例講初中數學一次函數與幾何綜合問題

摘要：一次函數不僅是初中數學的重要知識，而且是中考的熱門考點．本文中結合具體實例進行重點知識梳理，深入理解一次函數的相關知識，并靈活解決一次函數中的重要題型，如面積問題、將軍飲馬問題、特殊三角形存在性問題、特殊四邊形存在性問題以及與幾何的動態綜合問題等，通過解法探究給予復習備考指引．

關鍵詞：初中數學;一次函數;幾何綜合

函數與幾何綜合問題中常見的轉化方式有：（１）借助表達式設出點的坐標，將點的坐標轉化為橫平豎直線段的長，結合幾何特征利用線段長列方程．（２）研究幾何特征，考慮線段間關系，通過設線段長進而表示點的坐標，將點的坐標代入函數表達式列方程．（３）表示線段長———橫平線段長，橫坐標相減，右減左;豎直線段長，縱坐標相減，上減下．

一次函數題型通常具有代數和幾何雙重特性，所以在解決一次函數與幾何綜合問題時，可以從如下解題技巧來破解：數形結合記心頭，大題小做來轉化，潛在條件不能忘，化動為靜多畫圖，分類討論要嚴密，方程函數是工具，計算推理要嚴謹，創新品質得提高．做不出，找相似，有相似，用相似;構造定理所需的圖形或基本圖形．

１ 一次函數與面積問題

一次函數中的面積問題可分為規則圖形與不規則圖形兩種．規則圖形的面積可直接用面積公式，先求點的坐標，得線段長度，再運用面積公式;不規則圖形的面積求解過程大體與規則圖形的面積相同，但其沒有直接的面積公式，可用“小塊拼接”或“大塊減小塊”的圖形拼接法來簡化計算．

例１ 直線l１：y＝１３x 與直線l２：y＝－x＋２４交于點B．

（１）如圖１，求△ABO 的面積;

（２）如圖２，C 為線段OB 上的一動點（點C 不與點O，B 重合），作CD 平行于y 軸交直線l２ 于點D ，過點C 向y 軸作垂線，垂足為E．若四邊形DECB 的面積為１２０，求點C 的坐標．

解：（１）在y＝－x＋２４中，令x＝０，則y＝２４，所以A（０，２４）．

聯立y＝－x＋２４，y＝１３x， { 解得x＝１８，y＝６． { 所以B（１８，６）．

故S△ABO ＝１２OA |xB|＝１２×２４×１８＝２１６．

（２）因為C 為線段OB 上一動點（點C 不與點O，B 重合），所以設C （a，１３a） ，且０＜a＜１８．

由CD 平行于y 軸，得D（a，－a＋２４）．

所以DC＝（－a＋２４）－１３a＝２４－４３a．

由S四邊形DECB ＝S△DEC ＋SDCB ＝１２DC |xB|＝１２（２４－４３a） ×１８＝２１６－１２a＝１２０，解得a＝８，所以C （８，８３） ．

２ 一次函數與線段最值問題

將軍飲馬問題實質是線段最值問題，往往是利用兩點之間線段最短或者三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊來求解，關鍵是找點關于直線的對稱點實現“折”轉“直”，轉化為幾何問題．案例如下：已知點A ，B 在直線l 的同側，在l 上找出一點P ，使PA ＋PB最小．

解決方案為：①如圖３，找A 關于l 的對稱點A′;②連接A′B，與l 交于點P;③PA ＋PB 即為最短路徑．具體解決原理見表１．

一般來說，一次函數中“飲馬”問題的解題方法是仿照案例作圖，結合一次函數、三角形等知識求解．

例２ 如圖４，直線AB：y ＝x ＋１與直線CD ：y＝－２x＋４交于點E．

（１）求點E 的坐標;

（２）在x 軸上找一點F，使得FB＋FE 最小，并求OF 的長．

解：（１）由y＝x＋１，y＝－２x＋４， { 解得x＝１，y＝２． {

故E（１，２）．

（２）如圖５，作點B 關于x 軸的對稱點B１，連接B１E 交于x 軸于點F，此時FB＋FE 的值最小．

在y＝x＋１中，令x＝０，得y＝１，所以B（０，１），B１（０，－１）．

設直線B１E 的解析式為y＝kx＋b（k≠０），則有－１＝b，２＝k＋b， { 解得k＝３，b＝－１． {

所以直線B１E 的解析式為y＝３x－１，則F （１３，０） ．OF＝１３．

例３ （一點兩線）如圖６，∠AOB ＝６０°，點P 是∠AOB 內的定點且OP ＝ ３，若M ，N 分別是射線OA ，OB 上異于點O 的動點，求△PMN 周長的最小值．

解析：如圖７，分別作點P 關于OA，OB 的對稱點C，D，連接CD 分別交OA，OB 于點M ，N ，連接OC，OD．利用軸對稱的性質可得MP ＝MC，NP ＝ND，OP＝OD ＝OC，∠BOP ＝∠BOD，∠AOP ＝∠AOC．所以利用兩點間線段最短判斷此時△PMN 周長最小，作OH ⊥CD 于點H ，則CH ＝DH ，計算出CD 即可．

