隨機時滯Schrdinger格點系統的周期測度

考慮具有時滯的隨機Schrdinger格點系統的周期測度.首先給出解的存在唯一性，然后得出解的一致估計以建立解的概率分布族的胎緊性.最后，當系統的時間相關項在時間上是周期性時，證明周期測度的存在性.

格點系統; 時滯; 周期測度; 隨機Schrdinger方程

O175.29

A

0830-11

06.013

本文研究了定義在整數集Z上的隨機時滯Schrdinger格點系統

dun（t）-i（un-1（t）-2un（t）+un+1（t））dt+λ（t）un（t）dt+i|un（t）|2un（t）dt=

（fn（t，un（t），un（t-ρ0（t）））+gn（t））dt+

ε∑∞k=1（hk，n（t）+σk，n（t，un（t），un（t-ρ0（t）））dWk（t），tgt;0，

（1）

初值條件

un（s）=ξn（s）， s∈[-ρ，0]，

（2）

其中，n∈Z，u=（un）n∈Z是一個未知的復值隨機序列，ξ=（ξn）n∈Z：[-ρ，0]→l2是連續的，0lt;ε≤1，0lt;ρ≤1是常數，i為虛數單位，λ：R→R是正且連續的，g=（gn）n∈Z和h=（hk，n）（k∈N，n∈Z）：R→l2是給定時間相關的復值連續函數，ρ0：R→（0，ρ]是一個連續的時滯函數，fn，σk，n：R×C×C→C是局部Lipschitz連續函數（k∈N，n∈Z），（Wk）k∈N是定義在完備濾子概率空間（Ω，F，{Ft}t∈R，P）上的獨立雙邊實值維納過程.此外，假設系統（1） 是一個時間周期系統; 更準確地說，存在Tgt;0使得（1）式與時間相關的函數λ、g、h、fn、ρ0和σk，n（k∈N，n∈Z）在時間上都是T周期的.

格點系統在物理、工程和生物學方面有許多應用，例如電路、神經脈沖的傳播和圖案形成等.在許多文獻中都發現了確定性格點系統的動力學[1-5].對于隨機格點系統，相關研究可以在文獻[6-11]中找到.在本文中，將研究隨機時滯Schrdinger格點系統的周期測度.

最近，時滯格點系統的解及其長期動力學行為已被廣泛研究，比如文獻[12-15]考慮了確定性情況，文獻[16-19]考慮隨機情況.注意到在所有這些文獻中，僅考慮了定義在Rn上的有限維隨機時滯方程.近幾年，關于時滯無窮維隨機方程的周期測度的研究較少.在本文中，將研究l2中無窮維隨機時滯Schrdinger格點系統（1）和（2）的周期測度，在這種情況下，與有限維情況不同的是，l2的有界子集不一定是預緊的.

本文的主要目標是確定C（[-ρ，0]，l2）中系統（1）和（2）的周期測度的存在性，為此必須證明解的概率分布族的胎緊性.證明無界區域上隨機PDE分布律的胎緊性的主要困難在于，在這種情況下，通常的Sobolev嵌入并不是緊的.本文研究的問題與在無界域Rn上定義的隨機PDE非常相似，可參考文獻[20-23].將通過一致尾端估計、二分法技巧和Arzel-Ascoli定理在C（[-ρ，0]，l2）中建立系統（1）和（2）解的概率分布族的胎緊性，正如文獻[24]一樣.將應用這些方法來處理隨機時滯Schrdinger格點系統.特別地，文獻[25]研究了Rn上隨機時滯Schrdinger格點系統不變測度的存在性.

本文在第1節中，給出該系統解的存在唯一性;在第2節中，證明解的一致估計，包括解的一致尾端估計的建立;在第3節中，得到該系統周期測度的存在性.

1 隨機時滯Schrdinger格點系統的適定性

本節研究了系統（1）和（2）解的存在唯一性.用l2表示所有C值的平方可加的序列構成的Hilbert空間，可定義為

l2={u=（un）n∈Z：un∈C，當n∈Z，∑n∈Z|un|2lt;∞}，

其中，‖·‖是l2的范數，l2的內積用（·，·）表示.首先給出（1）式中非線性漂移和擴散項的假設.

假設g，h：R→l2，g（t）=（gn（t））n∈Z和h（t）=（hk，n（t））（k∈N，n∈Z），（Wk）k∈N在t∈R中都是連續的，這表明對所有的t∈R，有

‖g（t）‖2=∑n∈Z|gn（t）|2lt;∞，‖h（t）‖2=∑k∈N∑n∈Z|hk，n（t）|2lt;∞.

（3）

假設fn：R×C×C→C，fn=fn（t，z，z*）關于n∈Z是一致局部Lipschitz連續的，即對C的任意緊子集C，存在常數LCgt;0，使得對所有的t∈R，z1，z2，z*1，z*2∈C和n∈Z，有

|fn（t，z1，z2）-fn（t，z*1，z*2）|≤LC（|z1-z*1|+|z2-z*2|）.

