論與薄板近似和屏近似有關的幾個計算問題

摘要： 薄板近似與屏近似是為了實現De Wolf 近似而提出的兩種雙域算法，廣泛地應用于地震波數值模擬和偏移成像。算法實現過程中存在幾個計算問題，如：F‐K 域空間假頻問題、背景速度選取和薄板厚度劃分問題、橫向非均勻介質中的背景Green 函數計算問題、如何處理橫向非均勻性問題等。然而，針對上述計算問題的系統討論還未見報道。針對這種現狀，文中首先回顧了薄板近似法和屏近似法的具體實現。其次，對上述幾個計算問題進行了系統的研究，具體為：①闡明了F‐K 域空間假頻產生的原因，并利用縱、橫向振幅衰減因子消除了空間假頻現象； ②對背景速度的選取進行了探究，盡可能保證薄板內整體速度擾動相對較小是背景速度選擇的關鍵； ③對比了不同薄板厚度下薄板近似法和屏近似法的正演記錄和計算效率，并討論了薄板劃分的依據； ④分析了背景Green 函數不穩定性的原因，以及橫向非均勻介質情況下的計算誤差問題； ⑤探討了介質橫向不均勻性對薄板近似和屏近似精度的影響，并提出了幾種改善算子適應介質橫向變化的方法。最后，利用三維簡單層狀模型和二維實際速度模型對討論結果進行了測試。該研究結果可為薄板近似法和屏近似法在復雜介質的應用提供一定的理論基礎。

關鍵詞： 薄板近似，屏近似，空間假頻，背景Green 函數，橫向非均勻性

中圖分類號：P631 文獻標識碼：A DOI：10. 13810/j. cnki. issn. 1000‐7210. 2024. 05. 007

0 引言

為了解決前向散射累積效應很強時Born 近似失效的問題，Wu[1]提出了實現De Wolf 近似的兩種方法：薄板近似和屏近似。薄板近似是將整個模型在垂直方向上劃分成若干個薄板，采用De wolf 近似對總波場不斷更新，并在每一步內計算一次向后散射波場。薄板近似法可以稱為廣義廣角相位屏法，但是薄板的散射效應與局部規則相位屏效應不同，因為前者的薄板之間相互作用在空間域和波數域都不是局部的[2]。如果薄板劃分得足夠薄，則可取薄板中線上的積分近似整個薄板的積分[1，3]。相對于薄板近似，屏近似對薄板和入射波之間的相互作用值（散射）進行了近似處理[1]。因此，屏近似在一定的條件下可以理解為薄板近似在弱散射情況下的一種小角度近似。本文重點圍繞薄板近似和屏近似法正演實現過程中存在的幾個計算問題進行分析討論。

薄板近似法和屏近似法使用FFT 在空間域和波數域之間交替計算，算法模擬一次反射，忽略了非均勻性之間往返傳播的交混回響，但可以正確處理與多次前向散射有關的波動現象，如聚焦/焦散、衍射、折射和干涉[4]。相對于全波場有限差分[5‐6]和有限元法，這種單向傳播方法的最大優點是計算速度快，地震波正演模擬過程中可以節省大量內存[7]。目前該種方法常用于非均勻介質地震散射波場模擬[8‐11]和偏移成像[12‐16]。該種方法對于地震波計算是高效的，特別是對于高頻地震波的長距離傳播。20 世紀90 年代，Wu 等[8] 利用這種方法模擬了核試驗激發的高頻彈性Lg 波（ 在地殼中經多次反射形成的波） 傳播，這是傳統的全波有限差分法難以實現的[7] 。

然而，薄板近似和屏近似法在實現過程中存在幾個計算問題，具體如下。

（1）F‐K 域空間假頻問題。這是由于背景Green函數中的1/kz項的高通濾波效應[17‐19]，會造成很嚴重的空間假頻效應，嚴重影響地震記錄的信噪比。

（2）背景速度的選取。薄板近似和屏近似法都需要在頻率—波數域利用常速度進行相移處理，擾動校正則在空間域進行，如果背景速度與真實速度差異較大時，計算結果將出現很大誤差。

（3）薄板厚度劃分的問題。薄板的厚度不僅影響計算精度，而且還影響著計算效率； 薄板越厚，計算效率越高，計算精度越低； 薄板越薄，計算效率越低，計算精度越高。薄板厚度劃分過程中如何滿足薄板內速度擾動相對較小是薄板厚度劃分的關鍵問題。

（4）背景Green 函數的計算問題。薄板近似和屏近似計算過程中利用薄板內均勻介質Green 函數值近似表示De wolf 近似后背景Green 函數[4]，當介質橫向非均性很強時，該近似方式的誤差相對較大。

（5）介質的橫向非均勻性問題。薄板近似和屏近似法在F‐K 域利用背景速度完成相移部分，在空間域對速度擾動進行校正，若局部速度擾動變化相對較大、薄板內不滿足弱散射條件（不滿足Born 近似條件）時，該方法計算誤差大，這也是該方法的計算瓶頸。

本文的目的是針對薄板近似和屏近似法實現過程中存在的幾個計算問題進行分析討論。首先對薄板近似和屏近似法理論進行回顧； 其次圍繞F‐K 域空間假頻問題、背景速度的選取、薄板厚度的劃分問題、背景Green 函數的計算問題、橫向非均勻性問題等展開討論； 最后，利用三維簡單層狀模型和二維實際速度模型驗證討論結果的有效性。

1 薄板近似和屏近似：回顧與分析

1. 1 薄板近似理論

二維散射總場可表示為[11]