基于Bowring公式的大地緯度兩種高精度解法

【摘" " 要】：為了提高大地緯度的解算精度，以Bowring 1976公式為基礎，通過減小歸化緯度的偏差，給出兩種大地經緯度解法，使得解算精度從[10-3]″量級分別提高到不低于[10-10]″、[10-14]″量級。

【關鍵詞】：大地緯度；迭代解法；直接解法；Bowring公式；解算精度

Two High-Precision Solutions for Geodetic Latitude Based on Bowring Formula

SONG Baoquan

（Tianjin Municipal Engineering Design amp; Research Institute Co.Ltd.， Tjanjin 300051，China）

【Abstract】：In order to improve the accuracy of geodetic latitude calculation， based on the Bowring 1976 formula and by reducing the deviation of normalized latitude， this paper proposes two methods for geodetic latitude calculation， which increase the accuracy of geodetic latitude calculation from the order of 10-3\"to no less than 10-10\" and 10-14\"， respectively.

【Key words】：geodetic latitude; iterative solution; direct solution; Bowring formula; calculation accuracy

將空間直角坐標轉換為大地經緯度坐標，是大地測量、彈道計算、航空航天、衛星測控等工作的基本問題；但由空間直角坐標計算大地緯度，沒有直接解算公式。國內外學者相繼提出了多種解算方法，主要歸結為迭代解法和直接解法兩大類：迭代解法計算速度較慢，提高解算精度需要增加迭代次數；直接解法中，比較著名的Bowring 1976公式被廣泛應用，但在特定空間范圍計算精度下降，特別是在大地緯度45°、高為2倍地球半徑時，計算誤差約為1.7[×10-3]″。為進一步提高解算精度，國內外學者提出各種改進方法：Bowring[1]本人于1985年提出的改進算法；陳石平等[2]分析了Bowring 1976 和1985算法及其適用范圍，大地高H≤2 km時優先選用1976算法，H≥20 km時優先選用1985算法，2 km＜H＜20 km時，需根據高程和緯度選擇其中一種算法；廖鳴等[3]采用二維線性插值法對不同高程下的坐標轉換結果進行校正，最弱條件下大地緯度誤差為1.175[×10-5]″；過家春等[4]以拉格朗日反演理論為基礎，導出空間直角坐標向大地坐標轉換的泰勒級數展開式，展開至第4項時，最弱條件下大地緯度誤差為-1.46[×10-6]″，至第5項時為1.00[×10-8]″；陳石平等[5]以Bowring 1985公式為基礎，提出了引入擬合修正因子的改進算法，得出因子n=4時，最小誤差為5.42[×10-9]″，同時在大地高H≤2 km的情形下適用Bowring 1976算法。

本文以Bowring1976公式為基礎，通過減小歸化緯度的偏差，提高大地緯度的計算精度。

1 空間點三種緯度之間的關系

P（x，y，z）為位于長半軸a和短半軸b的大地橢球面上的任意點，過P點及Z軸作ROZ平面的切面圖，P點對應的3種緯度分別是：地心緯度α，P點到地球原心的連線與赤道平面的交角；歸化緯度μ，橢圓的角度參數方程中的角度；大地緯度B，P點沿橢球法線方向與赤道平面的交角。見圖1。

三者之間關系α≤μ≤B（僅P點在赤道面或Z軸上，三者相等為0°或90°）

（1）

（2）

（3）

（4）

式（4）代入式（1）和式（3），可得

（5）

（6）

若P點恰好在橢球面上，則式（6）可算得大地緯度精確解；當P點處在一定的海拔高度，只能算出大地緯度的近似解。

2 常用解法

2.1 大地緯度迭代解法

（7）

式中：e為橢球第一偏心率；N為卯酉圈曲率半徑，可將式（6）計算出的B作為初值。

迭代解法以達到預設的精度為停止迭代的條件。迭代計算4～5次，大地緯度精度可達到0.000 1″，若要達到更高精度，則需增加迭代次數。

2.2 Bowring1976公式

橢圓子午圈曲率中心滿足以歸化緯度μ為參數的方程

（8）

式中：[c2=a2-b2]。

圖2中的紅色曲線為子午圈曲率中心軌跡，橢圓的法線收斂于該軌跡（圖2中僅畫出收斂于第四象限的軌跡，完整圖形為以坐標軸上下左右對稱的菱心形）。若a=b且＞0，橢圓即為圓，曲率中心則為坐標原點。

