基于課標重構素材依托模型提升素養

摘要：二次函數是研究最值問題的重要數學模型，課標明確指出要讓學生學會用二次函數求最大值或最小值，并能確定相應自變量的值，能解決實際問題.本文中基于新課標的理念重構素材，以校園實踐基地“一米菜園”中矩形面積問題的研究為主題，以不同條件下矩形菜園的面積最大值為基本線索，讓學生經歷生活情景數學化、問題解決模型化的過程，掌握利用二次函數模型解決矩形面積最大問題的方法，形成基于背景、價值、關聯和應用等層面的知識結構體系，落實課標要求，發展核心素養.

關鍵詞：二次函數；面積最大；素材重構；核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標2022》）指出數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、知識結構和基本線索，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源.《課標2022》在初中階段函數內容的要求中明確指出：要讓學生會求二次函數的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值， 能解決相應的實際問題.給出如下例題：

例題如圖1，計劃利用長為a m的繩子圍一個矩形圍欄，其中一邊是墻.試確定其余三條邊，使得圍出的圍欄面積最大.

設矩形圍欄與墻平行邊的長度為x m，則另外兩條邊等長，均為12（a－x）m，于是，矩形的面積為y=12x（a－x）=－12x－12a2+18a2，因此，當x=12a時，圍成的矩形面積最大.學生通過這個實例分析，可以進一步熟悉求二次函數最大值的方法，感悟如何用數學的思維思考現實世界[1].

結合課標要求與實例分析，筆者對浙教版九年級上冊“1.4二次函數的應用”進行研究.“二次函數的應用”共有5個例題，分3個課時來完成教學任務.5個例題中有4個是圍繞二次函數的最值進行設問的，這充分體現了二次函數的最值在其應用中的重要地位.第一課時中例題的素材是一個半圓和矩形組成的窗戶，根據材料總長求最大透光面積.作為二次函數的第一課時這一素材存在一定的局限性，關系式過于復雜，計算數據過難，會影響本節課利用二次函數求最值的教學目標，而且第一課時的學習情況將會直接影響后面課時的學習效果.因此，筆者思考如何進行教學素材的重構，在素養立意下落實課標對“二次函數的應用”內容要求.《課標2022》提出：教材的編寫要體現核心素養的培養要求；要有利于引發學生思考；素材選取要貼近學生的現實、真實可信；要注重教材創新[1].課標的編寫建議是教師教學素材重構的重要依據.受其啟發，筆者選擇貼近學生現實的校園“一米菜園”為背景，設計籬笆圍欄中矩形面積最大問題的研究，這很好地把問題與課標的例題相融合，讓學生經歷生活情景數學化、問題解決模型化的過程，掌握利用二次函數模型解決矩形面積最大問題的方法，形成基于背景、價值、關聯和應用等層面的知識結構體系，落實課標要求，發展核心素養.

1 教學設計

1.1 在真實情境量化分析中感受數學抽象

（1）生活情境問題化

問題1校園實踐基地“一米菜園”的設計：如圖2，學校計劃用20 m長的籬笆圍成一個矩形菜園，請每位同學畫一種方案，同桌之間比較，看看誰設計的矩形面積更大，到底誰的設計矩形面積才是最大的呢？

設計意圖：這是一個非常開放的生活問題，在校園實踐基地“一米菜園”中，提出了利用菜園設置面積最大的數學問題.此環節的設計有利于學生在實際情境中發現和提出有意義的數學問題，培養學生的數學眼光和問題意識，同時借助生活背景，使學生感受到數學問題來源于生活，又回歸于生活.

（2）量化分析數學化

問題2用20 m長的籬笆圍成一個矩形菜園，在周長一定的情況下，同學們是否發現，菜園的一邊隨著另一邊的變化而變化，此時矩形的面積是否也跟著變化？假設其中一邊長為x，則矩形的面積S是關于x的函數嗎？如果是，它屬于哪一種函數？

設計意圖：抽象能力主要是指通過對現實世界中數量關系與空間形式的抽象，得到數學的研究對象，形成數學概念、性質、法則和方法的能力[1].量化分析是生活情景數學化的重要路徑，讓學生感受變化過程中矩形邊長和面積數量化的過程，養成通過量化分析獲得數量關系的習慣，有利于學生數學抽象能力的提升.