（4）

此外，假設fn（t，z，z*）在（z，z*）∈C×C中線性增長：對每個n∈Z，存在αngt;0使得

|fn（t，z，z*）|≤αn+η0（t）（|z|+|z*|），t∈R， z，z*∈C， n∈Z，

（5）

其中（αn）n∈Z∈l2和η0：R→R是正連續函數.

對于（1）式中的擴散項，假設σk，n：R×C×C→C，σk，n=σ（t，z，z*）關于n∈Z是一致局部Lipschitz連續的;更準確地說，對每個k∈N，以及C的任何緊子集K，存在常數Lk，n，Kgt;0，使得對所有的t∈R，z1，z2，z*1，z*2∈K和n∈Z，有

|σk，n（t，z1，z*1）-σk，n（t，z2，z*2）|≤Lk，n，K（|z1-z2|+|z*1-z*2|），

（6）

其中LK=（Lk，n，K）k∈N，n∈Z∈l2.此外，假設σk，n（t，z，z*）在（z，z*）∈C×C中線性增長;也就是說，對每個k∈N和n∈Z，存在δk，ngt;0使得

|σk，n（t，z，z*）|≤δk，n+ηk（t）（|z|+|z*|），t∈R， z，z*∈C， k∈N， n∈Z，

（7）

其中（δk，n）k∈N，n∈Z∈l2和（ηk（·））k∈N：R→l2是正連續函數.

將研究系統（1）和（2）的周期測度，假設所有給定與時間相關的函數在t∈R中是T周期的，對某些Tgt;0;也就是說，對所有的t∈R，n∈Z和k∈N，有

λ（t+T）=λ（t）， g（t+T）=g（t），h（t+T）=h（t），

ρ0（t+T）=ρ0（t）， η0（t+T）=η0（t），ηk（t+T）=ηk（t），

fn（t+T，·，·）=fn（t，·，·），σk，n（t+T，·，·）=σk，n（t，·，·）.

如果y：R→R是一個連續的T周期函數，可記=min0≤t≤Ty（t）和y=max0≤t≤Ty（t）.

本文將使用以下符號：

α=（αn）n∈Z， LK=（Lk，n，K）k∈N，n∈Z，η（t）=（ηk（t））k∈N， δ=（δk，n）k∈N，n∈Z，

‖α‖2=∑n∈Z|αn|2，‖LK‖2=∑k∈N∑n∈Z|Lk，n，K|2，‖η（t）‖2=∑k∈N|ηk（t）|2，‖δ‖2=∑k∈N∑n∈Z|δk，n|2.

此外，對于u=（un）n∈Z∈l2和v=（vn）n∈Z∈l2，記f（t，u，v）=（fn（t，un，vn））n∈Z，并且σk（t，u，v）=（σk，n（t，un，vn））n∈Z.對所有的t∈R和u1，u2，v1，v2∈l2，它滿足（4）和（5）式，有

‖f（t，u1，v1）-f（t，u2，v2）‖2≤2LC2（‖u1-u2‖2+‖v1-v2‖2），

（8）

‖f（t，u1，v1）‖2≤2‖α‖2+4η02（t）（‖u1‖2+‖v1‖2）.

（9）

類似地，通過（6）和（7）式可知，對所有的t∈R和u1，u2，v1，v2∈l2，有

∑k∈N‖σk（t，u1，v1）‖2≤2‖δ‖2+4‖η（t）‖2（‖u1‖2+‖v1‖2），

（10）

∑k∈N‖σk（t，u1，v1）-σk（t，u2，v2）‖2≤2‖LK‖2（‖u1-u2‖2‖+‖v1-v2‖2）.

（11）

為了簡便起見，定義線性算子A，B：l2→l2如下：

（Au）n=-un-1+2un-un+1，

（Bu）n=un+1-un，n∈Z， u=（un）n∈Z∈l2，

則有

（Au，v）=（Bu，Bv），

（Au，u）=‖Bu‖2≥0， u，v∈l2.

那么，當tgt;0時，系統（1）和（2）在l2中可以改寫成如下形式：

du（t）+iAu（t）dt+λ（t）u（t）dt+i|u（t）|2u（t）dt=（f（t，u（t），u（t-ρ0（t）））+g（t））dt+

ε∑∞k=1（hk（t）+σk（t，u（t），u（t-ρ0（t））））dWk（t），

（12）

初值條件

u（s）=ξ（s）， s∈[-ρ，0]，

（13）

其中hk（t）=（hk，n（t））n∈Z∈l2，對每個k∈N.

假設t≥0，用ut來表示u的截斷

ut（s）=u（t+s）， s∈[-ρ，0].

設C（[-ρ，0]，l2）是[-ρ，0]上具有一致范數‖ψ‖ρ=sup-ρ≤s≤0‖ψ（s）‖的所有l2值連續函數ψ的空間.還用CF0（[-ρ，0]，l2）表示所有F0-可測，C（[-ρ，0]，l2）-值隨機變量φ構成的空間，E‖φ‖2ρlt;∞，其中E是隨機變量的期望值.

