巧解初中幾何問題

圓是初中數學平面幾何中非常重要的一個知識點，與初中數學中其他幾何問題有著緊密的聯系．所以在解決幾何問題時，一些無法利用常規思路求解的綜合問題可以嘗試通過構造輔助圓的方式來解決．因此，在初中數學幾何問題解題教學中，教會學生如何正確使用輔助圓來巧解幾何問題是教師需要重點研究的問題．下面將通過例題對輔助圓的應用進行說明．

１ 角的問題

例１ 在△ABC 中，AB ＝AC，∠ABC 的平分線交AC 于點D ，已知BC＝BD ＋AD ，求∠A 的度數．

分析：根據題中所給已知條件，可以判定△ABC為等腰三角形，但是想要根據已知條件通過常規方式求∠A 的度數存在一定困難．結合題中所給的角平分線，可以聯想圓中共頂點的角的問題，作△ABD 的外接圓，與△ABC 的BC 邊交于點E，連接DE，如圖１．根據BD 是∠ABC 的角平分線，可以知道AD ＝DE，同時還能得到這個輔助圓為四邊形ABED 的外接圓．根據圓內接四邊形的對角互補的性質可得∠ABC ＝∠EDC，根據△ABC 為等腰三角形可知∠ABC ＝∠EDC＝∠C，于是可得∠BED ＝２∠C，且△EDC 為等腰三角形．所以DE ＝CE，則AD ＝DE ＝CE，然后結合BC ＝BE ＋AD 得到BD ＝BE，所以∠BDE ＝∠BED ＝２∠C．這樣就可以在△BDE 中計算∠C 的度數，即１２∠C＋２∠C＋２∠C＝１８０°，所以∠C＝４０°，最后計算得出∠A ＝１００°．

在初中數學幾何問題中構造輔助線需要充分結合試題的情況來進行．本題中輔助圓的構造就是結合了本題所給定的角平分線的關系，根據相等的圓周角所對應的弧和弦長相等的性質來實現;然后通過輔助圓及相關線段關系來與相關角取得聯系;最后利用三角形的性質求解．教師要對學生進行相應的引導，讓學生掌握通過角的關系來構造輔助圓，進而借助輔助圓解決問題．

２ 線段長度的問題

例２ 如圖２所示，在Rt△ABC中，AB ⊥BC，AB ＝６，BC ＝４，P 是Rt△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP 的最小值為（ ）．

A．３２ B．２ C．８ １３１３ D．１２ １３１３

分析：根據AB ⊥BC 可以知道∠ABC ＝９０°，結合∠PAB ＝∠PBC 可得到∠APB ＝９０°，所以△ABP 是直角三角形．根據直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半以及圓的直徑所對的圓周角是９０°，可知點P 在以AB 為直徑的圓上．以AB 的中點O 為圓心，AB 為直徑作圓，如圖３所示．這樣就可得到當PC 的值最小時，點P 正好在線段OC 上．因為AB＝６，所以OB＝３．在Rt△OBC 中，BC＝４，根據勾股定理得到OC＝５，于是可求出PC 的最小值為２．所以正確答案是選項B．

例２的解題關鍵是需要判斷點P 的軌跡，首先根據試題中所給定的關系得到∠APB ＝９０°，結合直角三角形的性質和圓的性質很容易判斷出點P 在以直線AB 為直徑的圓上，然后就能夠求解最小值．因此，在解題的過程中，只有認真分析題目條件，才能順利找到解題思路．教師在進行解題教學時需要教會學生如何根據題目中所給定的已知條件來進行分析，從而找到解題思路．很多幾何問題都是需要在解題的過程中才能夠找到相應的解題思路，并不是通過對試題的觀察就能得到解題思路的．因此結合已知條件來對試題中存在的關系進行分析，在解題的過程中發現解題思路，是解決問題最好的方式．教師需要引導學生先根據已知條件嘗試找到解題的思路，進而解決問題．

