單輸入單輸出系統分數階預測函數控制

摘 "要 "基于分數階微積分理論和預測函數控制理論，針對一類單輸入單輸出分數階線性系統提出了一種分數階預測函數控制方法。用Oustaloup近似法對分數階系統近似的整數階系統建立預測輸出模型，并用GL定義在代價函數中引入分數階算子。該控制方法通過將控制輸入結構化簡化了控制器設計，引入分數階算子增加了控制器的自由度。仿真結果表明：與傳統預測控制器相比，分數階預測函數控制器具有調節時間短、抗干擾能力強及魯棒性強等優點，在模型失配的情況下也有較好的跟蹤效果。

關鍵詞 "Oustaloup近似 "單輸入單輸出 "分數階預測函數控制 "模型失配

中圖分類號 TP13"" 文獻標志碼 A"" 文章編號 1000-3932（2024）04-0577-05

預測控制最早出現于20世紀80年代初期，由Richalet等提出[1]。在過去幾十年的發展中，預測控制取得了顯著的進展，出現了模型算法控制（MAC）、動態矩陣控制（DMC）、廣義預測控制（GPC）及預測函數控制（PFC）等方法。預測控制的核心思想在于利用系統的數學模型和實時測量數據，預測系統未來的行為，并根據這些預測結果制定最優的控制策略，以實現預定的性能目標。

傳統的預測控制方法主要基于整數階微積分理論，但是在實際工程應用中，許多系統往往具有非整數階的動態特性，如慣性、摩擦及滯后等，這些特性往往不能用整數階微積分方程來描述。分數階微積分理論的引入能夠更準確地建立模型，解釋系統的動態行為，并設計更有效的控制策略，在生物醫學[2]、材料科學[3]及信號處理[4]等諸多領域中應用廣泛。在面對這些復雜的分數階系統，傳統的預測控制方法難以達到預期的性能指標。針對上述問題，PETR？？ I提出一種新型分數階模型預測控制狀態空間方法，通過一個新的分數性能指標和分數控制動作提高了系統的穩定性[5]。ZOU Q等設計了一種包含狀態變量和輸出跟蹤誤差的分數階ENMSS模型預測控制方法，提高了系統的抗干擾性并在分數階加熱爐模型上取得了良好的控制效果[6]。NTOUSKAS S等設計了一種用于分數階系統無偏移參考跟蹤的模型預測控制方案[7]。因分數階控制器的良好表現，越來越多的學者投身于分數階預測控制的研究。文獻[8]提出了一種分布式的分數階模型預測控制策略，解決了系統出現高頻干擾和負載波動帶來的問題。文獻[9]提出一種分數階廣義預測控制方法，用分數階算子實現軟化約束。這些方法不僅拓展了傳統控制的邊界，還為提高系統控制的效能和穩定性提供了新的解決方案。

利用預測函數控制能結構化控制輸入的特點，筆者將預測函數控制與分數階微積分理論結合，推導出基函數為階躍和斜坡函數時的最優控制率。所提出的控制方法自由度高，閉環性能好，能有效解決傳統預測控制處理失配模型時跟蹤效果差的問題。

1 "分數階微積分

定義Grünwald-Letnikov分數階微分：

其中，D為微分符號；a為初始狀態時間；b為終止狀態時間；h為計算步長；[X]為X的整數部分；α為分數階參數；ω（α）j為多項式系數，，。

為方便計算，通常采用遞推公式來直接求解多項式系數，表示如下：

此外，考慮到實際過程和分數階的特點，可以用采樣時間TS代替[10]。利用GL（Grünwald-Letnikov）定義可以推導出控制系統的離散形式，離散化模型下的微分算子可以描述如下：

