一道中考試題的深度探尋

中考試題的命制立意是體現考試目的，反映學科本質及課程教學改革方向．一份高質量的試卷是命題人經過反復推敲、仔細斟酌、精心打磨形成的，由科學、可信、新穎、有充足的信息和一定深度的考題組成．其中壓軸題尤為突顯，它綜合性較強，一般從學生所學知識、思維方法、問題呈現等方面進行設計，突出考查學生數學學科的關鍵能力，體現培養學生學科素養和素養目標的整體結構能力．

當然，很多壓軸題由于受時間、空間、難度要求等方面的限制，還有一些知識未能呈現在試題中，如果從設問的不同角度進一步挖掘定能展現更完整的知識體系，同時對學生的思維能力的培養起到延續和創新作用．筆者通過對２０２３年揚州市中考數學試卷第２８題的深度探尋，挖掘了更多有價值的問題，以達到培養學生幾何直觀、空間觀念、推理能力的目的，幫助學生感悟數學的價值，并能夠從問題解決的過程中獲得數學活動經驗，對數學產生好奇心和求知欲，增強學習數學的興趣，建立學習數學的信心[１]．

１ 原題呈現

在平面直角坐標系xOy 中，已知點A 在y 軸正半軸上．

（１）如果四個點（０，０），（０，２），（１，１），（－１，１）中恰有三個點在二次函數y＝ax２（a 為常數，且a≠０）的圖象上．

①a＝_____________ ．

②如圖１，已知菱形ABCD 的頂點B，C，D 在該二次函數的圖象上，且AD 垂直于y 軸，求菱形的邊長．

③如圖２，正方形ABCD 的頂點B，D 在該二次函數的圖象上，點B，D 在y 軸的同側，且點B 在點D的左側，設點B，D 的橫坐標分別為m ，n，試探究nm是否為定值，如果是，求出這個值;如果不是，請說明理由．

（２）已知正方形ABCD 的頂點B，D 在二次函數y＝ax２（a 為常數，且a＞０）的圖象上，點B 在點D 的左側，設點B，D 的橫坐標分別為m ，n，直接寫出m ，n滿足的等量關系式．

２ 試題解析

上述試題解析如下．

解析：（１）①由于二次函數y＝ax２ 頂點在原點，對稱軸為y 軸，因此可判斷點（０，２）不在該二次函數的圖象上，其他三個點在該二次函數的圖象上，進而求出a＝１．

②如圖１，由菱形及拋物線性質可得AD ＝AB ＝BC，BE＝CE．設B （－x，x２）（x ＞０），則C （x，x２），D（２x，４x２），所以AB ＝２x，AO ＝４x２，OE ＝x２．由勾股定理，得AE＝ ３x．因為AO＝AE＋EO，所以x２＋３x＝４x２，解得x＝０（舍去）或x＝ ３３ ．故２x＝２ ３３ ，即菱形邊長為２ ３３ ．

③如圖３，若點B，D 同在y軸右側，過點B，D 分別作y 軸的垂線，垂足分別為M ，N ，易得△ABM ≌ △DAN ，所以BM ＝AN ，AM ＝DN ．因為B （m ，m２），D（n，n２），所以AN ＝m ，AM ＝n，NO＝n２，MO＝m２．因為NO －MO ＝MN ，所以n２ －m２＝m ＋n，即（n＋m ）（n－m ）＝m ＋n．又n＋m ≠０，所以n－m ＝１．若點B，D 同在y 軸左側，同理可得n－m ＝１．綜上可得，n－m ＝１．

（２）方法同上．若點B，D 在y 軸同側，則n－m ＝１a．若點B，D 在y軸異側，如圖４，此時n＋m ＝０．綜上，可知m ，n 滿足的等量關系式為n＋m ＝０或n－m ＝１a．

評注：本題以探索圖形在拋物線上的運動產生的幾何模型為背景，關注學生的代數推理能力．綜合考查二次函數與特殊四邊形等初中數學核心知識，考查學生幾何直觀能力與圖形模型思想．通過圖形的運動變化，突出對模型思想、分類討論、數形結合等數學思想方法的考查．作為綜合題，問題層層推進，難度逐步增加，體現了從特殊到一般的數學思想，起到了區分與把關的作用．