1.2 在問題解決優化過程中提升模型觀念

（1）問題解決模型化

問題3學校計劃用20 m長的籬笆圍成一個矩形菜園，要使所圍成的矩形面積最大，矩形的兩邊長分別是多少呢？

設計意圖：把求解矩形面積的最值問題最終數學化為二次函數的最值問題，引導學生建立函數模型.矩形面積S與一邊長x之間的函數表達式為S=12x（20－2x）=x（10－x），由于圖象與x軸交于（0，0）和（0，10），因此其對稱軸是x=5.因函數圖象開口向下，所以當x=5時，Smax=5×（10-5）=25.驗證當一邊長為5 m時，另一邊長為10 m符合條件，從而解決問題.利用二次函數求最值也可以用配方法，得S=－（x－5）2+25，當x=5時，Smax=25.此外還可以用公式法，即對于S=－x2+10x，當x=－b2a=5時，Smax=4ac－b24a=25.這揭示了利用二次函數求最值解決問題的價值體現，同時讓學生經歷數學觀察、數學思考、數學表達、歸納概括、運用遷移等過程，幫助學生用數學的語言描述現實世界，培養解決實際問題的能力，發展數學核心素養.此處教師在課堂中可以引導學生從方程的視角思考.將函數S=－x2+10x轉化為關于x的一元二次方程x2－10x+S=0，利用判別式b2－4ac=100－4S≥0，解得S≤25，從而求出矩形面積的最大值為25 m2，讓學生體會同一問題利用不同模型解決的策略，充實學生的建構體系.

（2）條件選擇效益化

問題4學校用20 m長的籬笆圍成一個矩形菜園，為了使圍成的矩形菜園面積更大，又節約成本，有同學提出利用其中一面靠墻的方案，同時也提出了當墻長分別為15 m和4 m時，應該如何設計矩形的邊長，才能使所圍成的矩形的面積最大呢？

設計意圖：校園實踐基地“一米菜園”位于學校圍墻邊，利用圍墻現有的條件分析實際背景中所包含的變量及其對應關系較為復雜，需要選擇最優化的方案，在活學活用中理解二次函數在分析和解決實際問題中條件的重要作用，進一步感受建立數學模型的重要性，在落實“四基”和“四能”的同時發展學生的應用與創新意識.

當墻長為15 m時，如圖3.假設BC=x（0＜x≤15），則CD=12（20－x），所以S=BC×CD=x10－12x，其圖象與x軸交于（0，0）和（0，20），所以對稱軸為直線x=10lt;15，因此當x=10時，Smax=50.

當墻長為4 m時，方案設計可分為兩種情況，如圖4.

方案一是延續S=x10－12x（0＜x≤4）的函數模型，因為墻只有4 m，所以根據函數圖象可得，當x=4時，Smax=32.

方案二則是換了一個思路，把墻作為籬笆使用，遷移問題3的解決方法，得到S=x·12（24－2x）=x（12－x）（0＜x≤12），其圖象與x軸交于（0，0）和（0，12），所以對稱軸為直線x=6.故當x=6時，Smax=36.

本環節通過觀察函數圖象、小組交流、分類討論和模型再探，讓學生感受方案優選效益化的同時，進一步理解二次函數自變量范圍對求最值的影響.

1.3 在分類討論、歸納探究中尋求模型本質

問題5學校用20 m長的籬笆圍成一個矩形菜園，為了使圍成的矩形菜園面積更大，又節約成本，有同學發現選擇其中一面靠墻，墻長只有a m，此時矩形兩邊滿足什么條件時（可用含a的代數式表示），才能使所圍成的矩形的面積最大呢？

