輪軌沖擊振動系統非線性動力學特性分析

摘要：當車輛通過軌道的局部不平順時，輪軌間將產生大小突變且具有隨機性的作用力，使車輛垂向系統的動態響應發生較大變化，這會影響車輛與軌道部件的疲勞壽命、影響車輛行駛的平穩性，還會導致車輛振動加劇。為分析當輪軌間發生沖擊振動時車輛垂向減振系統的動態特性，通過建立一種垂向輪軌沖擊振動系統物理數學模型，將動力學方程處理為無量綱形式，利用定步長四階R-K數值方法求解該沖擊振動系統響應，并將輪軌垂向沖擊位置作為系統的Poincaré映射界面，結合分岔圖、相圖、時域響應對該系統在不同的無量綱激振頻率下的分岔形式進行了分析，通過數值仿真，分析了系統通過余維二Hopf-Flip分岔、倍周期分岔向混沌運動轉遷的過程，為車輛減振設計中的混沌預測和控制提供參考依據。

關鍵詞：輪軌沖擊振動；Poincaré映射；Hopf-Flip分岔；混沌

中圖分類號：O322；U260.11+1 文獻標志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2024.06.007

文章編號：1006-0316 （2024） 06-0044-10

Analysis of Nonlinear Dynamic Characteristics of Wheel-Rail Impact Vibration System

JIN Yang，LI Wanxiang，ZAHNG Hongbing

（"School of Mechanical Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China"）

Abstract：When the vehicle passes through the local irregularities on the track， a"force with"sudden"and"random"variations occurs"between the wheel and rail， which causes a large change to the dynamic response of the vertical system of the vehicle， which affects the fatigue life of both the vehicle and the track components and the smooth operation of the vehicle， escalating"the vehicle vibration. In order to analyze the dynamic characteristics of the vertical vibration damping system of the"vehicle when the impact vibration occurs between the wheel and rail， this paper establishes a physical and mathematical model of the vertical wheel-rail impact vibration system， in which the dynamic equations are transformed into dimensionless forms， and the response of the impact vibration system is solved through the fourth-order R-K numerical method with fixed step size. And the vertical impact position of wheel and rail is considered as the Poincaré mapping interface of the system， the bifurcation forms of the system under different dimensionless excited frequencies are analyzed by"employing"the bifurcation diagrams， phase diagrams and the time domain response. Through the"numerical simulation， the process of the system transitioning to chaotic motion through codimension-two Hopf-Flip bifurcation and period-doubling bifurcation is"analyzed， which"provides a reference for the"chaos prediction and control in the"vehicle vibration reduction design.

Key words：wheel-rail impact vibration；Poincaré map；Hopf-Flip bifurcation；chaos

隨著我國高速鐵路列車的迅速發展，車輛與軌道之間的垂向動態相互作用越來越大^[1]。在車輪的反復輾軋下，鋼軌表面會出現不同的局部幾何不平順性缺陷，進而引起輪軌間的隨機振動與沖擊，對車輛系統的運行穩定性有較大影響。

近年來，對于車輛系統動力學問題的理論研究與實驗驗證受到國內外相關學者的高度重視。董勇等^[2]針對不同波長特征的鋼軌磨耗，結合鋼軌打磨前后的差異，對車輛系統中各關鍵部件的振動特性進行現場試驗，根據測試結果，在各運行工況下，對車輛各部件振動的影響進行了分析研究。吳舟等^[3]運用Spering指標以及車體橫向垂向加速度指標，結合車輛系統動力學仿真數據，對車輛運行平穩性進行綜合分析，并通過對照仿真結果對模型進行驗證。陳迪來等^[4]基于車輛系統動力學理論，以車輛垂向的輪軌力為指標，利用SIMPACK多體動力學仿真軟件，分析了輪軌系統在諧波局部不平整缺陷和交叉口局部不平整凸缺陷惡化時的動態性能變化。司道林等^[5]建立了一種軸重40"t車輛－軌道動力學模型，在變化車輪半徑的對照方法下，模擬輪對扁疤存在時對輪軌動態相互作用的影響，并分析了此踏面缺陷下的輪軌沖擊動力荷載變化特性。Yang等^[6]根據現有嵌入式軌道系統研究的局限性，建立了基于顯式方法的有限元模型，采用數值計算和實驗相結合的方法，以模擬內置式電流源在錘擊和車輪載荷激勵下的振動響應，對嵌入式軌道系統中絕緣鋼軌接縫處的輪軌碰撞進行了研究。