３ 考題再思考

３．１ 對未關注的點A，C 的思考

接著原題（１）中的第③ 問繼續探究，在正方形ABCD 中，我們關注的點當然是拋物線上的B，D 兩點，這兩點始終在拋物線上，而另兩點A ，C 往往被我們忽略了，其中點A 在y 軸正半軸上運動，它引領點B，D 的位置，但運動的軌跡始終是一條射線．正方形ABCD 中還有一點C，它的運動軌跡又是什么呢？

借助幾何畫板追蹤點C，會發現點C 的運動路徑是一條拋物線，如圖５．怎么理解呢？

如果把B，D 兩點看作一動點（兩點位置存在一定的關系），點C 隨點B，D 的運動而運動，又點B，D 在拋物線上運動，由“瓜豆原理”可知點C也在拋物線上運動．

不妨去驗證：在圖３的基礎上，再過點C 作MB 的垂線，垂足為Q，如圖６．由此可得△ABM ≌△DAN ≌ △BCQ，容易得到點C（m＋n，m ＋m２）．又n－m ＝１，則點C（２m ＋１，m ＋m２）．令x ＝２m ＋１，y＝m ＋m２，消去m 可得y＝１４x２－１４，所以動點C 也在一條拋物線上運動．基于此結論，可以設置如下問題：

（１）求動點C 的軌跡方程;（２）求動點C 的縱坐標的最小值;（３）求正方形ABCD 面積的最小值．

在探尋點C 的運動軌跡時，兩次運用了“K”字型模型進行轉化，一次是找B，D 兩點橫坐標的關系，另一次是找點C 與B，D 兩點橫坐標的關系，對思維能力的要求較高．學生從中獲取了解決問題的基本策略，同時培養了代數推理能力．

３．２ 對拋物線的一般性思考

原題中我們得到了一般性結論：n＋m ＝０或nm＝１a．這個結論反映的是B，D 兩點橫坐標的關系，而B，D 兩點又在一確定的拋物線上，如果將拋物線進行平移，B，D 兩點的相對位置不發生變化，原題（２）中的結論又是怎樣的呢？

３．２．１將拋物線沿y 軸平移

將拋物線y＝ax２（a 為常數，且a＞０）沿y 軸向上或向下平移|k|個單位長度，此時拋物線的解析式為y＝ax２＋k（a 為常數，且a＞０）．

不妨設k＞０，如圖７，過點B，D 分別作y 軸的垂線，垂足分別為M ，N ，易得△ABM ≌△DAN ，所以BM ＝AN ，AM ＝DN ．因為B（m ，am２＋k），D（n，an２＋k），所以AN ＝m ，AM ＝n，NO ＝an２＋k，MO ＝am２ ＋k．因為NO －MO＝MN ，所以an２ ＋k－（am２ ＋k）＝m ＋n，整理得a（n＋m）（n－m）＝m ＋n，故n＋m ＝０或n－m ＝１a．

３．２．２將拋物線沿x 軸平移

將拋物線y＝ax２（a 為常數，且a＞０）沿x 軸向左或向右平移|h|個單位長度，此時拋物線的解析式為y ＝a（x－h）２（a 為常數，且a＞０），點A 在對稱軸上，對稱軸交x 軸于點H ．不妨設h＞０，如圖８，過點B，D 分別作對稱軸的垂線，垂足分別為M ，N ，易得△ABM ≌△DAN ，所以BM ＝AN ，AM ＝DN ．因為B（m ，a（m －h）２），D （n，a（n－h）２），所以AN ＝m －h，AM ＝n －h，NH ＝a （n －h）２，MH ＝a（m－h）２．由NH －MH ＝MN ，得a（n－h）２－a（m －h）２ ＝m －h＋n－h，即a（m －h ＋n－h）（n－m）＝m－h＋n－h，所以n＋m＝２h 或n－m＝１a．