定義 1.1

假設ξ∈CF0（[-ρ，0]，l2）.一個連續的l2-值的過程u（t），t∈[-ρ，+∞），被稱為系統（12）和（13）的解，如果對所有的t*gt;-ρ，有u∈L2（Ω，C（[-ρ，t*]，l2）），（ut）t≥0是Ft-適應的，u0=ξ，并且對每個t≥0，下式對所有的ω∈Ω在l2中概率P幾乎必然成立：

du（t）+∫t0iAu（s）ds+∫t0λ（s）u（s）ds+∫t0i|u（s）|2u（s）ds=

ξ（0）+∫t0（f（s，u（s），u（s-ρ0（s）））+g（s））ds+

ε∑∞k=1∫t0（hk（s）+σk（s，u（s），u（s-ρ0（s））））dWk（s）.

（14）

類似于Rn中隨機時滯方程[26]，在條件（3）～（7）下，可以證明對任意的ξ∈CF0（[-ρ，0]，l2），系統（12）和（13）具有定義1.1意義下的唯一解，記為u（t，0，ξ）.

2 一致估計

在本節中，得到（12）和（13）解的一致估計.這些估計將用于確定ut在C（[-ρ，0]，l2）中的概率分布族的胎緊性.

為了方便起見，假設對所有的t∈R，有

Γ（t）=2λ（t）-10·334η0（t）-72‖η（t）‖2，γ（t）=8·334η0（t）+24‖η（t）‖2，

（t）=32λ（t）-42η0（t）-8‖η（t）‖2，（t）=2η0（t）+‖η（t）‖2.（15）

進一步假設

Γ（t）≥0， t∈R，

∫T0（Γ（s）-γ（s）e∫ss-1Γ（s）dr）dsgt;0，∫T0（（s）-（s）e∫ss-1（s）drds）gt;0.

（16）

注意到（15）式，對所有的t∈R，有（t）≥0.當η0和η足夠小時，兩個條件（15）和（16）都滿足.

下面給出一個重要的不等式，后面在證明解的一致估計中會用到.

引理 2.1

假設τ∈（0，1]和t0∈R，且v∈C（[t0-τ），∞），R+）是時滯不等式的解

D+v（t）≤-（t）v（t）+ （t）v（t-τ0（t））+， tgt;t0，

v（t0+s）≤（s）， s∈[-τ，0]，

（17）

其中D+v（t）是v在t處的右上Dini導數，對t∈R，≥0，∈C（[-τ，0]，R+），

τ0∈C（[t0，∞），（0，τ]），（t）和（t）是非負且連續的T周期函數.假設函數χ（t）=（t）-（t）e∫tt-τ（r）dr在[0，T]上的平均值為正，則有

λ=1T∫T0χ（t）dtgt;0.

（18）

那么存在正常數K和G僅取決于（‖‖C（[0，T]，R+），‖‖C（[0，T]，R+），T，λ），對t≥t0，有

v（t）≤K（0）e-λ（t-t0）+G（+‖‖C（[0，T]，R+）‖‖C（[-τ，0]，R+））.

引理 2.2

假設（3）～（7）式及（15）和（16）式成立.如果ξ∈C（[-ρ，0]，l2），則存在γ1gt;0使得對0lt;ε≤1，0lt;ρ≤1和t≥0，（12）和（13）式的解u滿足

E（‖u（t）‖4）≤H1‖ξ（0）‖4e-γ1t+H1（1+‖ξ‖4ρ），

其中H1是不依賴于ξ、ρ和ε的正常數.

證明

通過（12）式和Ito公式，對所有的t≥0，有

‖u（t）‖2+2∫t0

λ（s）‖u（s）‖2ds=

‖ξ（0）‖2+2Re∫t0（f（s，u（s），u（s-ρ0（s））），u（s））ds+

2Re∫t0（g（s），u（s））ds+

ε2∑∞k=1∫t0‖hk（s）+σk（s，u（s），u（s-ρ0（s）））‖2ds+

2Reε∑∞k=1∫t0（u（s），hk（s）+σk（s，u（s），u（s-ρ0（s））））dWk（s），

（19）

其中Re代表復數的實部.

定義停時τm=inf{t≥0：‖u（t）‖gt;m}， m∈N，如果{t≥0：‖u（t）‖gt;m}=，此時τm=+∞.然后由于解的連續性，有

limm→∞ τm=+∞.

因此，如果mgt;‖ξ（0）‖，則τmgt;0.

令μlt;0為一待定常數，由（19）式和Ito公式，對t≥0，可得

E（eμ（t∧τm）‖u（t∧τm）‖4）+4E（∫t∧τm0eμsλ（s）×‖u（s）‖4ds）-μE（∫t∧τm0eμs‖u（s）‖4ds）≤

‖ξ（0）‖4+4E（∫t∧τm0eμs‖u（s）‖3‖f（s，u（s），u（s-ρ0（s）））‖ds）+4E（∫t∧τm0eμs‖u（s）‖3×‖g（s）‖ds）+