對于含間隙機械系統及沖擊振動系統的動力學理論分析與應用研究工作也在開展之中，高夢亭^[7]建立了一類三自由度碰撞振動系統的物理數學模型，通過MATLAB進行數值仿真求解，得到不同系統參數下的Poincaré映射，揭示了系統在不同參數下由分岔通向混沌的道路。李萬祥等^[8]建立了一類四自由度碰撞系統的物理數學理論模型，研究了該系統的周期運動以及穩定性，分析了該系統的周期運動以及不同激振頻率下的Hopf分岔和倍化分岔現象，通過編程數值仿真，揭示了此類碰撞振動系統中，極限環面失穩與混沌運動的形成過程。馬琳等^[9]建立了三種約束下的兩自由度受迫振動系統的數學模型，通過多目標、多參數協同數值仿真得到了不同約束模型下周期運動的種類、存在域及其相應的分岔特性，比較了不同約束下系統動力學特性的異同。

但是，以上研究工作對于車輛－軌道系統動力學從分岔與混沌特性角度的較少，而且以上碰撞沖擊振動系統的研究工作基本都是考慮系統部分連接剛度與阻尼呈線性狀態時所作的理論分析與數值仿真，對含非線性剛度的復雜碰撞沖擊振動系統的研究較少。在一個非線性動力系統中，隨著非線性因素的增加，系統會出現更加復雜的分岔與奇異性問題。例如，在考慮車輛二系懸掛中空氣彈簧的強非線性因素時，輪軌沖擊振動非線性動力系統中蘊含有更多復雜的非線性動力學行為，在通向系統混沌運動的道路就不僅有倍周期道路，還存在通過Hopf-Flip分岔的復雜道路。因此，本文結合非線性動力學定性分析方法，以工程實際中1/4車輛－軌道沖擊振動系統為基礎，將解析法和

數值法相結合，揭示了輪軌沖擊振動系統存在通過不同分岔形式向混沌運動轉遷的過程。對該系統非線性動力學行為的研究為車輛實際運行中平穩性的優化設計提供了理論參考依據。

1"輪軌沖擊振動系統力學模型

根據1/4車輛－軌道模型，分別取車輛系統中輪對、轉向架、以及每延米鋼軌的質心作為坐標原點，以垂直向下為正方向，由于車體質量遠大于轉向架、輪對質量，因此假設車體垂向振動位移為0，建立輪軌沖擊振動系統模型如圖1所示。假設：

（1）

車輛減振系統中，空氣彈簧垂向剛度可以擬合為一類二次函數，激勵幅值與非線性剛度數值是影響空氣彈簧懸架非線性特性的主要因素，且非線性因素中只有平方非線性剛度起主要作用^[10]，因此得到式（2）。

（2）

M₁為輪對質量；M₂為轉向架質量之半；M₃為每延米鋼軌質量；K₁為一系懸掛剛度；K₂為二系懸掛空氣彈簧垂向剛度；K₃為軌下墊板剛度；C₁為一系懸掛阻尼；C₂為二系懸掛阻尼；C₃為軌下墊板阻尼；D為由于軌道不平順造成的輪軌間沖擊間隙；X₁為輪對垂向的位移；X₂為轉向架垂向的位移；X₃為鋼軌垂向的位移；P₁（T"）為作用在輪對上的激振力；P₂（T"）為作用在轉向架上的激振力；P₃（T"）為作用在鋼軌上的激振力。

由達朗貝爾原理^[11]，輪軌沖擊振動系統的動力學微分方程可表示為式（3）。

2"系統的分岔行為及向混沌的轉遷

以我國某型動車組車輛垂向減振系統參數作為該系統數值仿真的參數，如表1所示。軌下網孔式彈性墊板參數引用自文獻[12]。系統在該初始迭代參數約束下，表現出周期性態。令相鄰兩次輪軌沖擊碰撞的間隔時間為：

（6）

式中：n為輪軌沖振周期運動的次數，即系統的外激勵周期數。

則系統作周期運動的邊界條件為：

（7）

為更好地研究該系統周期運動的穩定性、多樣性，分岔特性存在區域的準確性，以及該系統的局部分岔問題，令：

（8）

建立輪軌沖擊振動系統的定沖擊Poincaré映射截面來計算輪軌系統發生碰撞沖擊振動時的動態響應，τ為該沖擊振動系統周期運動的相位角，則：

""""""""""""""""""""""""""""""""""（9）

2.1"系統通向混沌的倍周期道路

式中：q表示周期運動；p為輪對與鋼軌碰撞沖擊的次數。

通過數值仿真發現，當ω＝2.301時，如圖3所示，系統的Poincaré映射為4個穩定的不動點，此時系統具有穩定的q＝4/4周期運動；相圖響應呈現4個封閉且連續的環形，當輪軌間發生剛性沖擊，即在x₁＝b時，能夠看到沖擊速度發生了方向與數值大小的突變。

