立足整體 注重聯系 發展素養

摘要：如何在單元復習課中體現素養立意？“幾何圖形初步”單元復習課以“整-分-整”結構，通過設計三個情境（從生活現象到數學抽象、從生活觀察到數學思考、從生活描述到數學表達）、三個活動（辨析圖形、線段中點、角平分線），將人教版七年級上冊第四章的知識、思想、方法連成線，結成網，筑成塊，構成體.

關鍵詞：單元復習課；教學設計；核心素養；幾何圖形初步

古語曰：“不謀萬世者，不足謀一時；不謀全局者，不足謀一域.”“謀全局”就是站在全局的角度整體思考；“謀萬世”就是用發展的眼光來考慮.數學教學也是如此[1].下面筆者以人教版教材七年級上冊第四章“幾何圖形初步”復習教學為例，談談如何立足整體，注重聯系，發展核心素養.

1 復習目標及教學設計思路

1.1 確定目標，培養系統思維

（1）從實物中抽象出幾何圖形，了解二者的關系，認識點、線、面、體的有限與無限；

（2）在平面圖形和立體圖形相互轉化的過程中，發展空間觀念和幾何直觀；

（3）理解直線、射線、線段、角、余角和補角的概念，了解有關性質，并能初步應用，提高觀察能力、運算能力，培養推理能力.

1.2 教學設計思路

本節復習課采用先整體感知、再分步學習、最后整體構建的教學過程，知識點邏輯連貫，從知識點復習，到思想方法總結，再到核心素養的培養，讓學生在這個過程中形成完整和系統的認知，培養整體觀和全局觀的系統思維.

掃碼看視頻2 教學片段賞析

2.1 整體感知，從局部到全局

整體感知，是框架性的認識.從結構的角度形成整個單元的認知地圖，有助于學生站在系統高度認識本章知識之間的聯系，了解各知識的來路、去路，激發“縱觀全局，盡在把握”的自信，本章知識結構圖如圖1.

2.2 激發興趣，從生活現象到數學抽象

播放視頻《3D打印：未來可期》，從3D打印出的食物、生活用品、建筑等實物中抽象出幾何圖形，科學情境吸引學生注意力，喚起求知欲，點燃學生思維火花，也為活動1、情境1和情境2做了鋪墊.

2.3 溫故知新，辯證思維

章建躍博士指出，培養思維是發展核心素養的關鍵.單元復習課要以本單元知識間的聯系為基礎，對本單元有進一步的認識和感知，運用辯證思維，以動態發展的眼光來看本單元.

環節1：辨析圖形，高階思維.

活動1：長方體與正方體是生活中常見的立體圖形，它們有什么關系？

設計意圖：由辨析長方體、立方體，復習展開圖、三視圖及點線面體，發展抽象能力.然后觀看正方體、長方體三視圖、展開圖等四個在線畫板演示，培養學生空間觀念、幾何直觀、高階思維.

環節2：線段的中點，從生活觀察到數學思考.

情境1如圖2，一只薩摩斯螞蟻在正方體的頂點A發現頂點C處有一條小蟲子，它沿表面爬行，怎樣爬行路線最短？

（1）如何解決這類問題？

（2）如圖3，點E的位置具有什么特征？還有類似的點嗎？說說你的理由.

設計意圖：繼續觀察立方體，思考螞蟻爬行路線最短問題.另外，通過將立體圖形轉化為平面圖形解決問題，從而引入線段的中點.通過E為線段AC的中點的探究，把學生的思考引向深入.

活動2：線段的中點.

直線l上有A，B兩點，C是直線l上一動點，M是線段AB的中點，N是線段BC的中點.

（1）這里有射線、線段嗎？為什么？

（2）如果有線段，共有幾條？

（3）你能用一句話概括直線、射線、線段之間的關系嗎？

（4）①若AB=5，BC=3，探究線段MN與AC的數量關系，并說明理由；

②若AB=a，BC=b，探究線段MN與AC的數量關系，并說明理由；

③你發現了什么規律？

設計意圖：將直線、射線、線段及三者之間的關系，還有線段條數、雙中點模型、分類討論、數形結合等串聯起來，一題多聯.問題（4）中，②是①的變式，體現從特殊到一般，分類討論的不同達到深化思維的目的；二者規律的不變，體現數學的本質，即以變式為載體，從變化中抓不變.學生觀看線段雙中點模型的網絡畫板演示，直觀感受動線段MN隨點C的運動而不斷變化，但是線段MN與AC的數量關系始終不變，由此感悟有限與無限的哲學思想.

環節3：角平分線，從生活描述到數學表達.

情境2如圖4，這只薩摩斯螞蟻在正方體的頂點A又發現頂點B有一條小蟲子，它沿表面怎樣爬行路線最短？

如圖5，線段AB具有什么特征？說說你的理由.

設計意圖：學生繼續觀察螞蟻的爬行路線，思考線段AB的特征，這是一個開放性問題，讓學生體驗用不同的數學語言表達角平分線的方式.另外，通過正方形對角線的探究引入角的平分線.

活動3：角的平分線.

如圖6，O是直線AB上的一點，OD是∠AOC的平分線，OE是∠BOC的平分線.

（1）若∠AOD＝14°，求∠DOE，∠BOE的度數.

（2）若∠AOD＝α，求∠DOE，∠BOE的度數.

（3）∠AOD與∠BOE是什么關系？還有幾對這種關系的角？

（4）∠COD與∠BOD是什么關系？還有幾對這種關系的角？

（5）判斷OD與OE的位置關系，并說明理由.

