基于不可逆分數階離散映射的圖像加密算法

摘 要：基于分數階離散映射系統的混沌特性，提出了一種基于分數階循環移位彩色圖像加密算法.該算法首先通過利用偽隨機發生器產生隨機的二進制序列與原彩色圖像關聯，產成各層隨機的初始值參數，其次利用分數階離散映射產生混沌序列，對彩色圖像的紅、綠、藍通道分別進行循環移位置亂加密和擴散運算，最后利用產生的偽隨機二進制序列和混沌序列控制對各層的加密矩陣進行矩陣變換，得到加密圖像.仿真結果表明，相鄰像素的相關性系數近似為0，信息熵、像素變化率和歸一化像素灰度值平均改變強度的平均值分別為7.997 8、99.609%和33.442%.該算法具有良好的可靠性和抗攻擊能力，能夠有效地提高圖像的安全性.

關鍵詞：分數階離散映射；圖像加密；循環移位加密；矩陣變換

中圖分類號：TP309.7 文獻標志碼：A文章編號：1000-2367（2024）05-0117-09

在信息安全領域中，混沌圖像加密算法一直是混沌密碼學的研究熱點之一.自1997年FRIDRICH將混沌引入圖像加密以來^[1]，大量基于混沌圖像的加密算法不斷涌現.在圖像加密技術的初期階段，許多基于整數階混沌映射的加密算法被提出，例如經典的Logistic映射和Hénon映射^[2-5].隨后，許多學者還提出了基于整數階多維連續系統的加密算法^[6-7].與整數階混沌系統相比，分數階非線性系統有著更大的參數取值空間，該特性增大了密鑰空間，從而提高了加密系統的安全性^[8-9].因此，將分數階系統引入到圖像加密中已經逐漸成為信息安全領域的研究熱點.

文獻[10]提出了一種基于分數階Chen系統的圖像加密算法，該算法主要利用混沌置亂和混沌掩蓋的技術對圖像進行加密，得到了較好的加密效果.文獻[11]研究了一種基于分數階Rssler混沌系統的圖像加密算法，該算法主要依靠混沌系統的階數和參數來實現加密，該方法在很大程度上提高了密鑰空間.在文獻[12]中，作者提出了利用變形分數階Lorenz系統對原圖像進行濾波處理，然后利用安全Hash算法產生置亂和擴散的密鑰，將密鑰與明文圖像聯系起來優化了抵御選擇明文攻擊的能力.文獻[13]提出基于4維超混沌系統的彩色圖像加密算法，首先利用反向傳播神經網絡相結合產生隨機序列，對彩色圖像像素置亂和擴散實現加密.以上這些文獻都是基于分數階連續系統進行了圖像加密研究.

作為分數階系統的重要組成部分，分數階離散映射系統是21世紀初才逐漸被人們所重視的分數階系統，其形式簡單，動力學行為豐富.基于此，本文提出了一種基于分數階離散混沌系統的圖像加密算法.該算法首先利用偽隨機器產生隨機的二進制序列，將其與原彩色圖像關聯，生成各層隨機的系統初始值.在此基礎上，利用分數階離散混沌系統產生的混沌序列，將原彩色圖像像素點矩陣3層通道各自進行行列循環加密和擴散處理.最后，利用產生二進制隨機序列和混沌序列，隨機選取不同的矩陣組合方式進行矩陣變換，實現彩色圖像加密.該方法通過隨機的系統初值，增強了抵抗差分攻擊的能力且接近理想值，具有良好的安全性能.

1 系統描述

本文利用文獻[14]中提出了一個分數階不可逆離散系統，其形式如下

其中，0＜υ≤1表示系統的階數，系統的數值解可表示為

在下文，積分下限a設定為0.系統參數取b=2.2，c=0.95，當分數階數取υ=0.84，υ=0.95，υ=0.98時，系統（1）的混沌吸引子見附錄圖S1.當系統參數分別變化，分數階數υ=0.98時，系統（1）的分岔圖見附錄圖S2.

利用美國國家標準與技術研究院（National Institute of Standards and Technology，NIST）對映射（1）的產生的序列值進行隨機性測試，結果見表1.測試結果顯示，映射（1）生成的隨機數性能優異，適合用于密碼系統的隨機密鑰流生成.

2 算法設計

本文提出的彩色圖像加密算法為對稱加密體制，其解密過程是加密的逆過程，其中R（紅），G（綠），B（藍）通道的置亂擴散過程與各自的參數有關.首先，該算法通過使用偽隨機發生器產生隨機的二進制序列，并生成各層隨機的映射（1）迭代的初始值.其次，利用映射（1）產生的混沌序列，對原彩色圖像的像素點矩陣的3個通道進行循環加密、擴散加密以及矩陣變換，從而實現彩色圖像的加密.該算法加密流程見圖1.

2.1 密鑰生成與混沌系統初值

設原始圖像為彩色圖像，其大小為M×N.將該彩色圖像進行R，G，B分層，分別得到圖像P_R，圖像P_G，圖像P_B.