2ε2∑∞k=1E（∫t∧τm0eμs‖u（s）‖2‖hk（s）+σk（s，u（s），u（s-ρ0（s）））‖2ds）+

4ε2∑∞k=1E（∫t∧τm0eμs|（u（s），hk（s）+σk（s，u（s），u（s-ρ0（s））））|2ds），

（20）

對（20）式右邊的第二項，由（9）式和Young不等式，有

4E（∫t∧τm0eμs‖u（s）‖3‖f（s，u（s），u（s-ρ0（s）））‖ds）≤

2·334E（∫t∧τm0eμsη0（s）‖u（s）‖4ds）+278·394E（∫t∧τm0eμsη-30（s）‖f（s，u（s），u（s-ρ0（s）））‖4ds）≤

2·334E（∫t∧τm0eμsη0（s）‖u（s）‖4ds）+8·334E（∫t∧τm0eμsη0（s）‖u（s）‖4ds）+

8·334E（∫t∧τm0eμsη0（s）‖u（s-ρ0（s））‖4ds）+334E（∫t∧τm0eμsη-30（s）‖α‖4ds）≤

10·334E（∫t∧τm0eμsη0（s）‖u（s）‖4ds）+8·334E（∫t∧τm0eμsη0（s）‖u（s-ρ0（s））‖4ds）+

334E（∫t∧τm0eμsη-30（s）‖α‖4ds）.

（21）

對于（20）式右邊的第三項，利用Young不等式，得到

4E（∫t∧τm0eμs‖u（s）‖3‖g（s）‖ds）≤E（∫t∧τm0eμsλ（s）‖u（s）‖4ds）+27E（∫t∧τm0eμsλ-3（s）‖g（s）‖4ds）.

（22）

對于（20）式右邊的最后兩項，通過（10）式得到

2ε2∑∞k=1E（∫t∧τm0eμs‖u（s）‖2‖hk（s）+σk（s，u（s），u（s-ρ0（s）））‖2ds）+

4ε2∑∞k=1E（∫t∧τm0eμs|（u（s），hk（s）+σk（s，u（s），u（s-ρ0（s））））|2ds）≤

6∑∞k=1E（∫t∧τm0eμs‖u（s）‖2‖hk（s）+σk（s，u（s），u（s-ρ0（s）））‖2ds）≤

E（∫t∧τm0eμs‖u（s）‖2（12∑∞k=1‖hk（s）‖2+24‖δ‖2）ds）+48E（∫t∧τm0eμs‖η（s）‖2×‖u（s）‖4ds）+

48E（∫t∧τm0eμs‖η（s）‖2‖u（s）‖2×‖u（s-ρ0（s））‖2ds）≤

E（∫t∧τm0eμsλ（s）‖u（s）‖4ds）+36E（∫t∧τm0eμsλ-1（s）（∑∞k=1‖hk（s）‖2+2‖δ‖2）2ds）+

48E（∫t∧τm0eμs‖η（s）‖2‖u（s）‖4ds）+24E（∫t∧τm0eμs‖η（s）‖2‖u（s）‖4ds）+

24E（∫t∧τm0eμs‖η（s）‖2‖u（s-ρ0（s））‖4ds）≤

E（∫t∧τm0eμs（λ（s）+72‖η（s）‖2）‖u（s）‖4ds）+24E（∫t∧τm0eμs‖η（s）‖2‖u（s-ρ0（s））‖4ds）+

36E（∫t∧τm0eμsλ-1（s）（∑∞k=1‖hk（s）‖2+2‖δ‖2）2ds）.

（23）

從（20）～（23）式和μlt;0，有

E（eμ（t∧τm）‖u（t∧τm）‖4）≤‖ξ（0）‖4-E（∫t∧τm0eμs（2λ（s）-10·334η0（s）-72‖η（s）‖2）‖u（s）‖4ds）+

E（∫t∧τm0eμs（8·334η0（s）+24‖η（s）‖2）×‖u（s-ρ0（s））‖4ds）+

334E（∫t∧τm0eμsη-30（s）‖α‖4ds）+27E（∫t∧τm0eμsλ-3（s）‖g（s）‖4ds）+

36E（∫t∧τm0eμsλ-1（s）（∑∞k=1‖hk（s）‖2+2‖δ‖2）2ds）.

（24）

由（24）式和limm→∞τm=+∞可知，對所有的t≥0，有

E（eμt‖u（t）‖4）≤‖ξ（0）‖4-E（∫t0eμs（2λ（s）-10·334η0（s）-72‖η（s）‖2）‖u（s）‖4ds）+

E（∫t0eμs（8·334η0（s）+24‖η（s）‖2）×‖u（s-ρ0（s））‖4ds）+

334E（∫t0eμsη-30（s）‖α‖4ds）+27E（∫t0eμsλ-3（s）‖g（s）‖4ds）+

36E（∫t0eμsλ-1（s）（∑∞k=1‖hk（s）‖2+2‖δ‖2）2ds）.

（25）

因此，對所有的t≥0和Δtgt;0，有

E（‖u（t+Δt）‖4）-E（‖u（t）‖4）≤

-E（∫t+Δtt（2λ（s）-10·334η0（s）-72‖η（s）‖2）‖u（s）‖4ds）+

E（∫t+Δtt（8·334η0（s）+24‖η（s）‖2）×‖u（s-ρ0（s））‖4ds）+

334E（∫t+Δttη-30（s）‖α‖4ds）+27E（∫t+Δttλ-3（s）‖g（s）‖4ds）+

36E（∫t+Δttλ-1（s）（∑∞k=1‖hk（s）‖2+2‖δ‖2）2ds）.