問題6在矩形周長一定的條件下，兩邊滿足什么數量關系時，矩形的面積最大，為什么？

設計意圖：問題5中墻長為a m時，學生在已有的學習經驗下會進行分類討論，找到自變量的臨界點，將a分成兩種情況.當a≥10時，矩形的正方形面積不受自變量范圍的影響，當x=10時，Smax=50.當0＜alt;10時，則可遷移墻長為4 m時的兩種情況.通過一般化的抽象，歸納出自變量的范圍對函數最大值的影響，進而增強學生對二次函數自變量的取值范圍影響函數最值的理解.問題6引導學生了解生活問題數學化和問題解決模型化的方法.通過假設矩形兩鄰邊長分別為x和y，獲得x+y=a的數量關系，根據矩形的周長為定值2a，得S=xy=x（a－x），當x=a2時，矩形的面積最大.因為x+y=a，所以x=y，即當矩形兩鄰邊長相等時面積最大.

教學中要注重引導學生立足已有信息，抓住關鍵線索進行分析聯想，從特殊到一般，利用數形結合、分類討論、數學建模等數學思想去開展“數”與“形”的觀察、聯想、類比、感悟和抽象等，直達問題本質.引導學生在構建模型、運用模型、驗證模型、優化模型的同時，形成有條理的模型意識.將所學的知識應用到解決實際問題中去，通過選擇方案和優化方案的過程，體會數學的價值，幫助學生獲得生活經驗，發展應用意識.

1.4 在框架結構梳理提煉中總結模型應用

問題7請根據圖5的結構，說一說本節課在解決實際問題過程中的方法和策略.

設計意圖：結合框圖，將解決問題的過程與方法進行梳理與提升，讓學生回顧利用二次函數模型解決矩形面積最大問題的方法，重溫生活情景問題化、量化分析數學化、問題解決模型化、方案優選效益化和方法提練抽象化等過程，在知識體系與系統建構中培養模型觀念和應用意識.

2 教學反思

二次函數是初中階段繼一次函數、反比例函數之后，另一種描述現實世界中變量之間關系的重要函數模型.二次函數的應用貫穿了從實際問題到建構模型，再到利用模型解決實際問題的整個過程.教學中要基于數量關系，立足整體建構，讓學生在比較、分析、探究中揭示問題的規律和本質，落實課標要求，發展核心素養.

2.1 創設問題情境，培養學生的數學抽象

數學抽象是數學邏輯與數學建模的前提，情境與問題是一個整體[2]，教學的設計與實施中要重視情境與問題的關聯，結合教學任務及其蘊含的數學核心素養，選擇貼近學生現實、真實可信的素材，關聯合適的情境與問題，引導學生用數學的眼光觀察現象，發現并提出問題，引導學生用數學的語言描述背景、表達問題，培養學生的數學抽象能力.

2.2 建構模型體系，培養學生的應用意識

《課標2022》指出，模型觀念是指對利用模型解決實際問題有清晰的認識，數學建模是數學與現實聯系的基本途徑.教學設計中要有關注數學建模的一般過程，通過方案的選擇與對比，在優化方案的過程中，讓學生感受“建模”“選模”“驗模”和“用模”等整個過程，在縱向與橫向的聯系中建構知識體系.通過對關系模型的認識與探究，發展學生的應用意識[3].

2.3 關注數學本質，培養學生的核心素養

數學本質的認識取決于對數學的心靈感悟，這是接近數學、走近數學、研究數學和發現數學真理的不竭動力源泉[4].教學中要引導學生探索實際問題中數與形蘊涵的關系和規律，掌握一些有效地表示、處理和交流數量關系以及變化規律的模型工具，順應抽象、推理、建模的基本思想，幫助學生從整體上把握知識結構，理解知識的內在聯系.感悟數學本質，積累數學思維和實踐經驗，發展學生模型觀念和推理能力[3].在數學建模過程中提升學生的創新意識、應用能力和人文素養.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]史寧中，林玉慈，陶劍，等.關于高中數學教育中的數學核心素養——史寧中教授訪談之七[J].課程·教材·教法，2017（4）：8-14.

[3]儲志英.問題引領，整體建構，尋求本質——“二次函數”章復習課（第1課時）的教學與思考[J].中學數學，2021（22）：5-7.

[4]黃光榮.對數學本質的認識[J].數學教育學報，2002（2）：21-23，49.