３ 三角形相似的問題

例３ △ABC 中，AD 是∠BAC 的外角平分線，交BC 的延長線于點D ，求證：BDDC ＝ABAC ．

分析：AB，AC 是△ABC 的兩條邊，而BD ，DC則是線段BD 上的兩條線段，根據所學的知識，要證明BDDC ＝ABAC，線段成比例關系可以通過證明三角形相似來解決．因此需要將線段BA 延長至點F，連接DF，構建出△BAC ∽ △BDF，得到ABAC ＝BDDF，然后證明CD ＝DF 就可以了，從而將證明的關鍵轉化為證明CD ＝DF．結合題意，∠BAC 的外角平分線交BC 的延長線于點D ，如圖４，根據例題１中的方式構造△ACD 的外接圓，BA 的延長線與圓交于點F，連接DF．根據圓的性質可以得到CD ＝DF，通過相似三角形的證明就可以解決問題．

幾何問題中需要求證的結論存在線段比例關系或者線段等積關系時，都會涉及三角形相似或者全等的證明，通過構造圓為三角形相似或者全等提供條件，實現對問題的求解．在這個過程中，需要充分結合例題１和例題２中輔助圓構造的方式來找到相應的關系．

４ 動點的問題

例４ 如圖５所示，邊長為３的等邊三角形ABC，D ，E 分別是BC，AC 邊上的兩個動點，且BD ＝CE，AD ，BE 交于點P ，求點P 的運動路徑長和CP 的最小值．

分析：首先需要對點P 的運動路徑進行判定．根據等邊三角形的相關性質和BD ＝CE 可以得到△ABD ≌△BCE，這樣就得到∠CBE ＝∠BAD，然后通過∠CBE＋∠ABP＝６０°得到∠BAP＋∠ABP ＝∠APE＝６０°，于是∠APB ＝１２０°．可以發現在點D 和點E 移動的過程中，∠APB ＝１２０°是恒成立的，所以可以認為點P 在AB 為弦的圓上．假設弦AB 所在圓的圓心為O，連接OP ，OA ，OB，根據圓的性質、△ABC 的邊長為３可計算出圓O 的半徑OA ＝３，然后計算出點P 的運動路徑長度為２ ３３ π，CP 的最小值為３．

解：由AB ＝BC，∠ABD ＝∠BCE，BD ＝CE 得△ABD ≌△BCE．

由∠CBE＋∠ABP ＝６０°，得∠BAP ＋∠ABP ＝∠APE＝６０°．

所以∠APB＝１２０°．

故點P 的運動軌跡是以AB 為弦的圓上的一段弧．

如圖６所示，作△ABP 的外接圓，圓心為O，連接OA ，OB，OP ，OC．

由OA ＝OB，AC ＝BC，得△AOC≌△BOC．

所以∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝１２∠ACB＝３０°，∠AOC＝∠BOC＝１２∠APB＝６０°．

故∠OAC＝９０°．

根據勾股定理，可得OA ＝ ３，OC＝２ ３．

所以，弦AB 所對的弧長為３×２３π＝２ ３３ π;當O，P ，C 三點共線時，CP 最小，且最小值為３．

在三角形的動點問題中，如果動點與一條線段所構成的角度固定，則說明這個動點的軌跡是以這個線段為弦的圓上的一段弧，通過這個關系可以構造輔助圓，然后利用圓的性質來求解問題．本題給定的是正三角形，當然不同的三角形中所呈現的關系可能會存在差別，但是本質沒有變化．例如，在例題２中通過計算所得到的角度為９０°的特殊角，這個輔助圓的圓心就在直角三角形的斜邊上．例４中這個角度為１２０°，圓心在三角形的外部，通過輔助圓來充分利用圓的相關性質，能夠更好地對問題進行求解，實現問題的解決．

本文中對輔助圓在初中數學平面幾何中的應用進行了總結，并通過相關例題對其用法進行了說明．在初中數學平面幾何問題中巧用輔助圓能夠優化試題解法，實現快速求解．因此，教師在解題教學的過程中需要對學生進行有效地引導，讓學生掌握輔助圓的應用，從而提升解題能力;提升數學素養．