３．２．３將拋物線沿x 軸、y 軸平移

將拋物線y＝ax２（a 為常數，且a＞０）的圖象先沿x 軸向左或向右平移|h|個單位長度，再沿y 軸平向上或向下平移|k|個單位長度，此時拋物線的解析式為y＝a（x－h）２ ＋k（a＞０），點A 在對稱軸上，對稱軸交x 軸于點H ．不妨設h＞０，k＞０，如圖９，過點B，D 分別作y軸的垂線，垂足分別為M ，N ，易得△ABM ≌△DAN ，所以BM ＝AN ，AM ＝DN ．因為B（m，a（m －h）２＋k），D （n，a（n－h）２＋k），所以AN ＝m －h，AM ＝n －h，NH ＝a（n－h）２＋k，MH ＝a（m －h）２＋k．因為NH －MH ＝MN ，所以a（n－h）２ ＋k－[a（m －h）２ ＋k]＝m－h＋n－h，即a（m －h＋n－h）（n－m）＝m －h＋n－h，所以n＋m ＝２h 或n－m ＝１a．

不難發現，無論拋物線怎么平移，這樣的正方形若存在，則B，D 兩點的橫坐標的關系只取決于對稱軸的位置以及a 的大小．基于此結論，可以設置如下問題：對于二次函數y＝ax２＋bx＋c（a，b，c 為常數，且a＞０），點A 在對稱軸上，正方形ABCD 的頂點B，D 在該二次函數的圖象上，試探究B，D 兩點橫坐標的關系．

在研究圖形的性質和運動過程時，如果從整體變化和相對位置不變的角度探尋，進行縱向挖掘，層層推理，由易到難，會發現更深刻、更一般的結論．這樣不僅可以優化考題設計，也能夠促進數學思維的縱深拓展．

４ 感悟反思

４．１ 立足方法，形成解題模式

上述試題的探究立足于幫助學生構建這類數學問題的解題模式，促進學生對圖形在拋物線上運動這一模型的識別和深度探尋，對學生提高解題速度和深度理解解題過程都有很大的幫助．該試題總結了與拋物線相關的正方形中B，D 兩點的橫坐標之間的數量關系．上述探究都是通過設點的坐標，并用坐標表示線段的長度，再根據幾何模型中線段的數量關系列出方程，進而推導出B，D 兩點的橫坐標之間的數量關系．將解題經驗顯性化、一般化，并總結出其中蘊含的數形結合、化歸與轉化、方程、函數建模等數學思想方法．

４．２ 知識生長，激發思維延續

開展考題探究不僅要關注解題突破過程，還應重視拓展過程，在拓展的過程中促進知識的生長．弗賴登塔爾認為“數學學習唯一正確的方法是讓學生進行‘再創造’，也就是說，由學生本人把學習的東西實現或創造出來，教師的任務是為學生的發展創造條件、引導探索”[２]．因此，平時的考題研究應不局限于原題，還應大膽探究，推廣衍生新問題，這樣學生的思維在原有的基礎上又能得到延續和發展，從而促進學生深入思考問題，把問題真正想深、悟透、學活．

４．３ 滲透素養，聚焦關鍵能力

考題是學科素養和關鍵能力落實的主要衡量指標之一，這就要求教師平時不能僅停留在對考題方法的研究上，還應對考題立意、本質、拓展加以探究，旨在把學生對考題“研”的過程轉向教師對考題“命”的研究上．上述試題中，通過圖形在拋物線中的運動所產生的數學問題，讓學生在分析問題過程中借助數學模型培養幾何直觀、邏輯推理、數學運算等素養．

總之，在深度學習背景下的初中數學壓軸題的探究中，教師應注重培養學生發現并提出問題、分析并解決問題的能力，提高學生的問題意識，最終通過巧妙的問題設計，不斷提升問題厚度，使學生拓展思維寬度，提升思維深度，進而提升數學素養和關鍵能力．

參考文獻：

[１]中華人民共和國教育部．義務教育課程標準（２０２２年版）[S]．北京：北京師范大學出版社，２０２２．

[２]涂榮豹．數學教學設計原理的構建：教學生學會思考[M]．北京：科學出版社，２０１８．