當激振頻率減小至穿越ω＝2.2995時，如圖4所示，系統發生了倍化分岔，系統Poincaré映射的穩定不動點由4個經倍化分岔增加為8個，此時系統處于穩定的q＝8/8周期運動狀態。

當激振頻率繼續減小至ω＝2.2986時，如圖5所示，系統再次發生倍化分岔，從q＝8/8周期運動狀態轉遷至q＝16/16振蕩狀態。

最終在激振頻率穿越ω＝2.296時，系統的周期運動狀態消失，并逐漸失穩。

如圖6所示，輪對的無量綱振動位移、速度時域響應中出現非周期的穩態響應，且在某些時刻列車輪對會出現顫振行為；此時，系統經倍周期道路進入混沌振蕩狀態，相圖響應呈現隨機性多周期振蕩性態；系統的Poincaré映射不再出現穩定的周期點，而可以看到混沌吸引子的表征特性結構，為典型的弧形且連續的Poincaré映射。

2.2 系統通向混沌的準周期道路

對該沖擊振動系統在激振頻率ω∈[4.51， 4.73]區間時，繼續采用定步長R-K_4數值積分方法對系統的無量綱激振頻率－位移（ω－x₂）響應進行求解，如圖7所示。可以看出，隨著系統激振頻率的減小，系統發生了余維二（Hopf-Flip）分岔。圖7的局部放大圖像如圖8所示，可以清楚看到系統通過Hopf-Flip分岔進入混動狀態的非線性動力學行為。

當ω＝4.71時，如圖9所示，系統的Poincaré映射為一個穩定的單周期結點，結點兩端處有即將發生Flip分岔的趨勢，分岔形成兩個穩定結點，預示隨著參數的進一步變化，系統將進入周期2運動，相圖響應為穩定的周期1運動狀態，呈現封閉的單環，此時，從轉向架的速度與位移時域響應中可以清楚看到穩定的單周期運動，振幅峰值呈現一致性。

值得注意的是，如圖10所示，當無量綱激振頻率穿越ω＝4.70665時，系統經Flip分岔進入了穩定的周期2運動狀態，在Poincaré映射中形成兩個穩定的結點，相圖響應呈現兩個緊密的封閉環形。

隨著激振頻率進一步減小，在ω＝4.5683時，如圖11所示，系統的Poincaré映射為兩個穩定的焦點型單周期吸引子，系統周期運動的不動點逐漸吸引到一個極限環附近，此時系統為穩定的周期2運動狀態，這預示著系統即將通過Hopf分岔進入準周期振蕩狀態，此時相圖響應突變為兩個封閉的振蕩環。

當ω＝4.56419時，如圖12所示，系統經Hopf分岔進入準周期運動狀態，在系統的Poincaré映射中從兩個穩定的極限環逐漸吸引形成兩個穩定的閉合不變圈，在相圖響應中呈現兩個封閉的環－帶狀區域。

當ω＝4.56305時，如圖13所示，穩定的閉合不變圈開始分散，逐漸變形斷裂，系統進入由外激勵周期的各種有理數倍數的鎖相振蕩狀態；系統的相圖響應依然為準周期振蕩狀態。

繼續減小無量綱激振頻率至ω＝4.5535，如圖14所示，此時系統經準周期、鎖相道路最終進入應要避免的混沌運動狀態，Poincaré映射為混沌引子，系統的相圖響應呈現不封閉且雜亂的環形，此時轉向架的位移、速度時域響應振幅峰值之間不再存在周期性態，在某些時刻轉向架會出現顫振行為。

3 結論

（1）本文通過建立一種垂向輪軌沖擊振動系統物理數學模型，結合理論與數值仿真計算分析了當輪對與軌道發生沖擊振動時，輪對與轉向架的動態響應，以及該系統通過倍周期分岔與余維二Hopf-Flip分岔向混沌演化的非線性動力學行為。

（2）當系統的無量綱激振頻率ω在[2.2986， 2.3030]、[4.5600， 4.730]區間時，輪軌沖擊振動系統為相對穩定的多周期運動及準周期運動，當系統的無量綱激振頻率ω在[2.2940， 2.2974]、[4.5100， 4.5550]區間時，輪軌沖擊振動系統為混動運動狀態，列車輪對與轉向架將出現顫振行為，在輪軌沖擊振動系統中無量綱激振頻率的減小可能會導致系統進入混沌運動狀態，從而干擾車輛系統以及設備的穩定性。

對于輪軌沖擊振動系統的分岔與混沌行為的研究，可為預防輪對及轉向架部件發生顫振、改善車輛運行安全環境提供理論參考依據。

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