（26）

計算E（‖u（t）‖4）在Δt處的右上Dini導數.由（26）式可知，對t≥0，可得

D+E（‖u（t）‖4）=lim supΔt→0E（‖u（t+Δt）‖4）-E（‖u（t）‖4）Δt≤

-Γ（t）E（‖u（t）‖4）+γ（t）E（‖u（t-ρ0（t））‖4）+334η-30（t）‖α‖4+

27λ-3（t）‖g（t）‖4+36λ-1（t）×（∑∞k=1‖hk（t）‖2+2‖δ‖2）2≤

-Γ（t）E（‖u（t）‖4）+γ（t）×E（‖u（t-ρ0（t））‖4）+334η0-3‖α‖4+

27λ-3‖g‖4C（[0，T]，l2）+36λ-1（‖h‖2C（[0，T]，l2）+2‖δ‖2）2.

（27）

最后，通過（15）和（16）式及引理2.1，存在γ1gt;0使得對所有的t≥0，有

E（‖u（t）‖4）≤K1‖ξ（0）‖4e-γ1（t）+G1（1+‖ξ‖4ρ），

其中K1和G1是不依賴于ξ、ρ和ε的正常數.證畢.

以下引理是引理2.2的直接推論.

引理 2.3

假設（3）～（7）式及（15）和（16）式成立.若ξ∈C（[-ρ，0]，l2），則對0lt;ε≤1，0lt;ρ≤1以及tgt;r≥0，有

E（‖u（t）-u（r）‖4）≤H2（1+‖ξ‖4ρ）（|t-r|2+|t-r|4），

其中H2是一個不依賴于ξ、ε、ρ、t和r的正常數.

現在推導出（12）和（13）式解的一致尾端估計.

引理 2.4

假設（12）和（13）式及（15）和（16）式成立.如果ξ∈C（[-ρ，0]，l2），則對0lt;ε≤1，0lt;ρ≤1和C（[-ρ，0]，l2）中的每個緊子集E1，有

lim supn→∞supξ∈E1supt≥-ρ∑|n|≥RE（|un（t，ξ）|2）=0.

證明

選取一個光滑函數θ：R→[0，1]如下：

θ（s）=0， |s|≤1，

1， |s|≥2，

注意到θ′在R上是有界的，即存在一個常數C0，使得|θ′（s）|≤C0，其中s∈R.

給定R∈N，對u=（un）n∈Z，記θR=（θ（nR））n∈Z， θRu=（θ（nR）un）n∈Z，

由（12）式有

d（θRu（t））+iθRAu（t）dt+λ（t）θRu（t）dt+dθR|u（t）|2u（t）dt=（θRf（t，u（t），u（t-ρ0（t）））+θRg（t））dt+

ε∑∞k=1（θRhk（t）+θRσk（t，u（t），u（t-ρ0（t））））dWk（t）.

（28）

由（28）式和Ito公式可知，對所有的t≥0，有

d（‖θRu（t）‖2）+2Re（iAu（t），θ2Ru（t））dt+2λ（t）‖θRu（t）‖2dt+2Re（i|u（t）|2u（t），θ2Ru（t））dt=

2Re（θRf（t，u（t），u（t-ρ0（t））），θRu（t））dt+2Re（θRg（t），θRu（t））dt+

ε2∑∞k=1‖θRhk（t）+θRσk（t，u（t），u（t-ρ0（t）））‖2dt+

2Reε∑∞k=1（θRu（t），θRhk（t）+θRσk（t，u（t），u（t-ρ0（t））））dWk（t）.

（29）

取（29）式的期望，對所有的t≥0，得到

E（‖θRu（t）‖2）≤‖θRξ（0）‖2+2∫t0E（|（Bu（s），B（θ2Ru（s）））|）ds-2∫t0λ（s）E（‖θRu（s）‖2）ds+

2∫t0E（‖θRu（s）‖‖θRf（s，u（s），u（s-ρ0（s）））‖）ds+2∫t0E（‖θRg（s）‖‖θRu（s）‖）ds+

ε2∑∞k=1∫t0E（‖θRhk（s）+θRσk（s，u（s），u（s-ρ0（s）））‖2）ds，

（30）

這意味著對t≥0和Δtgt;0，有

E（‖θRu（t+Δt）‖2）-E（‖θRu（t）‖2）≤2∫t+ΔttE（|（Bu（s），B（θ2Ru（s）））|）ds-2∫t+Δttλ（s）E（‖θRu（s）‖2）ds+

2∫t+ΔttE（‖θRu（s）‖‖θRf（s，u（s），u（s-ρ0（s）））‖）ds+2∫t+ΔttE（‖θRu（s）‖‖θRg（s）‖）ds+

ε2∑∞k=1∫t+ΔttE（‖θRhk（s）+θRσk（s，u（s），u（s-ρ0（s）））‖2）ds.

