逆向思維、出其不意:反證法在初中數學解題中的應用

摘要：問題堪稱數學學科的“心臟”．解決問題是學習的最終歸宿，同時解決問題更能促進數學知識的創新應用，這對初中生的數學思維提出了更高的要求．但在解題實踐中，學生常常受到思維靈敏度不夠的限制，致使其面對數學問題無從下手，甚至因“數學難學”而產生了退縮的現象．本論文就聚焦于此，分析了初中生在解題中面臨的思維障礙，并提出了針對性的疏通路徑，旨在訓練初中生的數學解題思維．

關鍵詞：初中數學;逆向思維;反證法;解題能力

數學學習是認識、理解、掌握和運用知識的過程，旨在為實際生活提供服務．然而，解決問題的創造性活動要求學生的數學思維更加發散和深刻．但是，在教學實踐中，許多學生常常由于思維不夠靈活而在分析、思考和解決問題時遇到困難，例如：不懂得如何分析數學問題，無法建立明確的數量關系，無法形成清晰的解題思路，等等．因此，在初中數學教學中，教師應該基于學生在解題過程中遇到的思維障礙，通過必要的思維訓練，幫助學生疏通解題思路，循序漸進地提高他們的數學解題能力．

１ 初中生數學解題思維障礙分析

相比其他學科，數學具有更強的邏輯性和抽象性，這對學生的綜合能力和思維能力提出了更高的要求．然而，在傳統的機械化和重復性訓練中，學生的解題思維往往難以拓展，導致他們在解題時頻繁遇到困難．第一，逆向思維能力薄弱．學生習慣于正向思維，很少運用逆向思維來分析和解決問題．一旦遇到困難，就無從下手．第二，存在思維盲點．由于數學學科的特點，數學問題對學生的思維廣度和深度提出了較高要求．然而，初中生在實際解題中存在很多思維盲點，導致他們在思考和分析問題時會遇到許多障礙．第三，存在思維惰性障礙．數學解題實際上是一種思維活動．但在實際解題中，一些學生常常受到惰性思維的影響，遇到一點困難就停滯不前．在這種思維障礙下，即使遇到關鍵信息，他們也無法深入思考，難以形成明確的解題思路．第四，存在定勢思維障礙．數學學科對學生的思維靈活性和廣度提出了更高要求．然而，在實際解題訓練中，受到“只解此題”教學模式的限制，學生常常表現出定勢思維，難以找到解題的新視角和突破口．同時，在這種定勢思維的影響下，學生還經常陷入解題的誤區，導致出現各種錯誤[１]．

２ 初中數學解題的基本思維模式

對于數學學科而言，解題思維具有一定的規律．常見的初中數學解題思維主要包括轉化思維、聯想思維、整體思維和逆向思維．其中，轉化思維是指通過改變問題的方向，將未知問題轉化成為熟悉的數學知識或具體、形象的問題．這種思維在數學解題中經常出現，學生需要掌握這種思維才能靈活解決問題．聯想思維是從已知條件、圖形或所求題目等方面聯想到相關的定義、定理或法則，并由此形成解題思路．在解決難題時，聯想思維可以引發靈感，使問題更加清晰．整體思維是指從整體入手，將彼此孤立的問題視為一個整體，通過設元、變形和代入等方式解題．整體思維可以擺脫“單一未知量”的限制，簡化復雜的數學問題，提高解題效率．逆向思維是指改變思考角度，以所求結論作為起點，通過逆向考慮的模式回到已知條件中．這種“倒著干、反向考慮”的模式，即為逆向解題思維．

例如，當實數k 取何值時，關于x 的方程x－２ x＋２－kx２－４＝x＋２ x－２不會產生增根？

針對此題，根據增根的定義可知，只有當分式方程的最簡公分母不等于零的時候，分式方程才不會產生增根．但在該分式方程中，最簡公分母（x＋２）（x－２）≠０的x 值有很多，無法逐個代入進行求解．針對這一現象，在優化解題時，可引領學生改變思維的角度，從結論出發，以題目所求結論的對立面為出發點，圍繞“會產生增根”展開反向思考，逐漸找出產生增根的k 值，即可得到不會產生增根的k 值．

將方程兩邊同時乘最簡公分母（x＋２）（x－２），得（x－２）２－k＝（x＋２）２．

只有當（x＋２）（x－２）＝０時，方程會產生增根．

此時x＝２或x＝－２．

將x＝２，x＝－２分別代入（x－２）２－k＝（x＋２）２中，得k＝±１６．

即當k＝±１６時，方程會產生增根．

所以，當k≠±１６時，原分式方程不會產生增根．

可見，在解決例１時，轉變了傳統從條件到結論的順序，堅持逆向思維，從結論的反面出發進行思考，最終實現了化繁為簡、化難為易，真正提升了學生的數學解題能力[２]．

３ 初中數學解題中思維品質培養路徑研究

３．１ 合理滲透數學思想

數學概念、公式和定理的產生過程中都蘊含著數學思維和數學思想方法．這些思維和方法通常零散地分布在教材的各個章節中．因此，教師在課堂教學中不能只講授知識點，還要深入挖掘其背后蘊含的數學思想和方法．通過精講和細講，借助數學概念和定理的形成過程以及一些例題，將這些思維和方法傳授給學生．例如，在“有理數加法法則”教學中，可以利用問題串，有意識地滲透分類討論思想、數形結合思想;在“相似三角形性質”教學中，可利用“相似多邊形面積比和相似比的關系”，滲透轉化思想[３]．如此，在教師有目的、有意識的引導下，學生在日常學習中就能逐漸掌握常見的數學思想．

