利用改進的Kudryashov 方法求非線性偏微分方程的精確解

趙舒賢，歐耀駿，龍雙英，李紅春

（紅河學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南蒙自 661199）

非線性偏微分方程[1]是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支，是目前微分方程研究的主體，包括整數(shù)階偏微分方程和分數(shù)階偏微分方程.非線性分數(shù)階微分方程是傳統(tǒng)的非線性整數(shù)階微分方程的衍生和推廣，相較傳統(tǒng)的非線性整數(shù)階方程的性質(zhì)更為復(fù)雜，但因其能更好地模擬自然接觸中的物理過程及動態(tài)系統(tǒng)的過程和模擬自然接觸中的有關(guān)記憶性和遺傳性等問題而受到物理學和生物學等領(lǐng)域的歡迎.已有研究表明，分數(shù)階模型包含經(jīng)典的整數(shù)階模型，但整數(shù)階模型可以作為分數(shù)階模型的特殊情況.傳統(tǒng)的整數(shù)階導數(shù)具有清晰的幾何與物理含義，而對分數(shù)階導數(shù)還沒有一個恰當?shù)臄?shù)學描述，但它的理論可以用來分析時空動力學等問題，可較好地處理這些問題中的歷史相依關(guān)系.因此，在流體力學、流變學、生物體系中的電導率等問題中，分數(shù)階的偏微分方程有著重要的應(yīng)用.關(guān)于該問題的精確解在如力學、物理、天文、生理傳染病等領(lǐng)域也都具有非常廣泛的研究意義.然而，目前國內(nèi)外的相關(guān)理論研究仍未尋得一個通用而高效的準確求解方案.從20 世紀50 年代開始，隨著“孤子”這一新的理論被引入到非線性問題中，關(guān)于其解的理論和方法隨著研究的深入而逐漸發(fā)展到了一個新的階段.就目前而言求解分數(shù)階非線性偏微分方程精確解的方法有很多，如F-展開法[2]、輔助方程法[3]、雙曲正切函數(shù)展開法[4]、首次積分法[5]、Jacobi 橢圓函數(shù)展開法[6]、Kudryashov 及其相關(guān)方法等.

六階Boussinesq 方程：

Boussinesq 方程是一類用來研究水波理論的重要模型方程，它在偏微分方程的研究中起著重要作用.Boussinesq 方程是由法國力學家、理論物理學家布森內(nèi)斯克于1872 年在淺水波的研究中導出的.為更準確地描述波的色散和非線性特征，從1990 年后Boussinesq 方程的理論和應(yīng)用都得到了很大發(fā)展，人們相繼提出了許多改進的Boussinesq 方程模型.而對于其精確解的探索有助于人們更深入地分析理解各種動力特性.

空時分數(shù)階simplified modified Camassa-Holm 方程[7]：

Camassa-Holm 方程是一個刻畫淺水波運動的數(shù)學模型，描述平底淺水波的單向傳播，它是一類非常重要且又奇特的孤立波方程，是完全可積系統(tǒng)，具有雙哈密頓結(jié)構(gòu)，遵循無窮多守恒定律.Camassa-Holm方程由Fokas 和Fuchssteiner 首先推出，但在當時并未受到太大的關(guān)注，1993 年，又由Camassa 和Holm利用逼近Hamiltonian 函數(shù)的方法得到，進而發(fā)現(xiàn)了尖峰孤立子解，才引起了人們的重視，繼而引起了廣泛的研究.

本文利用改進的Kudryashov 法求解以上兩個微分方程的精確解.

1.預(yù)備知識

首先介紹分數(shù)階導數(shù)的定義和性質(zhì)，以便方程的求解.

分數(shù)階導數(shù)的定義和性質(zhì)如下：

設(shè)f(0,∞)→R，f的α階Comformable 導數(shù)定義[8]為：

Comformable 導數(shù)具有許多性質(zhì)，如下：

2.Kudryashov 方法及相關(guān)方法介紹

非線性分數(shù)階偏微分方程具有以下一般形式

其中k,ω為待定的任意常數(shù)

將變換（2-2）代入方程（2-1），用Comformable 導數(shù)及性質(zhì)，得到關(guān)于u(ξ) 的常微分方程：

步驟2、假設(shè)方程的解可以表示為：

其中a(i1,2,3......)為待定系數(shù).

改進的Kudryashov 方法中Q滿足下列輔助方程：

其中a為正數(shù)，且a≠1

步驟3、通過平衡方程（2-3）中最高階導數(shù)項和最高階非線性項，確定式（2-4）中的正整數(shù)N.

步驟4、將方程（2-4）（2-5）代入（2-3），得到一個常微分方程，使方程兩邊Q的不同次冪系數(shù)為0，可以得到相應(yīng)的方程組.

步驟5、利用Maple軟件求解步驟4所得的方程組，并將所得的解代回（2-4）中，得到原方程的精確解.

步驟6、將所得的精確解代回方程（2-3）中驗證根的正確性.

3.改進的Kudryashov 方法的具體應(yīng)用

（1）利用改進的Kudryashov 方法求六階Boussinesq 方程的精確解：

對方程作行波變換：

其中ω和c為待定的任意常數(shù)

將式（3-2）代入方程（3-1）中得：

利用齊次平衡法，平衡方程(3-3)中最高階導數(shù)項和最高階非線性項，即：

得到n=2，將n=2 代入（2-4）可得原方程解表示形式為：

其中Q滿足下列 Bernoulli 方程：

將式(3-5)、式(3-6)代入方程(3-3)得到關(guān)于Q的方程,再令方程中Q的不同次冪系數(shù)分別為0，就可得到一組關(guān)于a0,a1,a2,c,ω的方程組：

4.總結(jié)與展望

本文將改進的Kudryashov 方法應(yīng)用到六階Boussinesq 方程和空時分數(shù)階simplified modified Camassa-Holm 方程的求解中，探究改進的Kudryashov 方法在求解整數(shù)階微分方程和分數(shù)階微分方程的應(yīng)用.對比傳統(tǒng)的Kudryashov 方法，改進的Kudryashov 方法是在Kudryashov 方法的基礎(chǔ)上修改了其輔助方程，并借助數(shù)學軟件Maple 成功地得到了方程的精確解且將各項精確解進行可視化，確定了其精確解的準確性和可用性.改進的Kudryashov 方法是求解非線性偏微分方程的一個有效方法，且此方法簡單方便，可用于其他相同類型的非線性微分方程.