（31）

接下來證明（31）右邊的所有項.注意到ξ∈E1，E1在C（[-ρ，0]，l2）中是緊的.因此，對每個δgt;0，存在N1=N1（δ，E1）使得對所有的R≥N1和ξ∈E1，都有

∑|n|≥RE（|ξn（0）|2）≤δ.

（32）

由（32）式，對所有的R≥N1和ξ∈E1，有

E（‖θRξ（0）‖2）=∑n∈ZE（|θ（nR）ξn（0）|2）=

∑|n|≥RE（|θ（nR）ξn（0）|2）≤

∑|n|≥RE（|ξn（0）|2）≤

δ.

（33）

對于（33）式右邊的第一項，有

2∫t+ΔttE（|（Bu（s），B（θ2Ru（s）））|）ds=

2∫t+ΔttE（|∑n∈Z（un+1-un）（θ2（n+1R）un+1-θ2（nR）un）|）ds≤

4∫t+ΔttE（∑n∈Z|θ2（n+1R）|（|un+1|2+|un|2））ds+

4∫t+ΔttE（∑n∈Z|θ（n+1R）-θ（nR）‖un+1-un‖un|）ds≤

4∫t+ΔttE（∑n∈Z（|un+1|2+|un|2））ds+2C1R∫t+ΔttE（∑n∈Z（|un+1|2+|un|2））ds=

C2R∫t+ΔttE（‖u（s）‖2）ds，

（34）

其中C2gt;0僅取決于θ.通過（34）式和引理2.2，對所有的t≥0，有

2∫t+ΔttE（|（Bu（s），B（θ2Ru（s）））|）ds≤C3R（1+‖ξ‖2ρ）Δt，

（35）

其中C3gt;0與ξ，R，ε和ρ無關.對于任何δgt;0，存在N2=N2（δ，E1）gt;0使得對所有的ξ∈E1，R≥N2，

2∫t+ΔttE（|（Bu（s），B（θ2Ru（s）））|）ds≤δ（1+‖ξ‖2ρ）Δt.

（36）

對于（31）式右邊的第三項，通過（9）式，可得

2∫t+ΔttE（‖θRu（s）‖‖θRf（s，u（s），u（s-ρ0（s）））‖）ds≤

32∫t+Δttη0（s）E（‖θRu（s）‖2）ds+26

∫t+Δttη-10（s）E（‖θRf（s，u（s），u（s-ρ0（s）））‖2）ds≤

42∫t+Δttη0（s）E（‖θRu（s）‖2）ds+2∫t+Δttη0（s）E（‖θRu（s-ρ0（s））‖2）ds+

23η-10（t）Δt∑|n|≥Rα2n.

（37）

另一方面，根據Young不等式，有

2∫t+ΔttE（‖θRu（s）‖‖θRg（s）‖）ds

≤12∫t+Δttλ（s）E（‖θRu（s）‖2）ds+2λ-1（t）Δt∑|n|≥Rg2n（t）.

（38）

對于（31）式右邊的最后一項，由（7）式得到

ε2∑∞k=1∫t+ΔttE（‖θRhk（s）+θRσk（s，u（s），u（s-ρ0（s）））‖2）ds≤

4Δt∑|n|≥R∑∞k=1（h2k，n（t）+δ2k，n）+8∫t+Δtt‖η（s）‖2E（‖θRu（s）‖2）ds+

8∫t+Δtt‖η（s）‖2E（‖θRu（s-ρ0（s））‖2）ds.

（39）

由于α=（αn）n∈N， g=（gn）n∈N，h=（hk，n）k∈N，n∈Z， δ=（δk，n）k∈N，n∈Z∈l2，存在N3=N3（δ，E1）使得對所有的ξ∈E1，R≥N3，有

∑|n|≥Rα2n+∑|n|≥Rg2n+∑|n|≥R∑∞k=1（h2k，n+δ2k，n）lt;δ.

（40）

由（31）～（40）式可知，對所有的ξ∈E1，tgt;0和R≥N3，有

E（‖θRu（t+Δt）‖2）-E（‖θRu（t）‖2）≤

-∫t+Δtt（32λ（s）-42η0（s）-8‖η（s）‖2）E（‖θRu（s）‖2）ds+

∫t+Δtt（2η0（s）+8‖η（s）‖2）E（θRu（s-ρ0（s））‖2）ds+

δΔt（5+‖ξ‖2ρ+23η0+2λ）.

（41）

因此，對所有的tgt;0和R≥N3，可得

D+E（‖θRu（t）‖2）≤-（t）E（‖θRu（t）‖2）+

（t）E（‖θRu（t-ρ0（t））‖2）+δ（5+‖ξ‖2ρ+23η0+2λ）.

（42）

通過（15）和（16）式和引理2.1，從（42）式可知，存在γ2gt;0，使得對所有的ξ∈E1，t≥0和R≥N3，有

E（‖θRu（t）‖2）≤C4[E（‖θRξ（0）‖2）]e-γ2t+C5δ（5+‖ξ‖2ρ+23η0+2λ）+C6‖θRξ‖2ρ，

（43）

其中C4＼，C5和C6是不依賴于ε＼，ρ＼，δ和ξ的正數.