利用偽隨機發生器生成的256 bit的二進制序列Q，將二進制序列Q進行分組，每16位為一組，并將其轉換為十進制序列得到序列Q¹，將該十進制序列首尾相加.并將得到的序列分成兩行分別為記為Q²和Q³.

2.2 循環加密及擴散加密

將初值x_n，y_n（n=1，2，3）代入映射（1）迭代T_n+M+N次，其中T_n為預迭代值，由此產生各層的混沌序列o_n，s_n.

對各層分別進行循環加密，具體的算法步驟如下.

步驟1 利用下式分別計算得到用于行循環和列循環的混沌序列

步驟2 將像素點向右移動x^r_n步

步驟3 將像素點向上移動x^c_n步

步驟4 利用隨機產生的系統初值

在上述步驟中，將原始圖像進行分層，對每層圖像的像素點分別進行循環和擴散處理，以實現加密的效果.

2.3 矩陣變換

本小節主要闡述算法中的矩陣變換部分.首先從Q中隨機選取5個序列值求和得到δ.根據δ的不同大小，將彩色圖像的3層矩陣進行不同組合.利用混沌序列對矩陣進行變換，然后將其分割成3個矩陣.最后合并這3個矩陣，生成最終的加密矩陣F.

算法步驟如下.

步驟1 根據δ的不同大小，對零矩陣C，V₁，V₂矩陣進行賦值，其中C矩陣的大小為M×2N，V₁和V₂大小M×（N/2），V₁=P_B（：，1：N/2）表示P_B矩陣中1到N/2的所有數值.

若δ=0，C=[P_R，P_G]，V₁=P_B（：，1：N/2），V₂=P_B（：，N/2+1：N）;

若δ=1，C=[P_R，P_B]，V₁=P_G（：，1：N/2），V₂=P_G（：，N/2+1：N）;

若δ=2，C=[P_G，P_R]，V₁=P_B（：，1：N/2），V₂=P_B（：，N/2+1：N）;

若δ=3，C=[P_G，P_B]，V₁=P_R（：，1：N/2），V₂=P_R（：，N/2+1：N）;

若δ=4，C=[P_B，P_R]，V₁=P_G（：，1：N/2），V₂=P_G（：，N/2+1：N）;

若δ=5，C=[P_B，P_G]，V₁=P_R（：，1：N/2），V₂=P_R（：，N/2+1：N）.

步驟2 將初值x₄，y₄帶入映射（1）產生長度為M+N的混沌序列o₄和s₄.再將將混沌序列前M個值賦給x^r和y^r，將后N個值賦給x^c和y^c.對x^r，y^r，x^c，y^c進行索引和處理.其中，x^r，y^r用于矩陣行變換，x^c，y^c用于矩陣列變換.

步驟3 將后N/2個混沌序列值o₄的平均值κ作為判斷條件.

若o₄（i）≥κ，L=[V₁（：，i），C，V₂（：，i）]，若o₄（i）＜κ，L=[V₂（：，i），C，V₁（：，i）].將得到的L矩陣的第i行像素與x^r進行替代加密并向右移動y^r步.再將轉置后的L矩陣第j列像素與x^c進行替代加密并向上移動y^c步.得到變換后的矩陣L.

步驟4 將L矩陣進行分割，得到P^′_R，P^′_G，P^′_B矩陣，得到最終的加密矩陣F.

解密算法步驟是加密的算法步驟的逆過程.對密文圖像依次進行矩陣逆變換，逆向擴散，逆向循環移位即可得到解密后的圖像.

3 性能分析

3.1 數值仿真

本實驗中采用的彩色圖像Erna作為原始圖像，其來源于作者創作，為了豐富圖像內容，將4張圖片進行組合拼接為一張.為了進一步驗證該加密方法的正確性，從USC-SIPI圖像數據庫（https：//sipi.usc.edu/database/）中選擇了幾幅圖像進行圖像加密.為了減少隨機誤差的影響，提高實驗結果的可靠性和準確性，本文中對相鄰像素的相關性系數、像素變化率（number of pixels change rate，NPCR，R_n）和歸一化像素灰度值平均改變強度（unified average changing intensity，UACI，I_u）以及信息熵的計算均基于5 000次測試結果的平均值.

加密和解密結果見圖2.其中Erna圖像和Black圖像大小為256像素×256像素，Peppers圖像和Lena圖像大小為512像素×512像素.加密圖像類似于噪聲.

3.2 直方圖分析

直方圖反映了圖像最基本的統計特征.在圖3中顯示了本實驗中Erna原始圖像和加密圖像的分布直方圖.加密圖像的像素灰度值分布平坦且均勻.這表明所提出的加密方案能夠有效抵御常見的統計攻擊.與文獻[15]中加密圖像的直方圖對比，本文中所提出的方法像素灰度值分布具有同樣效果.