３ 一次函數與多邊形圖形存在性問題

３．１ 一次函數與特殊三角形存在性問題

特殊三角形主要有等腰三角形和直角三角形．此類存在性問題一般有多種情況，作圖之后要注意三角形是否存在以及是否有重合點．對于等腰三角形的存在性問題，常用知識點有尺規作弧、垂直平分線的性質（垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等）;其解題方法口訣為：等腰三角存在性，兩圓加一中垂線，記得去掉共線點．而直角三角形的存在性問題常用知識點有切線的性質（圓的切線垂直于過切點的半徑）、圓周角定理（直徑所對的圓周角為９０°）;其解題方法口訣為：直角三角存在性，一圓加上兩垂線，構造思想的坐標．

３．２ 一次函數與特殊四邊形存在性問題

特殊四邊形主要有平行四邊形、矩形、菱形、正方形．此類存在性問題重在利用四邊形的性質，再結合三角形、函數的知識求解．

（１）平行四邊形的存在性口訣：平行四邊存在性，對邊平行且相等，等量關系里面有．常通過平行四邊形性質得到對邊的位置關系與數量關系．

（２）矩形的存在性口訣：矩形直角存在性，一圓加上兩垂線，勾股方程加全等．矩形由兩個全等的直角三角形組成，可參考直角三角形的存在性問題．

（３）菱形的存在性口訣：菱形等腰存在性，兩圓加一中垂線，記得去掉共線點，等量關系鄰邊找．菱形由兩個全等的等腰三角形組成，可參考等腰三角形的存在性問題．

（４）正方形的存在性口訣：等腰直角正方形，鄰邊相等加直角，一線三垂找直角．正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形，可綜合以上三點解題．

例４ 如圖８，在平面直角坐標系xOy 中，直線y＝kx＋４（k≠０）與y 軸交于點A ．

（１）若y ＝ －２x ＋１ 與直線y＝kx＋４（k≠０）交于點B 的橫坐標為－１．

①求點B 的坐標及k 的值;

②直線y＝－２x＋１，直線y＝kx＋４（k≠０）與y軸所圍成的△ABC 的面積等于多少？

（２）在（１）的條件下，直線y＝kx＋４（k≠０）與x軸交于點E，在x 軸上是否存在點F，使得△AEF 是以AE 為腰的等腰三角形？ 若存在，請直接寫出點F的坐標．

解：（１）①在y＝－２x＋１中，令x＝－１，得y＝

３，所以B（－１，３）．

把B（－１，３）代入y＝kx＋４，得k＝１，所以y＝x＋４．

故點B 的坐標是（－１，３），k 的值為１．

②由題意，得A（０，４），C（０，１），則AC＝４－１＝３．

所以△ABC 的面積為１２×３×１＝３２．

（２）由（１）得E（－４，０）．而A（０，４），所以AE２＝３２．設F（m ，０），則EF２＝（m ＋４）２，AF２＝m２＋１６．

若AE，EF 為腰，則（m ＋４）２＝３２，得m ＝４ ２－４或m＝－４２－４，故F（４２－４，０）或F（－４２－４，０）．

若AE，AF 為腰，則m２ ＋１６＝３２，解得m ＝４或m ＝－４（與點E 重合，舍去），所以F（４，０）．

綜上所述，F 的坐標為（４，０）或（４ ２－４，０）或（－４ ２－４，０）．

４ 一次函數與幾何的動態綜合問題

解決動態問題的一般思路是化動為靜，以靜制動．“化動為靜”中幾何法的基本思路與“以靜制動”中代數法的基本思路分別如表２和表３所示．

例５ 如圖９，已知一次函數y＝２x＋２與坐標軸分別交于A ，B兩點，點C 從點A 出發向x 軸正方向以１單位/s的速度運動，時間為t（t≥０）（單位：s）．當t 為何值時，△ABC 為直角三角形？

解：以靜制動———代數法．

由題意可知，AC＝t，點C 的坐標為（－１＋t，０）．

所以AC２＝t２，AB２＝OA２＋OB２＝５，BC２＝t２－２t＋５．

（１）若∠ACB ＝９０°，則BC２ ＋AC２ ＝AB２，解得t＝１，符合題意．

（２）若∠ABC ＝９０°，則AB２ ＋BC２ ＝AC２，解得t＝５，符合題意．

綜上，t 為１s或５s時，△ABC 為直角三角形．

由于函數知識與幾何知識有機結合的綜合題的形式靈活、立意新穎，能更好地考查學生的思維水平和數學思想方法，因此，要解決幾何圖形中的函數問題，需要注意數形結合和分類討論的數學思想，還要熟練掌握各類函數的基本性質及其圖形特征，以及幾何圖形中的等式關系和相關性質．