之后隨著油膜壓力的減小油膜溫度也逐漸降低，另外油膜溫度在膜厚方向上沿著上下表面中心近似于對稱分布，中心油膜溫度變化最為劇烈，越接近固體表面溫度越低，同時溫升也趨于平緩。

2.3" 考慮壁面粗糙度和時變效應的熱彈流潤滑

齒輪嚙合過程是一個時變過程，Reynolds方程中多了表示時變效應的項。粗糙度對于熱彈流潤滑問題的影響主要是通過膜厚方程中引入表示表面粗糙的項。在考慮時變效應的情況下，存在壁面粗糙度與光滑壁面的油膜特性如圖9所示。

從圖9看出，當考慮壁面粗糙度時油膜壓力及油膜厚度分布情況會產生一定的波動，但是整體上與光滑壁面的分布趨勢相同，彈流潤滑的典型特征——第二壓力峰及頸縮現象均有出現。最小油膜厚度出現的位置基本相同，光滑壁面情況下的最小油膜厚度略大于粗糙壁面情況。

3" 結論

本文建立了直齒圓柱齒輪彈流潤滑問題計算模型，分析了熱效應、壁面粗糙度及時變效應對齒輪潤滑效果的影響，獲得以下結論。

1）使用多重網格法對不同載荷下的線接觸彈流潤滑問題進行求解，分析了不同參數對潤滑效果的影響，油膜壓力及油膜厚度對于載荷的變化較為敏感。

2）熱彈流得到節點處潤滑油溫升主要集中在靠近接觸中心區域處，而潤滑油油膜壓力及油膜厚度是由入口處的卷吸作用所決定的，所以熱效應對于潤滑油油膜壓力及油膜厚度分布情況的影響并不明顯。

3）對考慮壁面粗糙度及時變效應的齒輪熱彈流潤滑問題進行求解，結果表明最大油膜壓力及最小油膜厚度沿著嚙合線的分布趨勢與光滑壁面情況下基本相同，壁面粗糙度的存在導致其在相應位置出現了一定程度的波動。

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