3.3 效率分析

在本節分析了該算法的效率，由于分數階微積分算子的全局特性，使得計算量較整數階系統稍大.尤其是在處理大尺寸圖像時，系統需要處理更多的像素點和數據量，進而增加了算法運行時間.將不同尺寸的Erna圖像作為測試圖像，并與基于整數階系統設計的文獻[16-19]的加密算法進行比較，其中文獻[16]是利用圖像分層置亂彩色圖像，文獻[17]是利用行列組合交叉循環移位置亂加密圖像，文獻[18]是利用圖像像素分割方案加密圖像，文獻[19]是利用自適應擴散策略得到加密圖像，得到的測試結果如表2所示.

3.4 相關性分析

由于原始圖像具有一定的相關性，降低圖像的相鄰像素之間的相關性才能抵抗攻擊.相鄰像素之間的相關性越小說明加密效果越好.相鄰相關系數值的大小直接表明像素間相鄰相關性的強弱.

為了比較原始圖像和加密圖像中相鄰像素的相關性，本文計算了這些像素在水平、垂直和對角方向上的相鄰像素的相關性系數.具體的計算結果見表3.根據表3的結果可以看出，本文算法產生的加密圖像的相關性系數明顯降低，表明本文提出的算法能夠有效地抵抗統計性分析.

3.5 差分攻擊分析

對于一種有效的加密方案，即使原始圖像存在微小的差異，也會導致加密圖像發生巨大的變化.在差分攻擊分析中，采用R_n和I_u

來分析抵御選擇明文攻擊的能力，其中，U₁和U₂是兩幅待比較的加密圖像.理想狀態下R_n≈99.609%，I_u≈33.463%.

先使用本文中的加密算法對原始圖像進行加密并生成加密圖像U₁，接著從原始圖像中隨機選取3 000個像素，將其灰度值加1，再對圖像進行加密，得到加密圖像U₂.最后通過比較U₁和U₂，計算它們的R_n和I_u，結果如表4所示.同時從原始圖像中隨機抽取100個像素，并將其像素灰度值隨機加1或減1，再對圖像進行加密，計算R_n和I_u，結果如表5所示.

由表4和表5可知，本文算法的加密結果與理論值接近，表現出了良好的抵抗差分攻擊的性能.

將3通道的全白和全黑圖像，按照本文的加密算法進行加密，得到加密結果和直方圖（附錄圖S3）.結果證明本文的加密算法能夠對全白和全黑圖像進行加密，說明該加密算法具有抵抗差分攻擊的能力.

3.6 信息熵分析

信息熵反映了圖像信息的不確定性，信息熵越大，不確定性就越大，可視信息就越少.信息熵

其中，l為圖像的灰度等級數，P（h）表示灰度值h出現的概率.在本文中，將彩色圖像進行分層后，對3層分量分別進行信息熵分析，得到的結果如表6所示.

由表6可知，加密圖像的各層信息熵均接近于理論值8，而原始圖像的各層信息熵與理論值有明顯差別，所以本文的加密算法具有良好的安全性.

4 結 語

本文提出了一種基于不可逆分數階離散映射的彩色圖像加密算法.該算法利用偽隨機器產生的二進制序列與原始圖像的各個層進行關聯，產生每層各自的系統初值，利用不可逆分數階離散映射對每層的圖像進行循環移位置亂和擴散加密.再利用產生的二進制序列和混沌序列，控制對R、G和B通道的加密矩陣進行矩陣變換，從而生成加密圖像.實驗結果和性能分析表明，該算法的R_n、I_u和加密圖像的信息熵分別約為99.609%、33.463%和8，具有良好的安全性和可靠性，能夠有效抵抗外部差分攻擊和熵攻擊.

附錄見電子版（DOI：10.16366/j.cnki.1000-2367.2023.10.09.0002）.

參 考 文 獻

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An image encryption algorithm based on a fractional-order discrete noninvertible map

Liu Xiaojun， Wang Pu， Lu Chenhao

（School of Sciences， Xi'an University of Posts and Telecommunications， Xi'an 710121， China）

Abstract： Based on the chaotic characteristics of fractional-order discrete maps， a color image encryption algorithm based on the fraction-order cyclic shift is proposed. Firstly， the random initial values are generated for each layer by a random binary sequence associated with the original color image using a pseudo-randomizer. Secondly， a fractional-order discrete map is used to generate the chaotic sequences， circular shift position chaotic encryption and diffusion operations are performed on the re， green and blue components of a color image， respectively. Finally， the encrypted image is obtained by matrix transformation of the encryption matrix for each layer based on the pseudo-random binary sequence and chaotic sequence control. Simulation results show that correlation coefficients for an image by the proposed method are approximately 0， and the average values of information entropy， number of pixels change rate and unified average changing intensity are 7.997 8， 99.609% and 33.442%， respectively. Therefore， the algorithm has a good reliability and an anti-attack capability. Meanwhile， the algorithm can enhance the security of images.

Keywords： fractional-order discrete map; image encryption; cyclic shift encryption; matrix transformation

[責任編校 楊浦 劉洋]