３．２ 小組合作研討，強化數學思維

為促進學生數學思維的發展，幫助其克服解題思維障礙，在日常解題訓練中，還應給學生提供思考的時間和空間，引領學生以小組合作的方式，圍繞數學問題進行研討．通過小組的思維碰撞，在多個角度思考和探究問題的過程中，不僅加深了學生對數學問題的深度理解，也促進了數學思維的發展．

例如，已知函數y＝ x－２＋ ２－x ，試求x，y的值．在這個題目的教學中，借助小組研討，引領學生剖析出問題中的隱含條件x－２≥０，{２－x≥０，由此完成解答．

再如，已知等腰三角形的底和腰長分別是方程x２－６x＋８＝０的兩個根，求等腰三角形的周長．這一數學問題學生在日常解題中常常出現漏解的現象．鑒于此，以此題為契機，引領學生開展研討，使其在研討的過程中明確“當底邊為２、當底邊為４”兩種解題思路[４]．如此，不僅避免了漏解的現象，也在研討的過程中促進了思維的深刻性、廣泛性和靈敏性．

３．３ 一題多解，拓展解題思維

在初中數學解題中，為了促進數學思維的發展，積極開展一題多解訓練十分必要．具體來說，一題多解就是聚焦同一題目，引領學生結合不同的數學知識，從不同的角度、不同的層次進行思考、分析，最終從不同的角度完成數學題目的解答．在這一過程中，學生在多角度、多層次的分析中，深刻發現數學的本質，并在多角度的探究中，提升數學思維的深刻性、敏捷性，真正拓展數學解題思維．

例如，如圖１所示，已知正方形ABCD ，E 是BC邊上的一點，且∠AEF ＝９０°，EF 與正方形外角平分線CF 相交于點F，求證：AE＝EF．

針對這一幾何問題，教師在培養學生數學思維時，就可采用“一題多解”訓練，引領學生從不同的角度進行思考、分析，尋找多種解題方法．

方法一，構造全等三角形．如圖２所示，在AB 邊上取一點G，使得AG ＝CE，連接EG．如此，構造出全等三角形，并結合題目已知條件，即可證明△AGE ≌△ECF，進而得出AE＝EF．

方法二，構造等腰三角形．如圖３所示，連接AC延長至點G，使得CG ＝CF，連接EG．如此，通過題中已知條件，先證明△ECF ≌△ECG，得出∠F ＝∠G，∠FEC＝∠GEC，EG＝EF，并借助外角平分線性質，證明△EAG 是等腰三角形，再由△ECF ≌△ECG，得出AE＝EF．

方法三，構造平行四邊形．如圖４所示，延長AB至點G，使得BG ＝BE，連接EG，CG．容易證明△ABE≌△CBG，并得出EGCF 為平行四邊形，再通過AE＝GC，EF＝GC，證得AE＝EF．

如此，經過一題多解訓練，學生在多角度的分析和探究中不僅理解了數學的本質問題，也在深度探究中促進了數學思維發展，極大地提升了數學解題能力．

３．４ 變式訓練，強化解題思維品質

為了強化初中生的數學解題思維，在日常解題教學中，還應結合相應的題目，積極開展變式訓練，使得學生在“一題多變”的過程中，強化對數學知識的理解，并拓展數學解題思維，提升數學思維的廣泛性和靈活性．例如，求不等式－５a＞６的解．針對這一問題，為了強化學生的數學思維訓練，可通過變換條件、問題、結論等方式，展開一系列的變式訓練．

變式１ 如果x ＜y，則５x___________５y，－３x___________－３y（填“＞”“＜”或“＝”）．

變式２ 如果a＜b，那么xa＜xb，x 應該滿足___________;如果a＜b，那么xa＞xb，x 應該滿足___________．

變式３ 求關于a 的不等式（n＋３）a＞６．

變式４ 若關于a 的不等式３na－２＜３n－a 的解集為a＜２，求n 的取值范圍;

若關于a 的不等式３na－２＜３n－a 的解集為a＞２，求n 的取值范圍．

如此，學生在一系列的變式中，不僅完成了對題目的深度理解，也逐漸拓展了自身的數學思維[５]．

４ 結束語

綜上所述，鑒于數學學科的特點，解決數學問題，對學生的數學思維水平提出了很高的要求．可以說，學生的思維水平和解題能力息息相關．鑒于此，教師在日常解題教學中，不僅要重視數學解題教學，還應立足學生在解題中面臨的思維障礙，借助必要的解題思維訓練，不斷提升學生的數學思維品質，進而提升其數學解題能力．

參考文獻：

[１]金云崔．初中數學解題思維模式培養的有效探究[J]．數理天地（初中版），２０２２（２３）：８４Ｇ８５．

[２]司淑萍．新時期初中數學解題策略與數學思維的研究[J]．數學學習與研究，２０２２（３１）：３８Ｇ４０．

[３]邵銳．初中數學動點問題解題障礙分析及對策研究[J]．教學管理與教育研究，２０２２，７（１９）：９０Ｇ９１．

[４]李宛珊．初中二次函數背景下幾何最值的解題障礙研究[D]．廣州：廣州大學，２０２２．

[５]陳瑩瑩，吳悅彤，伍文玉．思維可視化在初中數學解題中的應用探究———基于初中生解題思維特點[J]．中學數學研究（華南師范大學版），２０２２（８）：３６Ｇ４０．