（6）由（5）的結論，你發現了什么規律？

（7）如圖7，若OF是∠DOE外一條射線，且OC平分∠EOF，OG平分∠DOF.

①圖7中的射線構成了多少個小于平角的角？

②若∠DOF=40°，求∠COG的度數.

③若∠DOF=β（0°＜β＜90°），則∠COG的度數是否變化？若不變，請說明理由；若變化，表示其角度.

（8）由（7）的結論，你發現了什么規律？

（9）雙角平分線、雙中點模型有何聯系？

設計意圖：一題多用，將角的關系、角的個數，邊、角的變化規律，雙角平分線模型，以及分類討論、數形結合、化動為靜等進行系統復習.問題（7）中，③是②的變式，但規律相同，體現了對動態問題動中抓靜的本質.然后觀看雙角平分線模型的網絡畫板演示，感受角的變化，但是∠DOE與∠AOB，∠COG與∠DOF的數量關系始終不變，從而感悟有限與無限的思想.學生通過雙中點模型與雙角平分線模型的辨析，厘清了二者的異同.

2.4 整體構建，知來路明去路

心理學家潘菽指出，知識系統化就是理解各部分知識間的關系，有利于用完整的知識去理解新知識，觸類旁通就是知識系統化在理解中的表現[2].圖8是課堂教學中動態生成的板書.線段的中點、角的平分線是“學會結構”階段，三角形、四邊形等后續學習是“運用結構”階段.明白了研究的套路，學習就猶如有了導航儀.

2.5 分層測評，知數據明改進

必做題：教材第148頁復習鞏固第6題.

選做題：教材第149頁綜合運用第12題.

設計意圖：必做題是線段和與差的實際應用，針對預習檢測的薄弱點3與本節課重點線段的運算；選做題是折疊、角平分線、平角、直角、邏輯推理等的綜合運用，針對預習檢測的薄弱點5與本節課重點角的運算.尊重學生差異的同時，也要根據學情反饋來以學評教，改進教學.

3 教學思考

通過合適的主題整合教學內容，幫助學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光來看待問題，形成科學的思維習慣，發展核心素養[3].第四章“幾何圖形初步”復習課中的三個情境、三個活動以及線段的中點、角的平分線的三種語言、三個作用等體現數學核心素養的“三會”.

3.1 用數學眼光觀察——情境聯系，引出研究對象

引入的視頻《3D打印：未來可期》，讓學生感受到世界因圖形而多姿多彩.在科學情境的基礎上，將正方體作為情境1和情境2.三個情境讓學生的抽象能力、空間觀念及幾何直觀得到培養，逐步養成從數學角度觀察現實世界的意識與習慣，發展好奇心、想象力和創新意識[3].

3.2 用數學思維思考——縱橫聯系，探究研究對象

（1）知識聯系.預習檢測暴露學生解決應用性、綜合性問題的弱點，三個活動設計、堂測的設計為之補漏；活動1辨析正方體與長方體，借助網絡畫板，將三視圖、展開圖、點線面體緊密聯系起來；活動2的問題串，將直線、射線、線段的概念及其關系，線段條數、運算（雙中點模型）、規律探索等融為一體；活動3的問題鏈，讓角的個數、運算、關系（互余、互補）、雙角平分線模型等渾然一體.

（2）方法聯系.情境1中螞蟻爬行路徑最短的問題，將立體圖形與平面圖形緊密聯系；類比線段的研究經驗（線段條數、和差、中點、長度，對稱性，數形結合、分類討論），建構研究角的整體框架；類比雙中點模型學習雙角平分線模型.研究對象在變，但思想方法不變，研究套路不變.

（3）邏輯聯系.從整體的視角，以螞蟻爬行為縱軸，串聯了整體感知、分步學習、整體建構；以幾何圖形的研究方法大概念為橫軸，聯結了研究思路、內容、方法.研究思路是從生活中抽象出圖形，從概念、特例、性質等方面探究，再解決問題，體現源于生活，用于生活，最后從特殊到一般，再去研究組合圖形，環環相扣，系統化.研究內容從整體到部分，以概念的抽象與概括為起點，以符號語言、圖形語言為紐帶，探索其性質，前后聯系，左右貫通，結構化.由線到角是從簡單到復雜，步步推進，邏輯嚴謹，體系化.

在經歷線段的中點、角的平分線規律“再發現”的過程中，學生運算能力、推理能力得到培養，并學會用數學的方法探究其他問題，初步養成講道理、有條理的思維品質，逐步形成理性精神[3].

3.3 用數學語言表達——知行合一，交流與應用

幾何圖形語言就是用“數”（大小）與“形”（形狀、位置關系）表示研究對象的元素及相關元素的關系，并用符號語言表達，再運用數學運算和推理解決問題.它是三種數學語言的一體化.

教學中，學生會用數學語言描述三個情境，會用說理、運算、推理解決三個活動中的問題，會在小組合作、展示中用三種數學語言表達與交流.

教學中，學生用三種數學語言描述了線段中點與角平分線的數量、位置關系.學習中，學生積累了證明邊或者角相等、倍分等經驗.從解決綜合性、應用性問題中，解決雙中點、雙角平分線模型等高通路遷移問題.學生在運用數學運算、數學推理解決問題的過程中建立模型觀念.

參考文獻：

[1]張躍飛.例談單元整體教學之“取勢”“明道”“優術”——以浙教版、人教版教材“一元二次方程”比較為例[J].中學數學雜志，2021（12）：10-13.

[2]潘菽.教育心理學[M].北京：人民教育出版社，1983.

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.