由于[-ρ，0]是緊的，知道ξ的取值范圍，{ξ（s）∈l2：s∈[-ρ，0]}是l2的緊子集.因此，給定δgt;0，存在s1，s2…，sm∈[-ρ，0]使得

{ξ（s）∈l2：s∈[-ρ，0]}∪mj=1B（ξ（sj），14δ），

（44）

其中B（ξ（sj），14δ）是在l2中以ξ（sj）為中心，半徑為14δ的一個開球.注意到，存在N4=N4（δ，E1）gt;N3使得對所有的R≥N4且j=1，2，…，m，可得

∑|n|≥R|ξn（sj）|2≤116δ.

（45）

從（44）和（45）式可知，對所有的ξ∈E1，R≥N4和s∈[-ρ，0]，有

∑|n|≥R|ξn（s）|2≤δ.

（46）

由（43）和（46）式，對所有的ξ∈E1，t≥0和R≥N4，

E（‖θRu（t）‖2）≤C4δe-γ2t+C5δ（5+‖ξ‖2ρ+23η0+2λ）+C6δ.

這樣就完成了引理2.4的證明.

引理2.4中得到的收斂性可以改進為如下引理.

引理 2.5

假設（3）～（7）式及（15）和（16）式成立，如果ξ∈C（[-ρ，0]，l2），則對0lt;ε≤1，0lt;ρ≤1和每個C（[-ρ，0]，l2）中的緊子集E1，有

lim supn→∞supξ∈E1supt≥ρ E（supt-ρ≤r≤t∑|n|≥R|un（r，ξ）|2）=0.

證明

由于E1是C（[-ρ，0]，l2）中的緊集，再結合關于對（46）式的討論，可以得到，對每個δgt;0，存在N=N（δ，E1）≥1，使得對所有的ξ∈E1，R≥N，有

sup-ρ≤r≤0∑|n|≥R|un（r，ξ）|2=sup-ρ≤r≤0∑|n|≥R|un（r）|2≤δ.

結合上式和引理2.4，就完成了對引理2.5的證明.

3 周期測度的存在性

在本節中，證明了C（[-ρ，0]，l2）中（12）和（13）式周期測度的存在性.如前文所述，對任意t0≥0和Ft0-可測的ξ∈L2（Ω，C（[-ρ，0]，l2）），系統（12）和（13）對t∈[t0-ρ，∞]有唯一的解u（t，t0，ξ）.u（t，t0，ξ）的截斷可定義為

ut（t0，ξ）（s）=u（s+t，t0，ξ）， s∈[-ρ，0].

給定一個有界Borel函數：C（[-ρ，0]，l2）→R，對0≤r≤t，記

（pr，t）（ξ）=E（（ut（r，ξ））），

p（r，ξ;t，Γ）=（pr，t1Γ）（ξ）=P{w∈Ω：ut（r，ξ）∈Γ}，

其中ξ∈C（[-ρ，0]，l2），Γ∈B（C（[-ρ，0]，l2）），1Γ是Γ的特征函數.根據定義，C（[-ρ，0]，l2）上的概率測度v是周期的，且周期Tgt;0，如果

∫C（[-ρ，0]，l2）（p0，t+T）（ξ）dv（ξ）=∫C（[-ρ，0]，l2）（p0，t）（ξ）dv（ξ）， t≥0.

轉移算子{pr，t}0≤r≤t具有以下性質.

引理 3.1

假設（3）～（7）式及（15）和（16）式成立，那么有：

（i） {pr，t}0≤r≤t是Feller性的：也就是說，對每個有界且連續的：C（[-ρ，0]，l2）→R，函數pr，t：C（[-ρ，0]，l2）→R對所有的0≤r≤t，也是有界且連續的;

（ii） {pr，t}0≤r≤t是T周期的;也就是說，對所有的0≤r≤t，有

p（r，ξ;t，·）=p（r+T，ξ;t+T，·），ξ∈C（[-ρ，0]，l2）;

（iii） 對所有的r≥0且ξ∈C（[-ρ，0]，l2），{ut（r，ξ）}t≥r是一個C（[-ρ，0]，l2）-值的Markov過程.

證明

（i）和（iii）的性質是標準的，所以證明省略.僅僅證明（ii）.

通過（14）式已知，對于所有的t≥r≥0和ξ∈C（[-ρ，0]，l2），有

u（t，r，ξ）+∫triAu（s，r，ξ）ds+∫trλ（s）u（s，r，ξ）ds+∫tri|u（s，r，ξ）|2u（s，r，ξ）ds=

ξ（0）+∫tr（f（s，u（s，r，ξ），u（s-ρ0（s），r，ξ））+g（s））ds+

ε∑∞k=1∫tr（hk（s）+σk（s，u（s，r，ξ），u（s-ρ0（s），r，ξ）））dWk（s）.