其中，為積分符號，即。

2 "分數階預測函數控制

首考慮一類SISO分數階系統：

用Oustaloup擬合方法，可將微分算子近似成相應的整數方程：

其中，α為分數階次，0lt;αlt;1，N為近似階次，，，，，ωh和ωl為擬合頻率的上、下限。

將分數階系統近似為整數階的高階系統，在采樣時間TS的條件下將其離散，得可到如下差分方程的形式：

其中，m為系統輸入的階次；n為系統輸出的階次。

預測函數控制的輸入具有以下形式：

其中，P為預測長度。

基函數的選擇取決于過程的性質和輸入參考，并且通常使用規范函數[11]。當設定值變化包含斜坡信號時，應選取兩個基函數——階躍和斜坡函數，即控制量為：

其中、為待定系數，可得到。

根據式（6）的模型和式（8）的輸入可推算出未來時刻預測的輸出值：

整理后得：

將式（10）兩邊左乘A-1可得：

其中，，，，。

定義參考軌跡：

其中，yp為系統實際輸出；λ為柔化系數；c為設定值。

定義代價函數：

利用式（3）可得到代價函數的離散形式：

其中，，，，，，當qgt;0時，當qlt;0時。

定義誤差：

令，則可以根據求出最優加權系數，其中：

則最優控制率為：

3 "仿真實驗與結果分析

為了驗證筆者所提方法的有效性，運用Matlab2020b對如下分數階系統進行數值仿真：

用Oustaloup近似法選取N=4，近似擬合的頻率上、下限分別為ωh=106、ωl=10-6，可得近似高階模型：

為設計整數階預測函數控制器，使用最優降階法將近似的高階模型降階為一階系統：

分數階模型、Oustaloup模型和降階后的一階模型的階躍響應如圖1所示。從圖中可以觀察到，Oustaloup模型和降階后的一階模型都能夠很好地逼近原始分數階系統的響應。筆者用降階后的一階模型設計整數階控制器，并將控制量作用于Oustaloup模型上，與分數階預測函數控制器（FOPFC）進行比對。

圖1 "階躍響應輸出對比曲線

仿真過程中，預測水平P=10，λ=0.95，γ=0.9。圖2為兩種控制系統的輸出響應曲線對比。為測試改進后控制器的抗干擾能力，筆者在t=300 s時加入了幅值為0.1的持續擾動。兩種控制方法的抗擾動曲線如圖3所示。

圖2 "輸出響應對比曲線

圖3 "抗擾動對比曲線

由圖2、3可知，傳統的整數階控制器出現了一個小的超調量，而分數階控制器沒有出現超調且上升速度更快，并有更好的抗干擾能力。為進一步測試所設計控制器的魯棒性能，筆者使用蒙特卡洛方法，選取如下兩組失配模型進行實驗：

第1組

第2組

兩組實驗輸出曲線如圖4、5所示。

從圖4、5可以看出，筆者所提方案在模型失配狀態下仍可達到穩定的調節特性，即具有良好的跟蹤特性和更小的超調量，并且在受影響后調整持續時間也更短。

4 "結束語

筆者提出了一種分數階預測函數控制方法，通過GL分數階微積分定義在目標函數中加入微分算子，推導出基函數為階躍信號和斜坡信號時的最優控制率。仿真結果表明該方法具有控制平穩、調節時間短等優點。分數階控制器在具有更高自由度的同時也帶來了更多調參的困難，然而目前對分數階參數的研究尚淺，在實際應用中常用實驗或仿真方法來選取。未來的研究方向是嘗試采用智能參數優化方法來自動調整控制器的參數，以適應不同的系統和環境。目前分數階理論在實際應用中還相對較少，但其優秀的表現具有很好的推廣意義。

參 "考 "文 "獻

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（收稿日期：2023-08-04，修回日期：2024-05-07）

Fractional Order Predictive Function Control for SISO System

SHAO Ke-yong， YANG Ming-hao， WANG Bing-qi，

HUANG Zhi-xian， WANG Hong-tao

（School of Electrical and Information Engineering， Northeast Petroleum University）

Abstract " Based on the theory of fractional calculus and predictive functional control， "a fractional-order predictive function control method for the single-input single-output（SISO）fractional-order linear systems was proposed. In which， having the Oustaloup approximation method adopted to approximate the fractional-order system as an integer-order system so as to establish a predictive output model， and having GL definition employed to introduce a fractional-order operator into the cost function. This control method simplified the controller design through structuring the control input， and introduced the fractional operator to increase the degree of the controller freedom. The simulation results show that， compared with the traditional predictive controller， the fractional-order predictive function controller has advantages of shorter adjustment time， strong anti-interference ability and robustness， and has a better tracking effect in the case of model mismatch.

Key words " Oustaloup approximation， SISO， fractional-order predictive function control， model mismatch

基金項目：黑龍江省省屬高校基本科研業務費（批準號：2022TSTD-04）資助的課題。

作者簡介：邵克勇（1970-），教授，從事魯棒控制、智能控制的研究。

通訊作者：楊明昊（1999-），碩士研究生，從事分數階預測控制的研究，446198019@qq.com。

引用本文：邵克勇，楊明昊，王炳淇，等.單輸入單輸出系統分數階預測函數控制[J].化工自動化及儀表，2024，51（4）：000-000.