橢圓的法線即為過橢圓上的點和對應曲率中心點的直線，法線與赤道平面的交角為大地緯度。按兩點式求解法線斜率，計算出大地緯度。

（9）

式中：μ由式（5）的計算值代入。

若P點恰好在橢球面上，Bowring公式可算得大地緯度精確解；當P點處在一定的海拔高度，算出的大地緯度為近似解。

Bowring1976公式利用了橢圓法線收斂性的特點，一次計算相當于常規迭代解法多次迭代的精度。大地高H≤10 km（不高于珠峰的海拔高）時，計算精度達[10-8]″量級，因此Bowring1976公式被認為是大地緯度的直接解法之一。但Bowring1976公式在大地緯度45°，大地高為2倍地球半徑時，計算誤差約為1.7[×10-3]″，影響其適用范圍。

3 兩種高精度解法

3.1 第一種解法

根據式（6），當P點處在一定的海拔高度，必然存在一數值[a'b']，對應大地緯度的精確解。

（10）

經分析和計算，這一數值與P點高出橢球面的大地高相關。將大地高[h0]代入式（10）

（11）

綜合式（11）和式（2）得

（12）

將式（12）計算出的μ值代入式（9），可顯著提高大地緯度的解算精度。其中的[h0]可按式（13）～式（16）算得

（13）

（14）

（15）

（16）

3.2 第二種解法

綜合式（9）和式（2）可得

（17）

將式（17）計算出的μ值代入式（9），同樣顯著提高大地緯度的解算精度。其中的[μ0]按式（16）計算。

3.3 解算精度比較

比較大地高為2倍地球半徑、緯度5°～85°的一組空間點解算精度。見表1。

輸入的歸化緯度偏差大幅減小，對應的大地緯度解算精度隨之顯著提高。Bowring 1976算法中輸入的歸化緯度偏差在462.08″時，大地緯度計算精度最弱，為10-3量級；第一種解法中輸入的歸化緯度偏差在0.127″，大地緯度計算精度為10-10″量級；第二種解法中輸入的歸化緯度偏差在1.7×10-3″，大地緯度計算精度為10-14″量級。

4 結論

通過減小Bowring公式輸入歸化緯度的偏差，可大大提高大地緯度的解算精度。利用兩種解法計算的大地緯度再求出對應的空間坐標，第一種解法最弱點位精度為10-9 m、第二種解法精度為0 m。兩種解法均可以滿足各種場景的計算精度需要。

參考文獻：

[1]Bowring B R. The accuracy of geodetic latitude and height equations[J]. Survey Review， 2013，28（218）：202-206.

[2]陳石平，陳順清，鄭健超，等.Bowring算法中兩種大地緯度計算公式性能的對比[J].地理空間信息，2019，17（5）：64-67+5.

[3]廖鳴，李鵬，陳毅平，等：地心直角坐標和大地坐標轉換算法研究[J].電子科技，2010，23（2）：18-21.

[4]過家春，趙秀俠，吳艷蘭.空間直角坐標與大地坐標轉換的拉格朗日反演方法[J].測繪學報，2014，43（10）：998-1004.

[5]陳石平，陳順清，鄭健超，等.Bowring高精度大地緯度計算方法改進[J].地理信息空間，2020，18（3）：118-121+124+8.

收稿日期：2023-06-07

作者簡介：宋保全（1971 - ）， 男， 教授級高級工程師， 從事測繪數據處理及測繪工程新技術研究。