（47）

同時

u（t+T，r+T，ξ）+∫t+Tr+TiAu（s，r+T，ξ）ds+∫t+Tr+Tλ（s）u（s，r+T，ξ）ds+

∫t+Tr+Ti|u（s，r+T，ξ）|2u（s，r+T，ξ）ds=

ξ（0）+∫t+Tr+T（f（s，u（s，r+T，ξ），u（s-ρ0（s），r+T，ξ））+g（s））ds+

ε∑∞k=1∫t+Tr+T（hk（s）+σk（s，u（s，r+T，ξ），u（s-ρ0（s），r+T，ξ）））dWk（s），

這意味著

u（t+T，r+T，ξ）+∫triAu（s+T，r+T，ξ）ds+∫trλ（s）u（s+T，r+T，ξ）ds+

∫tri|u（s+T，r+T，ξ）|2u（s+T，r+T，ξ）ds=ξ（0）+∫tr（f（s+T，u（s+T，r+T，ξ），u（s+T-ρ0（s+T），r+T，ξ））+g（s+T））ds+

ε∑∞k=1∫tr（hk（s+T）+σk（s+T，u（s+T，r+T，ξ），u（s+T-ρ0（s+T），r+T，ξ）））dk（s）=

ξ（0）+∫tr（f（s，u（s+T，r+T，ξ），u（s+T-ρ0（s），r+T，ξ））+g（s））ds+

ε∑∞k=1∫tr（hk（s）+σk（s，u（s+T，r+T，ξ），u（s+T-ρ0（s），r+T，ξ）））dk（s），

（48）

其中k（s）=Wk（s+T）-Wk（T）， k∈N也是布朗運動.基于（47）和（48）式，通過文獻[27]中定理1.1的論證，可以證明ut+T（·，r+T，ξ）和ut（·，r，ξ）具有相同的分布律.因此，對任何D∈B（C（[-ρ，0]，l2）），有

P{ut+T（r+T，ξ）∈D}=P{ut（r，ξ）∈D}，

即

p（r+T，ξ;t+T，D）=p（r，ξ;t，D），

證畢.

引理 3.2

假設（3）～（7）式及（15）和（16）式成立，那么過程{ut（0，0）}t≥0的分布律在C（[-ρ，0]，l2）上是胎緊的.

證明

通過引理2.2、2.3、2.5和Arzel-Ascoli定理，可以得到{ut（0，0）}t≥0在C（[-ρ，0]，l2）上分布族的胎緊性.它的證明類似于文獻[16]中的引理4.2，此處省略詳細證明過程.

定理 3.3

假設（3）～（7）式及（15）和（16）式成立，那么系統（13）和（14）在C（[-ρ，0]，l2）上有一個T-周期測度.

證明

采用Krylov-Bogolyubov方法，對每個n∈N，定義一個概率測度

μn=1n∑nk=1p（0，0;kT，·）.

（49）

通過引理3.2，知道序列{μn}∞n=1在C（[-ρ，0]，l2）上是緊的，因此在C（[-ρ，0]，l2）上存在一個概率測度μ，使得存在一個子序列，

μn→μ， n→∞.

（50）

由（49）和（50）式和引理3.1，對每個t≥0和有界連續函數：C（[-ρ，0]，l2）→R，得到

∫C（[-ρ，0]，l2）（p0，t）（ξ）dμ（ξ）=∫C（[-ρ，0]，l2）（∫C（[-ρ，0]，l2）（y）p（0，ξ;t，dy））dμ（ξ）=

limn→∞1n∑nk=1∫C（[-ρ，0]，l2）（∫C（[-ρ，0]，l2）（y）×p（0，ξ;t，dy））p（0，0;kT，dξ）=

limn→∞1n∑nk=1∫C（[-ρ，0]，l2）（∫C（[-ρ，0]，l2）（y）×p（kT，ξ;t+kT，dy））p（0，0;kT，dξ）=

limn→∞1n∑nk=1∫C（[-ρ，0]，l2）（y）p（0，0;t+kT，dy）=

limn→∞1n∑nk=1∫C（[-ρ，0]，l2）（y）p（0，0;t+kT+T，dy）=

limn→∞1n∑nk=1∫C（[-ρ，0]，l2）（∫C（[-ρ，0]，l2）（y）×p（0，ξ;t+T，dy））p（0，0;kT，dξ）=

∫C（[-ρ，0]，l2）（∫C（[-ρ，0]，l2）（y）×p（0，ξ;t+T，dy））dμ（ξ）=

∫C（[-ρ，0]，l2）（p0，t+T）（ξ）dμ（ξ），

這表明μ是（12）和（13）式的周期測度，證明完成.

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Periodic Measures of Delayed Stochastic Schrdinger Lattice Systems

ZOU Yanyan， REN Die， LIU Aili， SHU Ji

（1. School of Mathematical Sciences， Sichuan Normal University， Chengdu 610068， Sichuan;2. V.C.amp; V.R. Key Lab.， Sichuan Normal University， Chengdu 610068， Sichuan）

In this paper， we consider periodic measures of stochastic Schrdinger lattice systems with time delay. We first give the existence and uniqueness of solutions and then derive the uniform estimates of solutions in order to establish the tightness of a set of probability distributions of the solutions. We finally prove the existence of periodic measures when the time-dependent terms of the system are periodic in time.

lattice system; delay; periodic measure; stochastic Schrdinger equation

2020 MSC：37L25; 60H15（編輯 陶志寧）